数学：辽宁省鞍山市台安县2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：辽宁省鞍山市台安县2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B.是最简二次根式，故B选项符合题意；
C.，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵二次根式有意义，
∴，
解得：． 故选A．
3. 若，，则的值为（ ）
A. 4B. C. 16D. 4或
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∴，
故选：A．
4. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵两个空白小正方形的面积是、
∴两个空白小正方形的边长是、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是．
故选：A.
5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B.，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C.，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D.，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D
7. 一个三角形三边长之比为，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（ ）
A. 44厘米B. 40厘米C. 36厘米D. 24厘米
【答案】D
【解析】设原三角形的三边长为cm，cm，cm，可知连接三边中点后得出三角形的三边长为cm，cm，cm，得
解得，
所以（cm）．
故选：D．
8. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】只有②③两块角的两边相互平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
带②③两块碎玻璃就可以确定平行四边形的大小．
故选C．
9. 如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为（ ）

A. 20B. 24C. 40D. 48
【答案】B
【解析】如图所示，连接交于，
在中，，
四边形是菱形，
，
又对角线，，
在中，，
，
菱形的面积为．
故选：B．

10. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④
【答案】B
【解析】A.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选B．
二、填空题
11. 已知是整数，则正整数n的最小值为____．
【答案】2
【解析】∵，要使它是整数，则正整数n的最小值为2．
故答案为：2．
12 当______时，最简二次根式与能够合并.
【答案】8
【解析】根据题意，得，
解得，故答案为：8.
13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为__________．
【答案】8
【解析】由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C，
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4=18-6，∴S正方形B=8．故答案为：8．
14. 如图，菱形的边在轴上，点的坐标为．分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．连接，交于点．则点的坐标为____．
【答案】
【解析】如图，过点作轴于点，设交轴于．
，
，
在中，则有，
，
，
，
垂直平分，
，
，
设解析式为，
则，
解得：，
故解析式为，
将代入可得：，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】连接，如图：
在中，，
，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，
，即，
．故答案为：．
三、计算题
16. 计算：
（1）；
（2）．
（1）解：
；
（2）解：
．
17. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）
（1）解：
当，，
∴原始．
（2）解：
当，，
∴原始．
四、解答题
18. 在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？

解：如图，根据题意，米，米，

设树的高度为米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
在中，可有，
∴，
解得．
故这棵树高15m
19. 如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点.求证：DE⊥MN.
证明：如图，连接DM，DN，
∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DM＝BC，DN＝BC，
∴DM＝DN，
∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN．
20. 如图，在平行四边形中，，E、F分别为边的中点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵E，F分别为边的中点，
∴，，∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，∴，
在中，
∵E边的中点，
∴， ∴四边形为菱形；
（2）解：如图所示，过点D作，
∵，，
∴
∵，
∴
在中，，由勾股定理得，
∵，，
∴
∴，
∵E边的中点，
∴，
∴．
21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．

（1）求的周长；
（2）若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________．
解：（1），，，
的周长；
（2）过作，

∵，
∴是直角三角形，为斜边，
的面积，
即，
解得，
即线段的最小值为．
22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
，
，
．
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）______________；
（2）化简；
（3）若，求的值．
解：（1）
故答案为：
（2）原式＝
；
（3），
a−2＝，
∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5．
∴a2−4a＝1．
∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3
＝a2×1−4a＋3
＝a2−4a＋3
＝1＋3＝4．
23. 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图1，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
（1）证明：作于，于，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
矩形是正方形；
（2）解：如图2中，中．，
，
，
点与重合，此时是等腰直角三角形，易知．
（3）解：①当与的夹角为时，点在边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与夹角为时，点在的延长线上，，如图3所示：
，，
，
综上所述，或．