高二数学人教A版(2019)暑假作业 （14）空间向量与立体几何（B卷）

这是一份高二数学人教A版(2019)暑假作业 （14）空间向量与立体几何（B卷），共19页。试卷主要包含了已知四棱锥，平面ABCD，则等内容，欢迎下载使用。

1.在正方体中，，P为的中点，E在棱上，且，则过E且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为( )
A.6B.8C.12D.16
2.如图，在长方体中，，，M是上一点，且，则四棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
3.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，现有下列四个结论：①若，则;
②若，则;
③若，则;
④若，则，其中所有正确结论的序号是( )
A.①④B.②④C.①②③D.②③
4.在空间直角坐标系中，，，，若，则( )
A.-2B.2C.-3D.3
5.已知三棱锥中，，，，M，N，T分别为棱AB，AC，PB的中点，则直线PM与NT所成角的正切值为( )
A.B.C.D.
6.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，M为棱PC的中点，且，则( )
A.B.0C.2D.4
7.已知棱长为2的正方体中，E，M，N分别是，，的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为( )
A.1B.C.D.
8.如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，，和是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱与平面成的角，，，则该屋顶的侧面积为( )
A.80B.C.160D.
9.（多选）已知四棱锥，平面ABCD，则( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
10.（多选）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法错误的是( )
A.B.与平面所成的角为
C.D.与平面所成的角为
11.（多选）已知空间中三点，，，则正确的有( )
A.与是共线向量B.的单位向量是
C.与夹角的余弦值是D.平面ABC的一个法向量是
12.（多选）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是( )
A.若，则，的夹角是钝角
B.若，，则
C.若，则
D.若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
13.如图，在直三棱柱中，，E、F分别为棱、的中点，则______.
14.在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，______________.
15.如图，在正方体中，，若F为棱上动点，E为线段上的点，且.若AE与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球表面积为__________.
16.如图所示，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后将余下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥､若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为x（单位：cm），且，则该球的半径R（单位：cm）的取值范围是__________.
17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.
（1）证明：平面平面PAD.
（2）若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
18.如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，，，，，
（1）求证：平面平面；
（2）若点E为的中点，求三棱锥的体积.
19.如图，在圆锥中，D为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形为矩形.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值.
20.
已知四棱锥的底面ABCD是棱长为2的菱形，，，若，且PD与平面ABCD所成的角为，E为AD的中点，点F在线段PA上，且平面BEF.
(1)求；
(2)求平面PBE与平面BEF夹角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图所示，取，因为平面，所以，取Q为的中点，，则且，所以平面，，同理可得，所以等腰梯形HGFE为所得截面，又，，，则梯形的高为，所以等腰梯形HGFE的面积为，故选C.
2.答案：A
解析：在长方体中，平面，因为平面，所以.又，，所以平面，则.由，，得，则点M到平面的距离，故四棱锥的体积.
3.答案：A
解析：对于①若，由于，故，①正确;
对于②若，则l可能在内，②错误;
对于③若，则l，m可能平行，③错误;
对于④若，则设过m的平面与交于n，则，
由于，故，而，故，④正确，
故选：A
4.答案：C
解析：因为，
所以，
所以，即，解得.故选：C.
5.答案：C
解析：记，，，则，，，，则
，，，
设直线PM与NT所成的角为，则，，所以.
6.答案：C
解析：作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，，
，，即
，，即C正确，
故选：C.
7.答案：B
解析：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，设平面EMN的法向量，则令，可得，所以，即，又平面EMN，所以平面EMN，故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离，又，所以点A到平面EMN的距离为，即直线AC与平面EMN之间的距离为.故选B.
8.答案：D
解析：设G，H分别是，的中点，连接，根据对称性可知，
F在平面的射影在上，设其为O，连接，，
则平面，而平面，所以，
所以是与平面成的角，即，
所以，
过O作，垂足为P，连接，
由于，平面，所以，，
由于，，平面，所以平面，
由于平面，所以，，所以，所以，所以，
所以该屋顶的侧面积为：.
故选：D.
9.答案：AC
解析：对于选项AD：若，且，平面PAC，
可得平面PAC，且平面PAC，所以，
同理：若，可得，
即等价于，
由不能推出，即不能推出，
故A正确；故D错误；
对于选项BC：若，可知，所以，
反之，，可知，所以，
即等价于，
由不能推出，即不能推出，
故B错误，故C正确；故选：BC.
10.答案：AB
解析：如下图所示：
连接，因为平面，所以是直线与平面所成的角，
所以在中，，不妨设，则，
则；
同理易知是直线与平面所成的角，
所以在中，，因为，所以；
所以，
因此在中，；
对于选项A，易得，，即可得，所以A错误；
对于B，作于E，如下图所示：
显然平面，平面，所以，
又，平面，所以平面；
因此也即为与平面所成的角，
所以，即，即B错误；
对于C，由，可得，所以C正确；
对于D，由长方体性质易知平面，所以是直线与平面所成的角，在中，，所以，即，所以D正确.
故选：AB
11.答案：CD
解析：，，，显然与不共线，A错误；
的单位向量，即，B错误；，，C正确：
设平面ABC的法向量，则，
令，得，D正确.故选：CD.
12.答案：BD
解析：A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题;
B：因为，所以，因此本选项命题是真命题;
C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题;
D：假设，，是共面向量，
所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选：BD.
13.答案：9
解析：因为平面，平面ABC，则，同理可知，所以，.故答案为9.
14.答案：
解析：以点D为坐标原点，以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，设，则，，
因为，故，即，由于平面，平面，故，所以的面积为，
而，
故，当时，取最小值，即S最小，
此时，，则，故，即
15.答案：
解析：由题，连接，即为AE与平面所成角，且，当时，得，设，，即，解得，所以，易知三棱锥的外接球即为分别以3，4，4为棱长的长方体的外接球，设其半径为R，则，所以三棱锥的外接球表面积.
16.答案：
解析：由题意，作出正四棱锥，如图所示，记F为的中点，连结，
可知，，四边形为正方形.
记O为正方形的中心，连结，，，则平面，
，，，
记正四棱锥的外接球的球心为，，
在直角中，，即，，
设，，则，
整理得，因为在区间上单调递减，
所以，即，.
故答案为：.
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG.
平面ABP，平面ABP， .
， .
AP，平面PAD，，平面
，，，，
，，
四边形BEFG是平行四边形，
，
平面PAD，又平面PED，
平面平面PAD.
（2）取AB的中点H，连接PH，AC.
平面ABP，平面ABP，
，
，
，易得.
，
.
平面ABP，平面ABCD，
平面平面ABP.
又， ， 平面ABCD
易得，，，，
.
设点A到平面PCD距离为h，
，得，
直线PA与平面PCD所成角的正弦值为.
18.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，取中点H连接，所以，
因为，所以，
连接，，，底面四边形为矩形，
所以，，
在中，，，，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为E为的中点，
所以E到面的距离为C到面的距离的一半，
.
19.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，.
四边形为矩形，平面，
，平面，
又平面，，
又，平面，平面，平面.
又平面，平面平面.
（2）以C为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，
过点C且与平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，则，即，
令，得，所以.
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，所以，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
20.答案：（1）；（2）
解析：（1）
连接，连接，由菱形ABCD知G是BD，AC中点，而E为AD的中点，则O为的重心，有，
因为平面BEF，平面平面，平面PAC，因此，所以.
（2）
菱形ABCD中，由，知为等边三角形，有，又，
则，即有，取BC的中点M，连接PM，DM，则，，
而，且两相交直线在平面内，于是平面PMD，而平面ABCD，有平面平面ABCD，
在平面PMD内过P做于点H，平面平面，
从而平面ABCD，是PD与平面ABCD所成的角，则，
因为，则，又，因此H与M重合，
以H为坐标原点，HD，HB，HP为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，则，，，
设平面BEF的法向量，则，
令，得，
设平面PBE的法向量，则，
令，得，
于是，所以求平面PBE与平面BEF夹角的余弦值为.