考点04 图形的性质-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册

这是一份考点04 图形的性质-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册，共27页。

知识归纳
知识点1：线、角、相交线与平行线
直线、射线、线段与角
（1）直线公理:经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
（2）射线:直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.
（3）线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.
（4）两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
（5）1°=60',1'=60″.
（6）1周角=2平角=4直角=360°.
（7）余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等.
2. 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
3. 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
4. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5. 垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
6. 线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
7. 平行线
（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）平行线的性质:
① 两条直线平行,同位角相等;
② 两条直线平行,内错角相等;
③ 两条直线平行,同旁内角互补.
（3）平行线的判定:
① 同位角相等,两条直线平行;
② 内错角相等,两条直线平行;
③ 同旁内角互补,两条直线平行.
知识点2：全等三角形
1. 全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2. 全等三角形的判定方法
（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(简称“SAS”)
（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简称“ASA”)
（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简称“AAS”)
（4）有三边对应相等的两个三角形全等.(简称“SSS”)
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)
3. 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边、对应角相等.
（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
（3）全等三角形的周长相等、面积相等.
知识点3：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
等腰三角形
（1）定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.
（2）性质:①等腰三角形的两腰相等;
②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”;
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,即“三线合一”;
④等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.
（3）判定:
①有两条边相等的三角形是等腰三角形;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”.
等边三角形
（1）定义:三边相等的三角形是等边三角形.
（2）性质:
①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;
②“三线合一”;
③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.
（3）判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
直角三角形
（1）性质:
①直角三角形的两锐角互余;
②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;
③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.
（2）判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
（3）勾股定理及其逆定理
①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;
②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.
知识点4：锐角三角函数
锐角三角函数的概念
（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.
（2）在△ABC中，∠C=90°,
∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cs A=,∠A的正切tan A=.
特殊角的三角函数值(填写下表)
知识点5：解直角三角形
解直角三角形
（1）解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
（2）直角三角形的解法
直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:
①已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c=;
②已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=;
③已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2,tan A=;
④已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b2=c2-a2,sin A=.
与解直角三角形有关的名词、术语
（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.
从下向上看,叫做仰角;
从上往下看,叫做俯角.
（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.
（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.
知识点6：多边形
1. 多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.
2. 正多边形：在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.
多边形的对角线：在多边形中,连接互不相邻的两个顶点的线段.
知识点7：平行四边形
1. 平行四边形：两组对边分别平行的四边形.
2. 平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行;
（2）平行四边形的对边相等;
（3）平行四边形的对角相等;
（4）平行四边形的对角线互相平分.
3. 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形;
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
知识点8：菱形
定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.
3. 判定方法:
①一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
③四条边都相等的四边形是菱形.
4. 设菱形对角线长分别为l1,l2,则S菱形=l1l2.
知识点9：矩形
定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.
判定方法:
①有三个角是直角的四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有一个角是直角的平行四边形是矩形.
4. 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.
知识点10：正方形
1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.
2. 正方形的性质
（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.
（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.
（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.
3. 正方形的判定方法
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
（3）有一个角是直角的菱形是正方形.
（4）对角线相等的菱形是正方形.
4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系
知识点11：圆的有关概念及性质
（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.
（2）圆具有对称性和旋转不变性.
（3）不共线的三点确定一个圆.
（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.
（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.
（6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
（7）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.
知识点12：*垂径定理
（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
（2）推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
② 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
③ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.
知识点13：与圆有关的角及其性质
（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
（2）圆周角定理
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论：
① 同弧或等弧所对的圆周角相等.
② 半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
③ 圆内接四边形的对角互补.
知识点14：圆周长、弧长计算
（1）半径为R的圆周长：C=πd=2πR.
（2）半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l=.
知识点15：圆、扇形面积计算
（1）半径为R的圆面积S=
（2）半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=.
知识点16：圆柱、圆锥的有关计算
（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高).
（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线).
（3）圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h. 圆锥的体积=×底面积×高,即V=πR2h.
知识点17：正多边形与圆
（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.
（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
（3）正多边形的内角和=(n-2)·180°;
正多边形的每个内角= ;
正多边形的周长=边长×边数;
正多边形的面积=×周长×边心距.
知识点18：点、线与圆的位置关系:
如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:
（1）点在圆外⇔d>r;
（2）点在圆上⇔d=r;
（3）点在圆内⇔d2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交
3.切线的性质与判定
（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4.*切线长定理
（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
答题指导
1．应用平行线巧建“三角形”求角的度数
平行线可以迁租等角或者构造互补的角：平行线+1条角粉线则可以构适“等腰三角形”如图①；平行线十2角平分线，则可以构造“直角三传形”如图②
2．求三角形角的度数，一般涉及以下几个知识点
（1）等边对等角，把边的关系转化为角的关系
（2）角平分线以及等腰三角形的三线合一
（3）三角形的内角和为180.
（4）直角三角形的两锐角至余
（5）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
3．等腰三角形的性质:
（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等(简称:等边对等角)
（3）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重全(三线合一)
4．直角三角形的两个“一半”
（1）直角三角形边上的中线等于斜边的一半
（2）直角三角形中30角所对的直边等于斜边的一半
5．股定理与逆定理：已知a,b,c为△ABC的三边，c为斜边，满足a2+b2=c2→三角形为直角三角形
6．判定三角形金等的思路
7．借助公共边，公共角，对顶角等一些现有条中，证明三角形全等常用的三角形全等基本模型：
注：寻找对应元素的方法：其中对应边所对的角是对应角，对应角所对应的边是对应边
7．判定平行四边形的三种途径，五种方法：
（1）途径一：从边看
① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
途径二：从角看
④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
途径三：从对角线看
⑤ 两条对角线互相分的四边形是平行四边形
8．对角线判定矩形、菱形、正方形
① 矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形
② 菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③ 正方形判定：对角线相等且互相垂直平行四边形是正方形
9．从平行四边形出发，判定正方形的方法：
（1）平行四边形十邻边相等十一内角为直角=正方形
（2）平行四边形十邻边相等十对角线相等=正方形
（3）平行四边形十一内角为直角十对角线互相重直=正方形
10．应用圆的有关性质解题常见辅助线作法：
（1）作垂线段：过圆心作弦的重线段，与圆的半经，弦长的一半构造直三角形，应用勾股定理或解直角三角形的知识解决问题。
（2）连接半轻：构造同弧所对的圆心及圆周角，利用它们之间的关系解题
（3）构造直角：构造直径所对的圆周角是直角，解决与圆相关的问题时常用的辅助线，为勾股定理，解直角三角形等知识的应用创造了条件。
11．圆周角性质应用转化两方法:
（1）利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化
（2）角的相等转化为线段(弦)的相等
10．与圆的有关的位置关系中常见的四种辅助线。
（1）有切线，连结圆心和切点，构造垂直关系
（2）切线的判定
① 已知直线与圆的公共点，则“连半经证垂直”
② 已知条件中没有直线与圆没有有公共点，则“作垂直证等径”
（3）有内心，连接内心与顶点，构造角平分线
（4）有外心，连接外心与顶点，构造相等线段
11．不规律图形面积计算
（1）解题思想：把不规则圆形的面积转化为规则图形面积的和或者差
（2）转化方法：① 应用全等变换(平移、旋转、翻折)进行等积变换；② 割补法；③ 利用同底等高或等底同高原理；④ 应用整体思想进行求解。
12．解直角三角形实际应用问题的五个步骤：
（1）把实际问题转化为数学问题，转化的过程就是识别方位角，仰角，俯角等概念；
（2）分析题目中的已知条件和要求的线段的长度，可在图上适当的做些标记；
（3）用逆推法找出已知条件和未知条件之间需要哪些中间量（线段或角进行过渡）
（4）解直角三角形，有时还需要构造直角三角形
（5）写出答案
13．非直角三角开形构建直三角形的步骤
（1）在一个直角三角形中利用一个三角函数建立边角关系
（2）在另一个直角三角形中利用三角出数列出关系式求解
易错归类
易错点1：三角形的概念，三角形中三种重要的线段——角平分线、中线、高.
如图，点A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积是_____________.
错解：4
正解：7
分析：错解的主要原因在对三角形中线的有关性质理解错误，以为外侧三个三角形与里面的△ABC面积相等.三角形的一条中线把原三角形分成的两部分是两个等底同高的等积三角形，由此，连接B1A，C1B，A1C，图中的7个小三角形面积均相等，故答案为7.
易错点2：三角形三边之间的关系——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中的三根组成一个三角形，那么可组成三角形的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
错解：C
正解：B
分析：本题对三角形三边的关系理解错误，可能以为三角形任意两边之和大于第三边的对立面是三角形任意两边之和小于第三边，其实，其对立面还包括等于的情况.从四根木棒中任取三根，共有3cm，4cm，7cm；3cm，4cm，9cm；3cm，7cm，9cm；4cm，7cm，9cm四种情况，但3＋4＝7,3＋4＜9，所以这两种情况不能组成三角形，故选B.
易错点3：三角形按边、按角的分类，三角形内、外角的性质，特别是外角的两条性质.
如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论：①∠BAC＝70°；②∠DOC＝90°；∠BDC＝35°；∠DAC＝55°.其中，不正确的有（ ）
A.①③ B.②④ C.② D.④
错解：B
正解：C
分析：本题对①，②，③可利用三角形内角和定理及三角形外角的性质就可判断对错，关键是对④的判断易产生错误本题错解就是这种情况.判断④对错的关键是能否判定AD是△ABC的外角∠FAC的平分线，为此，过点D分别作DM⊥AF于点M，DN⊥AC于点N，DP⊥CE于点P，由BD,CD分别平分∠BAC，∠ACE，可得DM＝DP，DN＝DP，所以DM＝DN，由角平分线的判定可得AD平分∠FAC，从而可通过计算判断④正确.
易错点4：全等三角形的性质，三角形全等的判定，特别是两边一角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，已知AB＝DC，∠ACF＝∠DBE，则添加下列条件之一，能判定△ACF≌△DBE且是用“SAS”判断全等的是……………………………………………………（ ）
A.AF＝DE B.∠A＝∠D C.AF∥DE D.FC＝EB
错解：A
正解：D
分析：三角形全等的判定方法通常有SAS、ASA、SSS、AAS四种，本题错解的原因是对SAS的条件没有理解清楚.两边一角对应相等的情况有两种：一种是SAS，其条件是两边及其夹角对应相等，另一种是两边及其一组等边的对角对应相等，这样的两个三角形不全等.
如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：AE＝BE.
错解：∵∠DAB＝∠CBA，∴∠DAE＝∠CBE，在△ADE和△BCE中，∵AD＝BC，∠DAE＝∠CBE，∠DEA＝∠CEB，∴△ADE≌△BCE（AAS），∴AE＝BE.
正解：在△ADB和△BCA中，∵，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴∠D＝∠C. 在△ADE和△BCE中，∵，∴△ADE≌△BCE（AAS），∴AE＝BE.
又解：在△ADB和△BCA中，∵，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴∠ABD＝∠BAC，即∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE.
分析：本题错在第一步，由∠DAB＝∠CBA，不能得出∠DAE＝∠CBE，可能是把未知条件当做已知条件用了.应先根据“SAS”证△ADB≌△BCA，注意，这里的理由是“SAS”而不是“SSA”，由“SSA”不能判断三角形全等，接下来可用“AAS”或“ASA”证△ADE≌△BCE而得出结论，也可根据等腰三角形的判定“等角对等边”得出结论.
易错点5：等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定.
已知△ABC是等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝a，连接DE，则DE＝__________.
错解：2a
正解：
分析：本题可能以为DE＝AC而得出错解，在△DCE中，用三边的关系也可判断2a不正确.应先由等边三角形的性质得出BD垂直平分AC，∠CBD＝30°，∠BCD＝60°，又CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，又∵∠BCD＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝∠CBD＝30°，∴BD＝ED.再在Rt△BCD中，由tan∠BCD＝得出BD＝CDtan60°＝，也可在Rt△BCD中先得出BC＝2CD，再由勾股定理求得BD＝，∴DE＝.
易错点6：运用等腰三角形的性质与判定计算或证明有关问题时注意分类讨论思想的运用.
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为40°，则∠B的度数为_______________.
错解：65°
正解：65°或25°
分析：本题只考虑了△ABC中顶角∠BAC为锐角的情况.由于等腰三角形的顶角可以是锐角，也可以是直角或钝角，∴本题应分三种情况讨论求解：①当∠BAC为锐角时，如图1：

DE垂直平分AB，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝＝65°；当∠BAC为钝角时，如图2，DE垂直平分AB，∠ADE＝40°，则∠DAB＝50°，∴∠BAC＝180°－50°＝130°，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝＝25°（或：由∠DAB＝∠B＋∠C，而∠B＝∠C，∴∠B＝∠DAB＝×50°＝25°）；当∠BAC为直角时，如图3，DE∥AC，不合题意，此种情况舍去.∴答案为65°或25°.
易错点7：全等三角形与等腰三角形的综合应用.
我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中∠B＝∠C.
在由不平行BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB＝EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（如图2所示），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论.（不必说明理由）

错解：是“准等腰梯形”，理由：∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠ABC＝∠DCB，∴是“准等腰梯形”.当点E不在四边形ABCD内部时，如图3，四边形ABCD是“准等腰梯形”.
正解：如图4，过点E分别作EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G，EH⊥CD于点H.∵AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，∴EF＝EG＝EH.又∵EB＝EC，∴Rt△BFE≌Rt△CHE，∴∠3＝∠4，又∵EB＝EC，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC＝∠DCB.又∵四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴四边形ABCD是“准等腰梯形”.
当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：当点E在四边形ABCD的边BC上时，如图5，四边形ABCD是“准等腰梯形”；当点E在四边形ABCD的外部时，如图6，四边形ABCD是“准等腰梯形”.

分析：本题中第一问的理由不正确，没有充分利用两条角平分线的条件，第二问没有理解不在四边形内部的含义，不在四边形内部应包括在四边形上和四边形外部两种情况.这两种情况的理由是：当点E在四边形ABCD的边BC上时，如图7，同理可得Rt△BFE≌Rt△CHE，∴∠B＝∠C，∴四边形ABCD是“准等腰梯形”；当点E在四边形ABCD的外部时，如图8，同理可得Rt△BFE≌Rt△CHE，∴∠EBF＝∠ECH，∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠EBF－∠EBC ＝∠ECH－∠ECB ，即∠ABC＝∠DCB.∴四边形ABCD是“准等腰梯形”.
易错点8：直角三角形的性质与判定，特别注意的两条性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长为……………………………………………………………（ ）
A.2.5 B. C. D.2
错解：D
正解：B
分析：本题由于不能准确找到直角三角形并利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的性质而造成错解.
正确的解法是：如图，连接AC、CF，∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴由勾股定理或三角函数可得AC＝，CF＝3，又∵∠ACD＝∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝＝＝2，又∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝.不善于添加辅助线来求解问题也是造成错解的主要原因之一.
易错点9：勾股定理及其逆定理的综合应用，在运用勾股定理及其逆定理计算或证明有关问题时面积法的运用.
如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_______________.
错解：3
正解：3或
分析：本题只考虑了∠B′EC＝90°的一种情况而造成错解.
本题应分三种情况讨论求解：当∠B′EC＝90°时，如图1，∴∠BEB′＝90°，又由折叠可得∠BEA＝∠B′EA,∴∠BEA＝∠B′EA＝45°，∴△ABE、△AB′E均为等腰直角三角形，∴四边形ABEB′为正方形，点B′落在AD上，∴BE＝3；当∠EB′C＝90°时，如图2，∵由折叠可得∠B＝∠AB′E＝90°，∴点B′恰好落在AC上，∴AB＝AB′＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝5，∴CB′＝AC－AB′＝5－3＝2，由折叠得BE＝B′E,设BE＝B′E＝x，则EC＝BC－BE＝4－x，在Rt△EB′C中，由勾股定理得x2＋22＝(4－x)2，解得x＝＝BE；当∠ECB′＝90°时，则点B′落在CD上，则∠BCA＝∠B′CA＝45°，这与已知四边形ABCD为矩形相矛盾，∴此种情况不存在.故BE的长为3或.

易错点10：锐角三角函数的定义以及运用特殊角的三角函数值的计算易出错.
易错题11：如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB于点D.已知cs∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为…………………………………（ ）
A.1 B. C.3 D.
错解：B
正解：D
分析：本题主要对锐角的三种三角函数正弦、余弦及正切的概念理解不清造成错解.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则sinA＝，csA＝，tanA＝.
本题正确的解法是：∵AB是半圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cs∠ACD＝cs∠B＝,在Rt△ABC中，cs∠B＝，∴＝，解得AB＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝.（也可用∠B的正弦或正切求解）
易错点11：解直角三角形的应用，特别要注意通过作辅助线将图形转化为直角三角形的方法.
12. 为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出_______个这样的停车位.（＝1.4）
错解：18
正解：17
分析：本题可能对题意没有理解清楚，不知怎样求每个车位所占路段长而导致错解，也可能是计算出错导致错解.
正确的解法是：首先计算右侧第一个车位所占路段长：如图1，由题意，得△ACB、△EDB均为等腰直角三角形，在△EDB中，cs∠EBD＝,∴BD＝BE cs∠EBD＝2.2×＝1.1×1.4＝1.54，同理，CB＝AB cs∠ABC＝5×＝2.5×1.4＝3.5，∴CD＝CB＋BD＝1.54＋3.5＝5.04（米），即第一个车位所占路段长；再计算每增加一个车位所需路段长：如图2，由题意，得△ABC为等腰直角三角形，∵cs∠CAB＝,∴AB＝＝2.2×＝2.2×1.4＝3.08（米），即每增加一个车位所需路段长；接下来，可设可以划出x个车位，由题意，得5.04＋3.08(x－1)≤56，解得x≤≈17.5，∵x取最大整数，∴x＝17.注意：本题结果取近似值时应采用去尾法，只舍不入，这也是造成本题错解的可能原因之一.
易错点12：平行四边形的性质与判定.
如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是___________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.
错解：①②
正解：①②④
分析：本题由于不能灵活运用平行四边形与三角形的有关内容而造成错解，添加适当的辅助线是解决本题的关键.
正确的解法是：如图1，分别延长EF、CD相交于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，又∵AD＝2AB，F是AD的中点，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，又∵∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCD，∴①正确；∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，又∵CE⊥AB，∴∠FCD＝90°，又∵∠A＝∠FDG，AF＝DF，∠AFE＝∠DFG，∴△AFE≌△DFG（ASA），∴EF＝GF，∴EF＝CF，∴②正确；∵S△BEC＝BE×CE，S△ECG＝CG×CE，又∵E在线段AB上，∴BE＜AB＝CD＜CG，∴S△BEC＜S△ECG，又∵EF＝GF，∴S△EFC＝S△FCG（等底同高的三角形面积相等），∴S△ECG＝2S△EFC，∴S△BEC＜2S△EFC，∴③错误；∵FG＝FC，∴∠G＝∠FCG，∴∠AEF＝∠FCG，∴∠BCD＝2∠AEF，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A＝2∠AEF，又∵∠DFE＝∠A＋∠AEF，∴∠DFE＝3∠AEF，∴④正确.故答案填①②④.
易错点13：平行四边形与三角形面积求法的区别；平行四边形与特殊平行四边形的关系.
如图，点P为平行四边形ABCD的边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2.若S＝2，则S1＋S2＝_____________.
错解：6
正解：8
分析：本题若没有掌握平行四边形面积的特殊性，容易造成错解.如图2，过点P作PH⊥CB，交CB的延长线于点H，过点A作AG⊥CB，交CB的延长线于点G.则S△PBC＝CB×PH，S△ABC＝CB×AG，S□ABCD＝CB×AG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形AGHP为矩形，∴PH＝AG，∴S△ABC＝S△PBC＝S□ABCD，又∵S△PDC＋S△PAB＋S△PBC＝S□ABCD，S△PDC＝S1，S△PAB＝S2，∴S1＋S2＝S□ABCD，∵E、F分别为PB、PC的中点，EF∥CB，，∴△PEF∽△PBC，∴，∵△PEF的面积为2，∴S△PBC＝8，∴S□ABCD＝16，∴S1＋S2＝×16＝8.
易错点14：矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系.
如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接FG.下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG.其中正确结论的序号是_______________________.
错解：①③④
正解：①④⑤
分析：本题的综合性较强，不能很好地利用正方形的特殊性质是造成错解的主要原因.对于①：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠DAC＝∠ABD＝45°，由折叠可得△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠FDE＝∠ADB＝×45°＝22.5°，∴∠AGD＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－45°－22.5°＝112.5°，故①正确；对于②：由折叠可得∠EFB＝90°，又∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF，又EF＝AE，∴BE＝AE，∴AD＝AB＝(＋1)AE.在Rt△ADE中，tan∠AED＝＝＋1，故②错误；对于③：由折叠可得AG＝FG，又∵在Rt△OGF中，GF＞OG，∴AG＞OG，又∵S△AGD＝AG×DO，S△OGD＝GO×DO，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误；对于④：∵∠AGD＝112.5°，∴∠AGE＝180°－∠AGD＝180°－112.5°＝67.5°，又∵在Rt△AED中，∠ADE＝22.5°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝90°－22.5°＝67.5°，∴AE＝AG，又由折叠可得，AE＝FE，AG＝FG，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确；对于⑤：∵四边形AEFG是菱形，∴EF＝GF，AB∥GF，∴∠GFO＝∠ABO＝45°，∴△GFO、△EBF均为等腰直角三角形，∴GF＝GO，∴EF＝GO，又∵BE＝EF，∴BE＝×GO＝2GO，故⑤正确.∴本题答案为①④⑤.
易错点15：弧、弦、圆周角等概念理解不透彻，如弦所对的圆周角有两种情况，平行弦间的距离也有两种情况.
已知A、B、C三点都在⊙O上，若⊙O的半径为4cm，BC＝4cm，则∠A的度数为________________.
错解：60°
正解：60°或120°
分析：本题错解的主要原因是没有考虑到弦BC所对的圆周角∠A有两种情况.如图1，当点A在优弧 上时，连接OA，OB，过点O作OD⊥BC于点D.由垂径定理得BD＝CD＝BC，∵BC＝4cm，∴BD＝×4cm＝2cm.又∵OB＝4cm，∴在Rt△OBD中，cs∠OBD＝，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝∠COD＝90°－30°＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠A＝∠BOC＝×120°＝60°；当点A在劣弧 上时，如图2，在优弧 上任取一点E（不与点B、C重合），连接EB，EC，由前面的解法可得∠E＝60°，又∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠E＝180°，∴∠A＝180°－60°＝120°.∴综上，∠A的度数为60°或120°.在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角有两种，它们是互补的关系.
易错点16：运用垂径定理的有关计算与证明，不善于添加辅助线构造直角三角形解决相关问题.
已知梯形ABCD的各个顶点均在⊙O上，AB∥CD，⊙O的半径为8，AB＝12，CD＝4，则梯形ABCD的面积S＝______________________.
错解：16＋16
正解：16＋16或16－16
分析：本题由于没有对圆中的平行弦的位置分类讨论而造成错解.圆中的平行弦在题目中没有明确位置时，应分在圆心同侧和圆心两侧两种情况求解.如图1，当AB、CD位于圆心O的两侧时，过点O作ON⊥CD于点N，延长NO交AB于点M，连接OB、OC.∵ON⊥CD，AB∥CD，∴OM⊥AB，∴CN＝CD＝2，BM＝AB＝6，又∵OB＝OC＝8，OM2＋BM2＝OB2，ON2＋CN2＝OC2，∴OM＝，ON＝，∴MN＝OM＋ON＝2＋2.∴S＝(AB＋CD)MN＝×(12＋4)×(2＋2)＝16＋16；如图2，当AB、CD位于圆心O的同侧时，过点O作ON⊥CD于点N，交AB于点M，连接OB、OC.∵ON⊥CD，AB∥CD，∴OM⊥AB，∴CN＝CD＝2，BM＝AB＝6，又∵OB＝OC＝8，OM2＋BM2＝OB2，ON2＋CN2＝OC2，∴OM＝，ON＝，∴MN＝ON－OM＝2－2.∴S＝(AB＋CD)MN＝×(12＋4)×(2－2)＝16－16.故答案为16＋16或16－16.
易错点17：切线的定义以及性质与判定的综合应用.
已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切.
错解：如图1，连接DE、DF，∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA.∵OC平分∠AOB，∴∠DOE＝∠DOF.在△ODE和△ODF中，∵，∴△ODE≌△ODF（SAS），∴∠DEO＝∠DFO，∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切.
正解一：如图2，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F.∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切.
正解二：如图2，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，则∠DFO＝90°.∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA，∴∠DEO＝90°,∴∠DFO＝∠DEO.∵OC平分∠AOB，∴∠DOE＝∠DOF.在△ODE和△ODF中，∵，∴△ODE≌△ODF（AAS），∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切.
分析：本题由于没有理解切线的两种判定方法而出错.当直线经过圆上的某一点时，采用“连半径，判垂直”的方法；当不知道直线经过圆上哪一点时，采用“作垂直，判半径”的方法，此方法中千万要注意，不能从图形判断直线经过圆上哪一点，应从题目的条件中判断直线是否经过圆上哪一点.
易错点18：圆周角定理及其推论，特别是运用推论时易出错.
如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径.
错解：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°，∴⊙O的半径为.
正解一：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝2∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°×2＝90°，设OA＝OB＝x，在Rt△AOB中，由勾股定理得x2＋x2＝22，解得x＝±，∵x＞0，∴x＝， ∴⊙O的半径为.（或：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝2∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°×2＝90°，又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，在Rt△AOB中，sin∠OAB＝，∴OB＝ABsin45°＝2×，即的半径为.）
正解二：如图2，作直径AD，连接DB，则∠DBA＝90°，∠C＝∠D，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，∴∠DAB＝180°－∠DBA－∠D＝180°－90°－45°＝45°，∴∠D＝∠DAB，∴DB＝AB，∵AB＝2，∴DB＝2，在Rt△DAB中，由勾股定理得AB2＋DB2＝AD2，∴AD2＝22＋22，解得AD＝2，∴⊙O的半径为2÷2＝.（或：如图2，作直径AD，连接DB，则∠DBA＝90°，∠C＝∠D，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，在Rt△DAB中，sin∠D＝，AB＝2，∴AD＝＝＝2，⊙O的半径为2÷2＝.）
分析：本题错解的原因是圆周角定理运用错误，且求半径时的过程不完整，省去的过程过多.利用圆周角定理时通常都需要作辅助线连接半径，利用圆周角定理的推论时通常都需要连接某条弦或作直径，以得到90°角或实现角的等量转换.
易错点19：点与圆、直线与圆的位置关系及判断方法.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心、R为半径所作的圆⊙C与斜边只有一个公共点，则R的取值范围是……………………………………（ ）
A.R＝2.4 B.3＜R＜4 C.R＝2.4或3＜R≤4 D.R＝2.4或3＜R＜4
错解：A
正解：C
分析：本题仅从“只有一个公共点”得出直线与圆相切的关系来求解而出错，没有审清题意，因为斜边是线段，所以题中圆与斜边的关系应分类讨论求解.当⊙C与斜边AB相切时，如图1，此时，⊙C与斜边AB只有一个公共点.设⊙C与斜边AB相切于点D，则CD⊥AB，又∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理得AB＝＝5，由三角形的面积公式可得S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝2.4，即R＝2.4；当R＝AC时，如图2，此时，⊙C与斜边AB恰有两个公共点；当AC＜R≤BC时，如图3，⊙C与斜边AB只有一个公共点；当R＞BC时，如图4，此时，⊙C与斜边AB无公共点.∴综上，R的取值范围是R＝2.4或3＜R≤4. 另外，当R＜2.4时，⊙C与斜边AB无公共点；当2.4＜R≤AC时，⊙C与斜边AB有两个公共点.

易错点20：正多边形与圆的有关计算；弧长与扇形面积的计算.
如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路经长是（ ）
A. B.13 C.25 D.25
错解：B
正解：A
分析：本题可能以为两次旋转中点B经过的路经是以点D为圆心，以DB长为半径的半圆弧长而造成错解.本题中点B经过的路经长应分两部分求解：如图1，第一次旋转时，点B经过的路经长是以点D为圆心，以DB长为半径的圆弧长，即BB1的长，∵四边形ABCD是矩形，∴旋转角∠BDB1＝90°，在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝5，AD＝CB＝12，∴由勾股定理得BD＝，∴BB1的长度为×2×13＝ ；第二次旋转时，点B经过的路经长是以点C1为圆心，以C1B1长为半径的圆弧长，即B1B2的长，∵旋转角∠B1C1B2＝90°，C1B1＝CB＝12，∴B1B2的长度为×2×12＝.∴两次旋转过程中点B经过的路经长为＋＝.
三角函数
30°
45°
60°
sin a
cs a
tan a
1
位置
关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0
1
2
数量
关系
d>r
d=r
d已知两边
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
已知
一边
一角
边对角的对边
找任一角(AAS)
边对角的邻边
找夹边的另一角(ASA)
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS )
已知两角
找夹边(ASA)
找任意一边(AAS )