常考点03 一次函数与反比例函数综合题-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册

这是一份常考点03 一次函数与反比例函数综合题-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册，共10页。试卷主要包含了用待定系数法求一次函数解析式，反比例函数解析式的求法，反比例函数的性质在几何中的应用，反比例函数与一次函数的综合应用等内容，欢迎下载使用。


一、用待定系数法求一次函数解析式
一般步骤：（1）设一次函数的解析式为 ；（2）列出关于k、b的二元一次方程组；（3）解方程组，求出k、b的值；（4）写出解析式．
【例】（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．
【详解】
解：正方形中，过点作轴于点，
设直线所在的直线解析式为，
代入，得
，
故选：A．
二、反比例函数解析式的求法
求反比例函数的解析式的方法有两种：
（1）根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定 系数法求反比例函数的解析式．
（2）由k的几何意义直接得反比例函数的解析式．
【例】（2021·湖南常德市）如图，在中，．轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．
（1）求n的值；
（2）求反比例函数的解析式．
【答案】（1）1；（2）
【分析】
（1）根据三角形面积公式求解即可；
（2）证明，求出BE的长即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵A，且轴
∴AH=，OH=n
又的面积为．
∴ ,即
解得，；
（2）由(1)得，AH=，OH=1
∴AO=2
如图，
∵，轴，
∴，四边形AHOE是矩形，
∴AE=OH=1
又
∴
∴，即：
解得，BE=3
∴B(-3,1)
∵B在反比例函数的图象上，
∴
∴．
三、用一次函数的相关知识解决实际问题
用一次函数解决实际问题的一般步骤：（1）设实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）作答．
【例】（2021·江苏南通市·中考真题）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：（元）；
去B超市的购物金额为：（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：；B商场y关于x的函数解析式：；
（2）当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．
【分析】
（1）利用促销方式，分别写出A、B两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;
（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．
【详解】
解：（1）A商场y关于x的函数解析式：，即：；
B商场y关于x的函数解析式：，即：；
（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元
∴当时，，
令，，
所以，当时，即，去B超市更省钱；
当时，，
令，，
所以，当时，即，此时去A、B超市一样省钱；
当时，即，去B超市更省钱；
当时，即，去A超市更省钱；
综上所述，当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．
四、反比例函数的性质在几何中的应用
反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等结合起来综合考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征列方程，求出点的坐标，进而求出函数解析式．
【例】（2021·四川凉山彝族自治州）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；
（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．
【详解】
解：（1）设点A坐标为（m，n），
∵∠ABO=90°，
∴B（m，0），又AN=，
∴N（m，），
∵△AOB的面积为12，
∴，即，
∵M为OA中点，
∴M（，），
∵M和N在反比例函数图像上，
∴，化简可得：，又，
∴，解得：，
∴，
∴M（2，3），代入，
得；
（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），
设直线MN的表达式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线MN的表达式为．
五、反比例函数与一次函数的综合应用
１．利用函数图象确定不等式或的解集的方法如图，过交点Ａ、Ｂ分别作x轴的垂线，它们连同y轴把平面 分为四部分，相应标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ． 从图象可以看出，在Ⅰ、Ⅲ部分，反比例函数图象位于一次 函数图象的上方，所以不等式的解集为或；在Ⅱ、Ⅳ部分，反比例函数图象位于一次函数图象的下方，所 以不等式的解集为或 ．
２．用割补的思想求△AOB的面积
【例】（2021·四川乐山市）如图，直线分别交轴，轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．
【答案】（1）-6；（2）8
【分析】
（1）过作垂直于轴，垂足为，证明．根据相似三角形的性质可得，，由此可得，．再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k值．
（2）先求得，，再利用待定系数法求得直线的解析式为．与反比例函数的解析式联立方程组，解方程组求得．再根据即可求解．
【详解】
（1）过作垂直于轴，垂足为，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，．
∴，，即．
（2）由（1）知，∴．
∵，∴，∴，．
设直线的解析式为，
将点、代入，得．
解得．
∴直线的解析式为．
联立方程组，解得，，
∴．
∴．
【例】（2021·四川遂宁市）如图，一次函数＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围．
【答案】（1）y1＝x＋1；；（2）N（0，7）或（0，－5）；（3）－2＜x＜－1或1＜x＜2
【分析】
（1）先用待定系数法求反比例函数解析式，再求出B点坐标，再求一次函数解析式即可；
（2）根据面积求出MN长，再根据M点坐标求出N点坐标即可；
（3）求出直线y3解析式，再求出它与反比例函数图象的交点坐标，根据图象，可直接写出结果．
【详解】
解：（1）∵过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
即反比例函数：，
当x＝－2时，a＝－1，即B（－2，－1）
y1＝kx＋b过A（1，2）和B（－2，－1）
代入得，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x＋1，
（2）当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1）
∵S△AMN＝1
∴MN＝6，
∴N（0，7）或（0，－5），
（3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点
∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1
∴y3＝x－1，
联立得解得或
∴C（－1，－2），D（2，1），
在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3，
∴－2＜x＜－1或1＜x＜2．