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初中数学中考复习 考点03 函数与函数图象-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册
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这是一份初中数学中考复习 考点03 函数与函数图象-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册，共12页。试卷主要包含了平面直角坐标系，点的坐标特征，一次函数的图象与性质，确定一次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系等内容，欢迎下载使用。
知识归纳
知识点1：直角坐标系
1．平面直角坐标系
（1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
（2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
2．点的坐标特征
（1）各象限内点的坐标特征：
点P(x，y)在第一象限,即x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限，即x<0,y>0；
点P(x，y)在第三象限，即x<0，y<0；点P(x,y)在第四象限，即x>0,y<0.
（2）坐标轴上点的特征：
x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的坐标为(0,0).
（3）对称点的坐标特征：
点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)；点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y);
点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y).
（4）点的平移特征：将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y));
将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)).
（5）点到坐标轴的距离:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
知识点2：函数的认识
1．函数的有关概念
（1）变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
（2）函数的概念：一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
（3）表示方法:解析式法、列表法、图象法.
（4）自变量的取值范围
① 解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数;
② 解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的实数;
③ 解析式是二次根式时，自变量的取值范围是被开方数大于等于0;
（5）函数值：对于一个函数，如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
2．函数的图象
（1）函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
（2）函数图象的画法：列表、描点、连线.
知识点3：一次函数与正比例函数
1．一次函数与正比例函数的定义
如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质.
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为，与y轴的交点为(0,b).
3．一次函数的图象与性质
4．确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
（1）由题意设出函数的关系式;
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;
（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
知识点4：反比例函数
1．反比例函数的定义
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
2．反比例函数的图象和性质
（1）图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
（2）反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质:
3．反比例函数的解析式的确定
求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
知识点5：二次函数
1．二次函数的定义
形如 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做x的二次函数.
2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
3．抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
（1）二者的形状相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k).
右左
（2）y=ax2的图象
上下
y=a(x-h)2的图象
y=a(x-h)2+k的图象.
4．二次函数的解析式的确定
要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);
（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
5．二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与x轴有交点时，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出与x轴交点的横坐标.
6．二次函数与不等式的关系
设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点，其中x10的解集为x>x2或x答题指导
1．确定出数自变量力的取值范围的方法
（1）整式：取全体实数
（2）有分母：取值使分母不为零
（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0
（4）有很多情况：取它们的公共部分
（5）在实际问题中：取值要符合实际意义
2．函数图像性质与系数的关系
（1）一次函数y=kx+b
① 当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
② 当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③ 当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④ 当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小.
（2）反比例函数
① 当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;
② 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
（3）二次函数ax2+bx+c=0
① a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.
② b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，故：
A. b=0时，对称轴为y轴；B. >0（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；C. <0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
3．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：
4．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系:
Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
①Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
③Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
5．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+bx+c）.
（2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式［y=a（x-h）2+k］.
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x1)(x-x2)］.
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
易错归类
易错点1：求函数自变量取值范围时注意：①二次根式中被开方数为非负数；②分式中分母不等于零；零指数幂中底数不等于零.
使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是_____________.
错解：x＞﹣2
正解：x＞﹣2且x≠1
分析：本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面，分式中分母不为零的条件应是x≠﹣2且x≠1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件，同时要与不等式的解集综合求解.
易错点2：在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义，如一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的a、b、c.
在一次函数y＝（2－k）x＋1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_________.
错解：k＞0
正解：k＞2
分析：错误的原因是以为﹣k是一次项的系数，由﹣k＜0得到错解.本题中一次项系数应是2－k，由2－k＜0得到正解.
易错点3：用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确.
将直线y＝﹣3x－4向左平移2个单位长度后，其解析式为___________________.
错解：y＝﹣3x－6
正解：y＝﹣3x－10
分析：本题可设平移后函数解析式为y＝kx+b，由平移中平行的关系可得k＝﹣3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点（﹣2,0），代入解析式从而求得错解.正确的解法是：先由平行得k＝﹣3，再由直线y＝﹣3x－4过点（0，﹣4），将此点向左平移2个单位长度得到点（﹣2，﹣4），再把点（﹣2，﹣4）及k＝﹣3代入所设解析式从而求得正解.
易错点4：利用图象求不等式（组）的解集与方程（组）的解时，混淆函数图象的增减性与解（解集）的关系.
已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是（ ）
A.x＜﹣1或0＜x＜3 B.﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C.﹣1＜x＜0或x＞3 D.0＜x＜3
错解：D
正解：A
分析：错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻，没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系，从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是：由题目条件，画出两个函数的大致图象，如图：
以交点A、B及原点O为界，把两个函数图象各分成四个部分，从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是：①A点左侧：x＜﹣1；②点A与原点O之间：﹣1＜x＜0；③原点O与B点之间：0＜x＜3；④B点右侧：x＞3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大，因此，由y1＞y2可得，自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3.
易错点5：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的位置与a，b，c的关系.
已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2＋bm＋a＞0（m≠﹣1）.其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
错解：B
正解：C
分析：本题错解的主要原因是不能很好地利用对称轴进行化简变形，没有理解最值的意义，从而对③、④判断错误.正确的解法是：由图象得抛物线与y轴交点为原点O，把（0,0）代入得c＝0，∴①正确；由抛物线与x轴交点为（﹣2,0）和（0,0）可得对称轴是直线x＝＝﹣1，∴②正确；当x＝1时，代入解析式得y＝a+b+c，又由对称轴是直线x＝﹣1，得＝﹣1，∴b＝2a，又c＝0，∴代入得y＝3a，∴③错误；当x＝m时，代入得y＝am2+bm+c,当x＝﹣1时，代入得y＝a－b+c,又x＝﹣1时，函数有最小值，∴a－b+c＜am2+bm+c,∴a－b＜am2+bm，又b＝2a，∴a－2a＜am2+bm，∴am2＋bm＋a＞0，∴④正确.故选项C正确.
易错点6：利用函数图表求解问题时易从中获取出错错误信息；利用函数模型求解问题是注意结果要符合实际.
科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______________℃.
错解：﹣2～0
正解：﹣1
分析：错误的原因可能是由表格中的数据信息直接得出错解，而没有认真审题，没有仔细观察分析图表信息.正确的解法是：先设l＝at2+bt+c，再任选三点代入求得解析式l＝﹣t2－2t+49,可化为顶点式l＝﹣(t＋1)2＋50，当t＝﹣1时，l最大值＝50，故填﹣1.
易错点7：实际问题中函数自变量取值范围与最值问题.
经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.
错解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得，
解得，∴v＝﹣x＋88.
当x＝100时，v＝﹣×100＋88＝48.
答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.
（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88，
由题意，得，
解得70＜x＜120.
答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.
（3）由题意，得当0≤x≤20时，y＝vx＝80x，
∵k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝20时，车流量y最大为80×20＝1600.
答：车流量y的最大值为1600辆/小时.
正解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得，
解得，
∴v＝﹣x＋88.
当x＝100时，v＝﹣×100＋88
＝48.
答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.
（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88，
由题意，得，
解得70＜x＜120.
答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.
（3）①当0≤x≤20时，车流量y1＝vx
＝80x，
∵k＝80＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝20时，车流量y1最大为80×20＝1600.
②当20≤x≤220时，车流量y2＝vx
＝（﹣x＋88）x
＝﹣(x－110)2＋4840，
当x＝110时，车流量y2取得最大值为4840.
∵4840＞1600，
∴车流量y的最大值为4840辆/小时.
答：车流量y的最大值为1600辆/小时.
分析：本题在第（3）小题求最值时出错，原因是没有分两种情况分别求出车流量的最大值，再从两种情况的结果比较中得出车流量的最大值.实际上，从题目的条件分析可得车流速度与车流密度的关系式有两个：当0≤x≤20时，v＝80；当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88.由此可得，车流量与车流密度也相应地有两个关系式，进而分类求解.
函数
系数取值
大致
图象
经过的象限
函数性质
y=kx
(k≠0)
k>0
一、三
y随x增大而增大
k<0
二、四
y随x增大而减小
y=kx+b
(k≠0)
k>0
b>0
一、二、三
y随x增大而增大
k>0
b<0
一、三、四
k<0
b>0
一、二、四
y随x增大而减小
k<0
b<0
二、三、四
函数
图象
所在象限
性质
(k≠0,k为常数)
k>0
三象限
(x,y同号)
在每个象限内,y随x增大而减小
k<0
四象限
(x,y异号)
在每个象限内,y随x增大而增大
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
图象
a>0
a<0
性质
①当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸.
②对称轴是,顶点坐标是.
③在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大,简记为左减右增.
④抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,y最小值=.
①当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.
②对称轴是,顶点坐标是.
③在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而减小,简记为左增右减.
④抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,y最大值=.
Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0的根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0
两个不相等的实数根
两个交点
Δ=0
两个相等的实数根
一个交点
Δ<0
无实数根
无交点
温度t/℃
﹣4
﹣2
0
1
4
植物高度增长量l/mm
41
49
49
46
25
知识归纳
知识点1：直角坐标系
1．平面直角坐标系
（1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
（2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
2．点的坐标特征
（1）各象限内点的坐标特征：
点P(x，y)在第一象限,即x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限，即x<0,y>0；
点P(x，y)在第三象限，即x<0，y<0；点P(x,y)在第四象限，即x>0,y<0.
（2）坐标轴上点的特征：
x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的坐标为(0,0).
（3）对称点的坐标特征：
点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)；点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y);
点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y).
（4）点的平移特征：将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y));
将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)).
（5）点到坐标轴的距离:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
知识点2：函数的认识
1．函数的有关概念
（1）变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
（2）函数的概念：一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
（3）表示方法:解析式法、列表法、图象法.
（4）自变量的取值范围
① 解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数;
② 解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的实数;
③ 解析式是二次根式时，自变量的取值范围是被开方数大于等于0;
（5）函数值：对于一个函数，如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
2．函数的图象
（1）函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
（2）函数图象的画法：列表、描点、连线.
知识点3：一次函数与正比例函数
1．一次函数与正比例函数的定义
如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质.
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为，与y轴的交点为(0,b).
3．一次函数的图象与性质
4．确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
（1）由题意设出函数的关系式;
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;
（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
知识点4：反比例函数
1．反比例函数的定义
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
2．反比例函数的图象和性质
（1）图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
（2）反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质:
3．反比例函数的解析式的确定
求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
知识点5：二次函数
1．二次函数的定义
形如 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做x的二次函数.
2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
3．抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
（1）二者的形状相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k).
右左
（2）y=ax2的图象
上下
y=a(x-h)2的图象
y=a(x-h)2+k的图象.
4．二次函数的解析式的确定
要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);
（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
5．二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与x轴有交点时，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出与x轴交点的横坐标.
6．二次函数与不等式的关系
设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点，其中x1
1．确定出数自变量力的取值范围的方法
（1）整式：取全体实数
（2）有分母：取值使分母不为零
（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0
（4）有很多情况：取它们的公共部分
（5）在实际问题中：取值要符合实际意义
2．函数图像性质与系数的关系
（1）一次函数y=kx+b
① 当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
② 当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③ 当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④ 当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小.
（2）反比例函数
① 当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;
② 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.
（3）二次函数ax2+bx+c=0
① a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.
② b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，故：
A. b=0时，对称轴为y轴；B. >0（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；C. <0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
3．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：
4．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系:
Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
①Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
③Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
5．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+bx+c）.
（2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式［y=a（x-h）2+k］.
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x1)(x-x2)］.
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
易错归类
易错点1：求函数自变量取值范围时注意：①二次根式中被开方数为非负数；②分式中分母不等于零；零指数幂中底数不等于零.
使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是_____________.
错解：x＞﹣2
正解：x＞﹣2且x≠1
分析：本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面，分式中分母不为零的条件应是x≠﹣2且x≠1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件，同时要与不等式的解集综合求解.
易错点2：在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义，如一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的a、b、c.
在一次函数y＝（2－k）x＋1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_________.
错解：k＞0
正解：k＞2
分析：错误的原因是以为﹣k是一次项的系数，由﹣k＜0得到错解.本题中一次项系数应是2－k，由2－k＜0得到正解.
易错点3：用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确.
将直线y＝﹣3x－4向左平移2个单位长度后，其解析式为___________________.
错解：y＝﹣3x－6
正解：y＝﹣3x－10
分析：本题可设平移后函数解析式为y＝kx+b，由平移中平行的关系可得k＝﹣3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点（﹣2,0），代入解析式从而求得错解.正确的解法是：先由平行得k＝﹣3，再由直线y＝﹣3x－4过点（0，﹣4），将此点向左平移2个单位长度得到点（﹣2，﹣4），再把点（﹣2，﹣4）及k＝﹣3代入所设解析式从而求得正解.
易错点4：利用图象求不等式（组）的解集与方程（组）的解时，混淆函数图象的增减性与解（解集）的关系.
已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是（ ）
A.x＜﹣1或0＜x＜3 B.﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C.﹣1＜x＜0或x＞3 D.0＜x＜3
错解：D
正解：A
分析：错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻，没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系，从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是：由题目条件，画出两个函数的大致图象，如图：
以交点A、B及原点O为界，把两个函数图象各分成四个部分，从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是：①A点左侧：x＜﹣1；②点A与原点O之间：﹣1＜x＜0；③原点O与B点之间：0＜x＜3；④B点右侧：x＞3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大，因此，由y1＞y2可得，自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3.
易错点5：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的位置与a，b，c的关系.
已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2＋bm＋a＞0（m≠﹣1）.其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
错解：B
正解：C
分析：本题错解的主要原因是不能很好地利用对称轴进行化简变形，没有理解最值的意义，从而对③、④判断错误.正确的解法是：由图象得抛物线与y轴交点为原点O，把（0,0）代入得c＝0，∴①正确；由抛物线与x轴交点为（﹣2,0）和（0,0）可得对称轴是直线x＝＝﹣1，∴②正确；当x＝1时，代入解析式得y＝a+b+c，又由对称轴是直线x＝﹣1，得＝﹣1，∴b＝2a，又c＝0，∴代入得y＝3a，∴③错误；当x＝m时，代入得y＝am2+bm+c,当x＝﹣1时，代入得y＝a－b+c,又x＝﹣1时，函数有最小值，∴a－b+c＜am2+bm+c,∴a－b＜am2+bm，又b＝2a，∴a－2a＜am2+bm，∴am2＋bm＋a＞0，∴④正确.故选项C正确.
易错点6：利用函数图表求解问题时易从中获取出错错误信息；利用函数模型求解问题是注意结果要符合实际.
科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______________℃.
错解：﹣2～0
正解：﹣1
分析：错误的原因可能是由表格中的数据信息直接得出错解，而没有认真审题，没有仔细观察分析图表信息.正确的解法是：先设l＝at2+bt+c，再任选三点代入求得解析式l＝﹣t2－2t+49,可化为顶点式l＝﹣(t＋1)2＋50，当t＝﹣1时，l最大值＝50，故填﹣1.
易错点7：实际问题中函数自变量取值范围与最值问题.
经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.
错解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得，
解得，∴v＝﹣x＋88.
当x＝100时，v＝﹣×100＋88＝48.
答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.
（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88，
由题意，得，
解得70＜x＜120.
答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.
（3）由题意，得当0≤x≤20时，y＝vx＝80x，
∵k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝20时，车流量y最大为80×20＝1600.
答：车流量y的最大值为1600辆/小时.
正解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得，
解得，
∴v＝﹣x＋88.
当x＝100时，v＝﹣×100＋88
＝48.
答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.
（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88，
由题意，得，
解得70＜x＜120.
答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.
（3）①当0≤x≤20时，车流量y1＝vx
＝80x，
∵k＝80＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝20时，车流量y1最大为80×20＝1600.
②当20≤x≤220时，车流量y2＝vx
＝（﹣x＋88）x
＝﹣(x－110)2＋4840，
当x＝110时，车流量y2取得最大值为4840.
∵4840＞1600，
∴车流量y的最大值为4840辆/小时.
答：车流量y的最大值为1600辆/小时.
分析：本题在第（3）小题求最值时出错，原因是没有分两种情况分别求出车流量的最大值，再从两种情况的结果比较中得出车流量的最大值.实际上，从题目的条件分析可得车流速度与车流密度的关系式有两个：当0≤x≤20时，v＝80；当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88.由此可得，车流量与车流密度也相应地有两个关系式，进而分类求解.
函数
系数取值
大致
图象
经过的象限
函数性质
y=kx
(k≠0)
k>0
一、三
y随x增大而增大
k<0
二、四
y随x增大而减小
y=kx+b
(k≠0)
k>0
b>0
一、二、三
y随x增大而增大
k>0
b<0
一、三、四
k<0
b>0
一、二、四
y随x增大而减小
k<0
b<0
二、三、四
函数
图象
所在象限
性质
(k≠0,k为常数)
k>0
三象限
(x,y同号)
在每个象限内,y随x增大而减小
k<0
四象限
(x,y异号)
在每个象限内,y随x增大而增大
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
图象
a>0
a<0
性质
①当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸.
②对称轴是,顶点坐标是.
③在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大,简记为左减右增.
④抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,y最小值=.
①当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.
②对称轴是,顶点坐标是.
③在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而减小,简记为左增右减.
④抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,y最大值=.
Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0的根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0
两个不相等的实数根
两个交点
Δ=0
两个相等的实数根
一个交点
Δ<0
无实数根
无交点
温度t/℃
﹣4
﹣2
0
1
4
植物高度增长量l/mm
41
49
49
46
25
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