高考数学第一轮复习复习第2节　直线的交点坐标与距离公式（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第2节　直线的交点坐标与距离公式（讲义），共22页。
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线的位置关系
(2)两条直线的交点坐标
若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交,则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.
(1)两条不重合的直线,斜率都不存在时,它们也平行.
(2)涉及含参数的两条直线垂直时,不要忽略一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).
2.三种距离
(1)应用点到直线的距离公式时应将方程化为最简的一般形式;(2)当两点A(x1,y1),B(x2,y2)中x1=x2时,直线AB∥y轴,此时|AB|=|y1-y2|;y1=y2时,直线AB∥x轴,此时|AB|=|x1-x2|.点P(x0,y0)到直线x=a的距离是d=|x0-a|,点P(x0,y0)到直线y=b的距离是d=|y0-b|.
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
2.点关于特殊的直线的对称问题的结论:
1.若直线l1:x-2y=0与l2:2x-ay+3=0构成的方程组无解,则实数a的值为( D )
A.2B.3C.-2D.4
解析:由题意知两直线平行,
则1×(-a)-2×(-2)=0,得a=4.
2.直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的距离为( D )
A.8B.4C.85D.32
解析:因为l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=|-14-1|62+82=32.
3.已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为12,则a= .
解析:由点到直线的距离公式得|3+a-3|1+a2=12,
解得a=±33.
答案:±33
4.(选择性必修第一册P67T8改编)过点(0,3),且与直线x+y+1=0垂直的直线方程是 ,平行的直线方程是 .
解析:与直线x+y+1=0垂直的直线方程可设为y-x+t=0,将(0,3)代入可得t=-3,即x-y+3=0.与直线x+y+1=0平行的直线方程可设为x+y+λ=0(λ≠1),将(0,3)代入可得λ=-3,即x+y-3=0.
答案:x-y+3=0 x+y-3=0
5.若直线l1:x+ay-4=0与直线l2:bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),则a= ,b= .
解析:将P(2,1)分别代入直线l1:x+ay-4=0与l2:bx-y+5=0的方程可得a=2,b=-2.
答案:2 -2
两条直线的位置关系
[例1] (1)直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m= ,若l1⊥l2,则m= ;
(2)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 .
解析:(1)若l1∥l2,则有2m=m+13≠4-2(m≠0),
故m=2或-3.
若l1⊥l2,则2m+(m+1)×3=0,解得m=-35.
(2)由方程组2x+3y+1=0,x-3y+4=0,解得x=-53,y=79,
即交点坐标为(-53,79).
因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,
所以所求直线的斜率为k=43.
由点斜式得所求直线方程为y-79=43(x+53),即4x-3y+9=0.
答案:(1)2或-3 -35 (2)4x-3y+9=0
(1)根据含参数的直线方程判断两直线平行、垂直时,可以利用直线方程系数间的关系求解;(2)求过定点且与直线平行或垂直的直线方程可以利用平行、垂直直线系求解,也可以根据平行或垂直关系确定斜率后利用点斜式求解.
[针对训练] (1)已知倾斜角为θ的直线l与直线3x-4y-1=0垂直,则cs θ的值为( )
A.-35B.-45
C.35D.45
(2)已知直线l1:kx+y+3=0,l2:x+ky+3=0,且l1∥l2,则k的值为 .
(3)若三条直线y=x,x+2y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为 .
解析:(1)由垂直知两直线的斜率之积为-1,而直线3x-4y-1=0的斜率为34,则l的斜率为-43,即tan θ=-43,θ为钝角,则cs θ=-35.
故选A.
(2)因为l1∥l2,所以-k=-1k(k≠0),
解得k=±1,而当k=1时,l1与l2重合,
所以k=-1.
(3)y=x与x+2y=3的交点为(1,1),三条直线相交于同一点,则mx+2y+5=0也过点(1,1),m+2+5=0,得m=-7.
答案:(1)A (2)-1 (3)-7
距离问题
[例2] (1)已知直线3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4B.1020C.104D.71020
(2)过点A(-1,2),到原点的距离等于1的直线方程为 .
解析:(1)由直线平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直线方程为6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,则所求距离是|12+3|32+12=71020.故选D.
(2)当直线的斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.
由题意可得|k+2|1+k2=1,解得k=-34,因此所求直线的方程为3x+4y-5=0.当直线的斜率不存在时,直线x=-1满足题意.
综上,所求直线的方程为3x+4y-5=0或x=-1.
答案:(1)D (2)3x+4y-5=0或x=-1
[典例迁移1] 将(1)变为:求到两平行直线3x+y-3=0和6x+my-1=0距离相等的直线的方程.
解:由题意得63=m1≠-1-3,
解得m=2,
将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,
则所求直线方程可以设为6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),
由|t+1|62+22=|t+6|62+22,
解得t=-72,
因此所求直线的方程为6x+2y-72=0.
[典例迁移2] 将(1)变为:已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上运动,求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.
解:(x1-x2)2+(y1-y2)2的几何意义是点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间距离的平方,由题意知,两直线3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,因此该距离的最小值即两条平行直线间的距离,|-1+6|62+22=540=104.可知(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为58.
(1)求点到直线的距离时直线方程必须化为一般式方程;另外要注意求解一个点到过定点的直线的距离时,不要忘记过定点的直线斜率不存在的情况.
(2)求两条平行直线之间的距离时,应先将直线方程化为对应系数相等的一般方程.
对称问题
[例3](1)直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是( )
A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0
(2)直线2x-4y-1=0关于x+y=0对称的直线方程为( )
A.4x-2y-1=0
B.4x-2y+1=0
C.4x+2y+1=0
D.4x+2y-1=0
(3)已知直线l:x-y-1=0,l1:x-y+3=0,则直线l1关于直线l的对称直线l2的方程为 .
(4)已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在y轴上的截距是 .
解析:(1)设所求对称直线上的点的坐标为(x,y),其关于点(-1,2)的对称点的坐标为(-2-x,4-y).由点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,
即2x+3y-2=0.故选D.
(2)设直线2x-4y-1=0上一点P(x0,y0)关于直线x+y=0对称的点的坐标为P′(x,y),
则y-y0x-x0=1,x+x02+y+y02=0,
整理可得x0=-y,y0=-x,
又点P在直线2x-4y-1=0上,
所以2(-y)-4(-x)-1=0,
即-2y+4x-1=0,
即直线2x-4y-1=0关于x+y=0对称的直线方程为4x-2y-1=0.故选A.
(3)因为l1∥l,
所以l2∥l.
设直线l2的方程为x-y+c=0(c≠3,且c≠-1).
由直线l1到直线l的距离等于直线l到直线l2的距离可知|3-(-1)|12+(-1)2=|c-(-1)|12+(-1)2,解得c=-5,所以直线l2的方程为x-y-5=0.
(4)由题意得直线AB与直线y=kx+b垂直,且线段AB的中点(-12,2)在直线y=kx+b上,
由kAB=3-11-(-2)=23,
结合题意可知23k=-1,-12k+b=2,
解得k=-32,b=54,
所以直线y=kx+b在y轴上的截距是54.
答案:(1)D (2)A (3)x-y-5=0 (4)54
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中点在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.
[针对训练]
1.已知直线l1与l2关于原点对称,若l1的方程是x+2y-3=0,则l2的方程是( )
A.x+2y+3=0B.x-2y+3=0
C.2x+y+3=0D.2x-y+3=0
解析:因为直线l1与l2关于原点对称,则只需将l1的方程中x改为-x,y改为-y,可得l2的方程是-x+2(-y)-3=0,即x+2y+3=0.故选A.
2.已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0,则点P关于直线l的对称点坐标为( )
A.(-3,-1)B.(2,4)
C.(-3,-2)D.(2,-2)
解析:设P(1,2)关于直线l:x+y+1=0对称的点为Q(a,b),则b-2a-1×(-1)=-1,a+12+b+22+1=0,
解得a=-3,b=-2.故选C.
3.一束光线从点M(5,3)射出,经x轴后反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为( )
A.y=3x-18B.y=-3x-12
C.y=3x+12D.y=-3x+18
解析:根据入射光线上的点关于反射面对称的点在反射光线的反向延长线上可知点M(5,3)关于x轴对称的点为M′(5,-3)在反射光线的反向延长线上,则kM′N=3-(-3)7-5=3,所以反射光线所在的直线方程为y-3=3(x-7),即y=3x-18.故选A.
4.若直线l1:x-3y+2=0与直线l2:mx-y+b=0关于x轴对称,则m+b等于( )
A.13B.-1C.-13D.1
解析:由题意知m≠0.因为mx-y+b=0,即x-ym+bm=0,且直线l1与l2关于x轴对称,所以有-1m=3,bm=2,解得m=-13,b=-23,则m+b=-13+(-23)=-1.故选B.
[例1] 已知直线l过Q(1,2),且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为( )
A.0B.1C.2D.3
解析:因为直线l过点Q(1,2),由于|PQ|=(1-0)2+(2-4)2=5>2,所以满足条件的直线l有2条.故选C.
[例2] 已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为( )
A.2x+3y+5=0B.3x-2y+5=0
C.3x+2y+5=0D.2x-3y+5=0
解析:设A(x0,y0),依题意可得x02-y02+1=0,y0x0=-1,
解得x0=-1,y0=1,即A(-1,1).
设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,
当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB.
又-1kAB=32,所以直线l2的方程为y-1=32(x+1),即3x-2y+5=0.故选B.
[例3] 若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0的交点在第一象限,则实数k的取值范围为( )
A.(-2,12)
B.(-12,0)
C.(-∞,-12)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(12,+∞)
解析:当k=13时,kx-k+y+1=x3+y+23=0,与x+3y-3=0平行,不合题意,
所以k≠13.
由题设,kx-k+y+1=0,x+3y-3=0,
解得x=3(2-k)1-3k>0,y=2k+13k-1>0,
所以k>2或k0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是25,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为 .
解析:因为直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0平行,
所以n=-2×2=-4.
又l1与l2之间的距离是25,
所以|2m+6|4+16=25,解得m=7,
因此直线l1:x-2y+7=0,l2:x-2y-3=0.
设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0,
则|-3-7|5=|-3-c|5,解得c=-13,
故所求直线方程为x-2y-13=0.
答案:x-2y-13=0
9.过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 .
解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x4+y=1,
即x+4y-4=0.
答案:x+4y-4=0
10.光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),则BC所在直线的方程是( A )
A.5x-2y+7=0 B.3x+y-1=0
C.3x-2y+4=0 D.2x-y-3=0
解析:根据题意,作出如图所示的光线路径,则点A(-3,4)关于x轴的对称点A′(-3,-4),
点D(-1,6)关于y轴的对称点D′(1,6),则BC所在直线的方程即为
A′D′所在直线的方程,由两点式方程得y+46+4=x+31+3,
整理得5x-2y+7=0.
11.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心,重心,垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,1),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为( D )
A.2x+4y-3=0 B.x-2y-3=0
C.2x-y-3=0 D.4x-2y-3=0
解析:由|AC|=|BC|及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线,
因为AB的中点为M(1,12),
斜率kAB=-12,
所以AB垂直平分线的斜率k=2.
因此△ABC的欧拉线的方程为y-12=2(x-1),即4x-2y-3=0.
12.在△ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为x-y+1=0,则点B的坐标为 ,△ABC的边BC所在直线的方程为 .
解析:设点B(x,y),则x-y+1=0,x+22+3×y-12-6=0,
解得x=52,y=72,
所以点B(52,72).
设点A(2,-1)关于x-y+1=0对称的点A′(m,n),
则AA′的中点坐标为(m+22,n-12),kAA′=n+1m-2,
于是n+1m-2=-1,m+22-n-12+1=0⇒m=-2,n=3,
则A′(-2,3),
所以kA′B=72-352+2=19,
所以直线BC的方程为y-72=19(x-52),
即x-9y+29=0.
答案:(52,72) x-9y+29=0
13.已知直线l的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,其中m∈R,求出当m变化时,点Q(3,4)到直线l的距离的最大值为 .
解析:将直线的方程化为2x+y+4+m(-x+2y+3)=0,则由共点直线系方程性质可知,直线恒过2x+y+4=0和-x+2y+3=0的交点,设交点为P,解得P(-1,-2),
则点Q到直线的距离的最大值即为|PQ|,
|PQ|=(3+1)2+(4+2)2=213.
答案:213
14.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则满足条件的实数a的一个值为 (写出一个即可,不必考虑所有情况).
解析:①当a=1时,直线l1,l2,l3重合,不能构成三角形,符合题意.
②当a≠1时,若三条直线交于一点,则不能构成三角形.
由x+ay+1=0,x+y+a=0,得直线l2,l3的交点坐标为(-a-1,1),
代入直线l1的方程ax+y+1=0得a2+a-2=0,解得a=-2或a=1(舍去).
若三条直线中有两条平行或重合,若l1和l3平行或重合,则a=1(舍去);若l2和l3平行或重合,则a=1(舍去);若l1和l2平行或重合,则-a=-1a,得a=1(舍去)或a=-1,符合题意.综上,实数a所有可能的值为-1,1,-2.
答案:-1(或1或-2)
15.如图,光线从P(a,0)(a>0)出发,经过直线l:x-3y=0反射到Q(b,0),该光线又在Q点被x轴反射,若反射光线恰与直线l平行,且b≥13,则实数a的最小值是 .
解析:如图所示,设P关于直线l的对称点为M,则M一定在第一次的反射光线所在直线上,设M关于x轴的对称点为N,则N必在第二次的反射光线所在直线上.
设M(x,y),则yx-a=-3,a+x2-3·y2=0,
解得x=45a,y=35a,
即M(45a,35a),
所以N(45a,-35a).
由题意kQN=-35a45a-b=13,
整理得b=135a.
因为b≥13,
所以135a≥13,a≥5.
答案:5斜截式
一般式
方程
y=k1x+b1,y=k2x+b2
A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0),A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
垂直
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1=k2,且b1≠b2
A1B2-A2B1=0,B1C2-B2C1≠0或A1B2-A2B1=0,A1C2-A2C1≠0
重合
k1=k2,且b1=b2
A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
三种距离
条件
公式
两点间
的距离
A(x1,y1),B(x2,y2)
|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2
点到直
线的距
离
P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为d
d=|Ax0+By0+C|A2+B2
两条平
行直线
间的
距离
直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距离为d
d=|C1-C2|A2+B2
点的坐标
对称直线
对称点的坐标
点P(x0,y0)
y=x
(y0,x0)
y=-x
(-y0,-x0)
x+y+t=0
(-t-y0,-t-x0)
x-y+t=0
(y0-t,x0+t)
知识点、方法
题号
两条直线的位置关系与距离
1,2,4,7,14
对称问题及其应用
3,9,10,15
直线方程的综合应用
5,6,8,11,12,13