莆田擢英中学2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份莆田擢英中学2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共10小题，每小题4分．满分40分)
1. 下面四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列实数中，（相邻两个之间依次多一个），无理数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
3. 如图，点P到直线公路MN共有四条路，若要从点P到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是（ ）
A. PAB. PBC. PCD. PD
4. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
5. 已知是关于、的二元一次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若x，y为实数，且与互为相反数．则的平方根为（ ）
A. B. C. D. 5
7. 如图，下面推理过程正确的是（ ）

A. 因为，所以B. 因为，所以
C. 因为，所以D. 因为，所以
8. 已知实数，满足，则下列结论中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，AB⊥BC，∠ABC的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）．
A B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题(共6小题，每小题4分，满分4分)
11. 如图，是由沿方向平移4个单位长度得到的，则点A与点的距离等于________个单位长度．

12. 如图所示，若“兵”的位置是，“炮”的位置是，则“将”的位置可以表示为_____．
13. 一个正数的平方根分别是和，则这个正数为______．
14. 如图，数轴上A、B两点对应的实数是和，，则点C所对应的实数是________

15. 若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为________．
16. 如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____．
三、解答题(共9小题，满分86分)
17. 计算：．
18 解方程组：．
19. 若，c是64的算术平方根，求的值．
20 已知：如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．

（1）在图中画出；
（2）求出面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得与面积相等?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
21. 如图，在中，，，垂足分别为D、F，，．求证：．请将证明过程补充完整，并在括号内填写推理的依据．

证明：∵，，
∴，，(①__________)
∴ (等量代换)
∴(②____________(③_______________)，
∴ (④____________)，
又∵ (已知)，
∴ (⑤_________)，
∴⑥_________(⑦_________)，
又∵ (已知)，
∴ (⑧_________)．
22. 如图，直线，相交于点O，且．

（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
23. 某电器超市销售每台进价分别为350元、260元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市再采购这两种型号的电风扇共30台，并且全部售完，这30台的利润为1250元，请给出相应的采购方案．
24. 规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题．
（1）已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由；
（2）已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根．
（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，3），C（2，0），且满足，线段AB交y轴于点F．
（1）填空：a＝______，b＝______；
（2）如图1，在x轴上是否存在点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点D为y轴正半轴上一点，，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，AM交y轴于点P，求∠AMD度数．
参考答案
一、选择题(共10小题，每小题4分．满分40分)
1. B
【分析】根据定义判断即可：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有B选项中的与是对顶角，其它都不是，
故选：B．
2. C
【分析】根据平方根、立方根及无理数的概念可进行求解．
【详解】解：∵，
∴无理数的有（相邻两个之间依次多一个），共个；
故选C．
3. B
【分析】根据垂线段最短即可得．
【详解】解：，
用相同速度行走，最快到达的路径是（垂线段最短），
故选：B．
4. B
【分析】判断出点的横纵坐标的符号即可求解．
【详解】解：∵
∴点在第二象限，
故答案选B．
5. A
【分析】根据二元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于、二元一次方程，
∴，
∴，
故选A．
6. C
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0以及非负数的性质求得x、y的值，再代值求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根为，
故选：C．
7. C
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A．因，所以，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．因为，所以，原说法错误，故此选项不符合题意；
C．因为，所以，原说法正确，故此选项符合题意；
D．因为，所以，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
8. C
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】A． ， ，正确，不符合题意；
B． ， ，正确，不符合题意；
C． ， ，故该选项不正确，符合题意；
D． ， ，正确，不符合题意；
故选：C．
9. A
【分析】此题中的等量关系有：， ，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设∠ABD和∠DBC度数分别为x°，y°，则有
整理得：，
故选：A．
10. D
【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点在第253个循环中的第七个点的位置，即可得出点的坐标．
【详解】解：由图可得，第一个正方形中，，，，，
各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；
第二个正方形中，，,，，
各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0；
根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，
∴，
∴点在第253个循环中的第7个点的位置，
∴故点的纵坐标为，
又∵的横坐标为4，的横坐标为，的横坐标为，…
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为的坐标为，
故选：D．
二、填空题(共6小题，每小题4分，满分4分)
11. 4
【分析】根据平移的特点直接可以得出结果．
【详解】图形的平移，整体平移4个单位长度，则对应点之间也是平移4个单位长度，即点A与点的距离等于4个单位长度．
故答案为：4．
12.
【分析】直接利用“兵”、“炮”的位置确定列、行代表的意义，进而得出答案．
【详解】解：由题意可知：
以“兵”所在列为第1列，则“兵”的位置表示第1列，第2行，
“炮”的位置表示第8列，第3行，
则“将”在第2列，第5行，
故“将”的位置可以表示为，
故答案为：．
13. ##0.25
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，
∴m+（﹣3m+1）＝0，解得：m，
∴a＝（）2，
故答案为：．
14. ##
【分析】根据线段中点的性质，可得答案．
【详解】解：∵，
∴C点坐标为A点坐标加的长，
即C点坐标为，
故答案为：．
15. 0
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，根据x+y=0求出k的值即可．
【详解】解：
+②，得3（x+y）=2k，
解得：x+y=.
由题意得：x+y=0，
可得=0，
解得：k=0，
故答案为：0．
16. 5秒或95秒
【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，
要使，则∠ACD＝∠BAC，
即120°−(3t)°＝110°−t°，
解得t＝5；
如图②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°−(3t)°−60°＝300°−(3t)°，∠BAC＝110°−t°，
要使，则∠DCF＝∠BAC，
即300°−(3t)°＝110°−t°，
解得t＝95；
如图③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∠DCF＝(3t)°−(180°−60°＋180°)＝(3t)°−300°，∠BAC＝t°−110°，
要使，则∠DCF＝∠BAC，
即(3t)°−300°＝t°−110°，
解得t＝95，
此时∠BAC＝t°−110°＜0°，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为5秒或95秒时，CD与AB平行．
故答案为：5秒或95秒．
三、解答题(共9小题，满分86分)
17.
【分析】先计算平方、算术平方根和立方根，再计算加减．
【详解】解：
．
18.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
19. 64
【分析】根据负数没有算术平方根，即被开平方数是非负数，求出a，进而求出b，根据算术平方根的含义求出c，即可作答．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
∴，
∵c是64的算术平方根，
∴，
则．
20.（1）见解析 （2）6 （3）存在，点P的坐标为或．
【分析】（1）找到平移后的对应点，顺次连接即可；
（2）直接根据三角形面积公式求解；
（3）根据三角形面积公式，可在y轴上找到一点P使与面积相等．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：设中边上的高为h，
则，解得，，
点B和点C的纵坐标为，
，，
∴点P的坐标为或．
21.①垂直的定义；②；③同位角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤等量代换；⑥；⑦内错角相等，两直线平行；⑧平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【分析】首先证明，根据平行线的性质得出，等量代换求出，然后可得，再根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出结论．
【详解】证明：∵，，
∴，，（垂直的定义）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵ (已知)，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
又∵（已知），
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
故答案为：①垂直的定义；②；③同位角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤等量代换；⑥；⑦内错角相等，两直线平行；⑧平行于同一条直线的两条直线互相平行．
22.（1）的度数为 （2）的度数为
【分析】（1）利用垂直的定义和对顶角相等即可求解；
（2）利用平角的定义和垂直的定义即可求解．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，且，
∴，
∵，
∴
∴．
23.（1）A种型号的电风扇的销售单价为400元，B种型号的电风扇的销售单价为300元
（2）可采购A种型号的电风扇5台，B种型号的电风扇25台
【分析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，根据前两周的销售数量及销售收入，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台，根据该超市一共采购这两种型号的电风扇共30台且销售完毕后可获得1250元利润，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种型号的电风扇的销售单价为400元，B种型号的电风扇的销售单价为300元．
【小问2详解】
解：设采购A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台，
依题意，得：，
解得：．
答：采购A种型号的电风扇5台，B种型号的电风扇25台．
24.（1）点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”
（2）2m−n的平方根为±4 （3）点P的坐标为
【分析】(1 )根据“理想点"定义进行判断即可；
(2)根据题意求出m和n的值，进一步求解即可；
(3)解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出x和y的值即可．
【小问1详解】
，
∴点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”．
【小问2详解】
把代入方程，得，又∵
解得，
因为为非负整数，所以
【小问3详解】
由题意得，解得
∵x是整数，
∵y是整数，或
当时，；
当时，；
当时，；
当时，
所以点P的坐标为
25.（1）-3，3 （2）存在，P（-8，0） （3）45°
【分析】（1）根据非负数的性质可得，即可求得a=-3，b=3；
（2）根据，即可得出P的坐标；
（3）由AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，得∠BAM=∠CAM=α，∠ODM=∠EDM=β，根据三角形内角和定理得：α+90°=β+∠M，根据ED∥AB，得∠EDF=∠AFD，即2β=2α+90°，综合即可解决问题；
【小问1详解】
解：∵
∴
解得
故答案为：
【小问2详解】
解：存在，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等
∴
当点在点的左侧时，，
当点在点的右侧时，与点重合，
综上所述，存在点使得△ABP的面积与△ABC的面积相等
【小问3详解】
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠BAM=∠CAM，∠ODM=∠EDM
设∠BAM=∠CAM=α，∠ODM=∠EDM=β，
由三角形内角和为180°得：
∠PAO+∠APO+∠AOP=∠DPM+∠PDM+∠M=180°，
∴α+90°=β+∠M，
∵ED∥AB，
∴∠EDF=∠AFD，
即2β=2α+90°，
∴β-α=45°，
∴∠M=90°+α-β=90°-45°=45°；
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
2台
3台
1700
第二周
5台
6台
3800