江西省部分学校2024届高三下学期5月月考数学试题

这是一份江西省部分学校2024届高三下学期5月月考数学试题，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名： 分数：
卷I（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用列举法表示集合A，解指数不等式化简集合B，再利用交集的定义求解即得.
【详解】依题意，，，
则．
故选：C
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据条件得到，再利用模长的计算公式，即可求出结果.
【详解】令，则，所以，解得，
所以，故，
故选：D.
3. 已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（ ）
A B. 试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出双曲线方程再根据双曲线渐近线的求法得解.
【详解】因为双曲线C：经过点，
所以，渐近线方程为.
故选：B
4. 已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，列出方程求解即可．
【详解】由得，，即，解得，
故选：B．
5. 羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由全概率公式即可求解.
【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是，
第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是，
第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是，
由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为.
故选：C.
6. 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ）
A. 或1B. 或1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别利用等比数列的通项公式和前项和公式，解方程组可得或.
【详解】设等比数列首项为，公比为，依题意得，
解得或.
故选：A.
7. 在中，，，，则点A到边的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，根据求出，根据余弦定理求出，设点到边的距离为，然后根据三角形面积公式，求出答案.
【详解】
在中，由，所以，解得，.
由余弦定理有，故.
设点到边的距离为，由三角形面积公式得：，
故，
故选：A.
8. 已知正方体的棱长为2，P为的中点，过A，B，P三点作平面，则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出球心到平面的距离，再利用球的截面小圆性质求出截面圆半径即可.
【详解】正方体的外接球球心是的中点，而，
则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，又平面过线段的中点P，
因此点与点到平面的距离相等，由平面，，得平面，
在平面内过作于，而平面，于是，
又，从而，又球的半径，
则正方体的外接球被平面截得的截面圆半径，有，
所以正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积.
故选：D
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.未全对给3分，全对6分.）
9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ）
A. 若，，，则
B. ，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据垂直关系的转化与判定定理和性质定理，即可判断选项.
【详解】A. 若，，，不能推出或，则不能推出，故A错误；
B.若，，则，又，所以，故B正确；
C. 若，，则，又，所以，故C正确；
D. 若，，，说明与和垂直的法向量互相垂直，则，故D正确.
故选：BCD
10. 设拋物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（ ）
A. 的准线方程为B. 的值为2
C. D. 的面积与的面积之比为9
【答案】BD
【解析】
【分析】设直线的方程为，，利用根与系数的关系及抛物线的性质进行计算，从而判定各选项.
【详解】设直线的方程为，，
联立，可得，
所以，，
因为，所以，故，
因为，由抛物线定义可得，，，
则，解得或，
因为，所以，则的准线方程为，故B正确，A错误；
又的方程为，，，
把代入可得，，
不妨设，则，故C错误；
设到直线的距离为，
的面积，的面积，
则的面积与的面积之比，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（ ）
A. 的图像关于点对称B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A正确；结合和，化简得到，可判定B不正确；令，得到，得到函数和是以4为周期的周期函数，结合，可判定C正确；结合， ，，得到，结合是以4为周期的周期函数，进而求得的值，即可求解.
【详解】对于A中，设函数的图象关于对称，
则关于对称，可得关于对称，
因为函数的图像关于点对称，可得，解得，
所以函数的图象关于对称，所以A正确；
对于B中，由函数的图象关于对称，可得，
因为，可得，
则，
两式相减得，即，所以B不正确；
对于C中，令，
可得，
因为，所以，
所以函数是以4为周期周期函数，
由，可得，所以，
因为函数是以4为周期的周期函数，则是以4为周期的周期函数，
所以，
由，可得，
即，令，可得，所以，
所以，所以，所以C正确；
对于D中，因为，且函数关于对称，可得，
又因为，令，可得，所以，
再令，可得，所以，
由，可得，
可得
又由函数是以4为周期的周期函数，且，
所以

，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论
（1）对于函数，若其图象关于直线对称（时，为偶函数），
则①；②；③.
（2）对于函数，若其图象关于点对称（时，为奇函数），
则①；②；③.
（3）对于函数，若其图象关于点对称，
则①；②；③.
卷II（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 设，，若，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】运用基本不等式求出的范围，再对的分子运用基本不等式，放缩为，再根据等号成立条件，运用不等式的传递性求解即可.
【详解】由，，，得，所以，
当且仅当时取等号，
，
当且仅当时取等号，
所以，两个不等式等号成立条件相同，
所以，当且仅当时，取得最小值.
故答案为：.
13. 抽样统计得到某班8名女生的身高分别为，则这8名女生身高的第75百分位数是______.
【答案】159
【解析】
【分析】利用百分位数的估计公式计算可得.
【详解】将数据由小到大排列为：，
由，得第75百分位数是.
故答案为：159
14. 已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量公式计算即可.
【详解】设与的夹角为，
因为，
即，又，
则，即．
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式的定义或者公式，即可求解；
（2）首先写出随机变量的取值，再根据取值的意义，写出概率，即可求出分布列和数学期望.
【小问1详解】
角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.
角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，
则，,
所求概率；
【小问2详解】
的所有可能取值为.
，，
，，
的分布列为：
,均值.
16. 如图，在三棱锥中，平面平面，点为的重心，．
（1）若平面，求的长度；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】(1)连接并延长与交于点，连接，由线面平行的性质定理得，再利用G为重心得到，求出AD，再利用勾股定理求出BD长即可.
(2)以BC中点O为坐标原点建系，求出PD的方向向量与平面PAB的法向量，再利用线面角与这两个向量夹角之间的关系计算即可.
【小问1详解】
连接并延长与交于点，连接，所以平面平面．
因为平面平面所以
又因为为的重心，所以．所以．
所以，即．所以在中，，则．
【小问2详解】
设为的中点，连接．因为平面平面
又因为所以，且平面平面，
所以平面，如图所示，分别以为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，所以，因为，所以
又因为，所以，所以．
所以，又因为．
不妨设平面的法向量，所以
所以，可取
设直线与平面所成的角为，所以．
即直线与平面所成的角的正弦值为.
17. 在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．
（1）求角；
（2）若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，两式联立可得，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，
，故，
，即，
又，则．
【小问2详解】
由（1）可知，，又外接圆的半径为；
由正弦定理可知，
所以，
因为是的平分线，故，
又，
由，
可得，即．①
由余弦定理可知，，即．②
由①②可知．
所以，
又，则，
所以.
18. 已知正项数列的前项和为，，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；
（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.
【小问1详解】
当时，由，即，解得：，
所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；
所以，则，
当时，，
当时，满足条件，
所以的通项公式为
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
故，
即
19. 已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明；
（2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数.
【小问1详解】
因为函数的定义域为，当时，.
要证，只需证：当时，.
令，则，
则在单调递增，
所以，即.
【小问2详解】
，
令，
则.
所以在单调递增，，
①时，，.
则在为增函数，在上无极值点，矛盾.
②当时，.由（1）知，，
，则，则使.
当时，，，则在上单调递减；
当时，，，则在上单调递增.
因此，在区间上恰有一个极值点，
所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.0
1
2
3