2024届江西省部分学校高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届江西省部分学校高三上学期期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合只有一个元素，则a的值为 （ ）
A．0B．1C．0或1D．—1
【答案】C
【详解】因为集合只有一个元素，
所以或或，选C.
2．若直线，，则直线间的位置关系是
A．平行B．异面或平行C．相交D．异面
【答案】B
【解析】利用空间中线线，线面的位置关系判断即可.
【详解】解：若直线，，则直线间的位置关系是平行或异面，
故选：B.
【点睛】本题考查空间中线线的位置关系，是基础题.
3．若k∈R则“k>5”是“方程 表示双曲线”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线意义，求得k的取值范围；结合充分及必要关系即可判断．
【详解】若k>5，则
所以方程 表示双曲线
若方程 表示双曲线，则
所以 或
综上可知，“k>5”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件
所以选A
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，充分及必要条件关系的判断，属于基础题．
4．若复数z满足，则（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】C
【分析】根据共轭复数的概念结合复数的模的运算求解.
【详解】∵，则，
∴.
故选：C.
5．已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝|lg2x|，若0＜m＜n且f(m)＝f(n)，则2m+n的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式和的取值范围可求出mn＝1，从而利用基本不等式即可求出2m+n的取值范围.
【详解】因为f(x)＝|lg2x|，0＜m＜n且f(m)＝f(n)，
所以，即，所以mn＝1．
∴2m+n≥＝，当且仅当2m＝n，即时等号成立．
故2m+n的取值范围为.
故选：D．
6．双曲线：的左，右焦点分别为，，，两点在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据，线段交双曲线于点，且确定的坐标，代入双曲线方程，再根据双曲线的性质即可求出双曲线的离心率．
【详解】因为，，
所以，则由对称性可知，
因为，所以是的中点，则，
将代入双曲线，
可得，，消去得，故．
故选：D.
7．已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（ ）个
A．2B．4C．6D．9
【答案】C
【分析】变形给定的递推公式，由，推导出矛盾，从而得，再代入即可分析求解.
【详解】由，得，当时，，
两式相减得，即，
于是，依题意，
若，有，则，即是递减数列，
由于是无穷正整数数列，则必存在，使得与矛盾，
因此，即，于是数列是周期为2的周期数列，
当时，由，得，即，
从而，所以的可能值有6个.
故选：C
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，结合已知条件探讨项间关系而解决问题.
8．已知，当时，恒成立，则b的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】转化问题为，恒成立，令，，结合导数分析其单调性，从而求得最值，可得，，进而结合不等式的基本性质求解即可.
【详解】由题意，即，恒成立，
即，
即，
即．
令，，
则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，
且，即，
所以的最小值为，最大值为．
由知，，，
设，
即，
则，解得，，
所以，
因为，，
所以，
，
则，
即，
所以b的最大值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将问题转化为，恒成立，进而结合导数分析其最值，最后结合不等式的基本性质求解.
二、多选题
9．已知直线，直线，则（ ）
A．当时，与的交点为B．直线恒过点
C．若，则D．存在，使
【答案】ABC
【分析】将代入解得两直线交点坐标为可判断A；令解得可判断B，由直线垂直的条件可判断C，由直线平行的条件可判断D.
【详解】对于A，当时，直线，直线，
联立解得
所以两直线的交点为，故A正确；
对于B，直线，令解得即直线恒过点，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D，假设存在，使，则，解得或，
当时，，，两直线重合，舍去，
当时，直线，直线，两直线重合，舍去，
所以不存在，使，故D错误.
故选：ABC.
10．在中，，，，是边上的一点，则（ ）
A．B．外接圆的半径是
C．若，则D．若是的平分线，则
【答案】ACD
【分析】根据向量的数量积公式判断A选项，应用余弦定理及正弦定理判断B选项，应用向量加减法判断C选项，根据面积公式求解判断D选项.
【详解】对于选项：，故选项正确；
对于选项B：由余弦定理，得，解得，
由正弦定理，得外接圆的半径是，故选项B错误；
对于选项C：因为，所以，所以，则，故选项C正确；
对于选项D：由等面积法，得
即，解得，故选项D正确；
故选：.
11．设向量满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据向量数量积公式，将平方后，即可判断A；由已知变形得，平方后即可求，即可判断B；利用向量模的数量积公式即可判断C；根据向量数量积的夹角公式，即可判断D.
【详解】将平方得，
由，，得，故A正确；
由平方得，得，所以，故B不正确；
因为，所以，所以，所以，即，故C正确；
由选项C可得，，与C同理可得，，，
所以，故D正确．
故选：ACD
12．定义数列，则下列说法正确的是（ ）
A．是单调递减数列B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，得，结合选项利用各项间的关系，构造函数一次求解即可.
【详解】由题意得，
在单调递增，在单调递减，
，当且仅当时，，
若，又因为，则，则，
又因为，所以，所以.
对A：设，可得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以时，，所以，所以，
由，当时，，
因为，所以，则，同理得，
当时，，所以，故数列单调递减，选项A正确；
对B：需证明，
令，
令，则，
成立，所以，选项B正确；
对C：，设，
设，则，
所以函数单调递减，所以随着减小，从而增大，
所以，选项C错误；
对D：当时，根据选项B可知，，
当时，，即，选项D正确．
故选:ABD
【点睛】本题考查了数列的综合应用，结合构造的模型函数进行求解.
三、填空题
13．已知函数，若，则 ．
【答案】2
【分析】根据指数幂的运算法则计算可得.
【详解】解：函数，，
，
．
故答案为：．
14．飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成.在四边形中，，，，，点是八边形内（不含边界）一点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】延长至点，作，延长至点，作，过点作，垂足为，再利用向量的线性运算转化为，进而根据的位置确定取值范围即可
【详解】如图所示，延长至点，作，延长至点，作，过点作，垂足为.，.
.当点与点重合时，；当点与点重合时，.故的取值范围是.
故答案为：
15．已知点在函数的图象上，且在上单调递减，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由点在函数的图象上得到，再结合在上单调递减，求得函数即可.
【详解】解：因为点在函数的图象上，
所以.又在上单调递减，
所以，即，
所以，
易知的一个单调递减区间为，
所以的最大值为.
故答案为：
16．已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点P处的切线，若三角形的内心为点M，直线与直线交于N点，则点横坐标之差为 ．
【答案】
【分析】由题意写出明确两曲线的焦点，可求得P点坐标，进而求出P点处的切线方程，利用圆的切线性质结合双曲线几何性质求出三角形内切圆圆心的横坐标，再表示出直线的方程，联立解得N点横坐标，即可求得答案.
【详解】由题意得，，为曲线的左、右焦点，
点P为曲线与曲线在第一象限的交点，即C、E有相同的焦点，
则，联立，消去，得，
又，可得，
对于椭圆，设为椭圆上一点，令，
则椭圆化为圆，则对应点即为，
由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为，
故可得椭圆在处的切线方程为，
故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限，
则，可得直线方程为①，
设三角形内切圆半径为，由等面积得，
，则 ②，
又P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图：
由圆的切线性质得，则，
即，即M点横坐标为1，
由，可得直线的方程为③ ，
联立①②③，化简可得，又，故.
故答案为：
四、解答题
17．在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求；
(2)为边上一点，，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式去分母，正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式化简，可得角；
（2）由且，利用向量法求得，再结合余弦定理求和.
【详解】（1）已知，
由，有，
所以，
两边同乘以abc得：．
由正弦定理得：．
由，，所以，．
（2）取、为平面向量的基底．
因为D在BC边上，且，
所以．
因为，所以，则
即，得，
所以，．
不妨设，．
在中，由余弦定理：，所以．
由余弦定理：．
18．2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件 “了解亚运会项目”， “学生为女生”，据统计，.
附：，.
(1)根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关?
(2)现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)列联表见解析，该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）根据题中所给条件填写表格，写出零假设，根据列联表中数据计算出值，与比较，得出结论即可.
（2）根据题意知其服从超几何分布，列出分布列，求出数学期望即可.
【详解】（1）因为，，
所以对杭州亚运会项目了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，
结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为：
零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据，
依据的独立性检验，可以推断成立，
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，
其中男生人数为（人）；
女生人数为（人），
由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
随机变量的分布列如下：
则.
五、问答题
19．已知数列中，，，数列中，，.
（1）求和的通项公式；
（2）若数列求数列的前项和，并求使得恒成立的最大正整数的值.
【答案】（1）；；（2）6.
【分析】（1）当时，，再与相减可得，从而得到是首项为1，公比为2的等比数列，易得是常数列且，即可得到答案；
（2）利用错位相减法求得数列的前项和为，求出的最小值，再解不等式，即可得到答案；
【详解】解：（1）由题意知，∴当时，，
两式相减得，∴，
当时，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴.
数列中，，，
∴是常数列且
∴.
（2）由（1）知，则数列的前项和为
，
，
两式相减可得，
∴，显然单调递增，
∴，
故恒成立，即恒成立，解得，
所以最大正整数.
六、证明题
20．如图，在四棱台中，底面是中点．底面为直角梯形，且．

(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意先证平面，进而可得，根据勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）因为底面，底面，则，
由题意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨设，由题意可得：，
可知：，即，
且，平面，
所以直线平面.
（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，

则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值.
七、解答题
21．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为．椭圆的中心为，左焦点为，上顶点为，右顶点为，且．
(1)求抛物线和椭圆的标准方程．
(2)设直线经过点，与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点．记和的面积分别为和，是否存在直线，使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，其方程为或
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标直接可得抛物线方程，再设，，结合，可得椭圆方程；
（2）设直线的方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式，可得面积，再根据，可得直线方程.
【详解】（1）由抛物线的焦点为，
可知，所以，
所以抛物线的方程为；
设椭圆的标准方程为，则，，
所以，，
由，可得，
又，
所以，解得或（舍），
则，
所以椭圆方程为；
（2）
由题意可知，直线的斜率一定不为，
则设直线的方程为，，，，，
联立直线与抛物线，得，，
则，，
所以的面积，
联立直线与椭圆，得，
，
则，，
所以的面积，
又，
所以，解得，
所以存在满足条件的直线，且直线方程为或.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数a使得对恒成立，求a的最大整数值.
【答案】(1)
(2)
(3)-2
【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
（3）依题意，将不等式等价转化为在R恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值的范围，进而求解.
【详解】（1），，
，，所求切线方程为，即，
所以切线方程为.
（2）令，则，
当时，，在上单调递增.
又，，，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，，
所以函数在区间上的最大值为.
（3）不等式恒成立等价于恒成立,
令，当时，，恒成立,
当时，令，则,
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，，
当时，；当时，，的值域为,
，，
，
所以a的最大整数值为-2.
【点睛】用导数解决恒成立问题求参数的取值范围，常见两种方法：
（1）利用分类讨论思想求出函数的单调性及最值，进而求参数范围；
（2）利用分离变量思想，构造新的函数，运用导数求新的函数的最值，进而求参数的范围.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
男生
15
35
50
女生
30
20
50
合计
45
55
100
0
1
2
3