高考数学复习核心专题突破(二)　微专题4　高考中的解三角形问题（导学案）

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核心专题突破(二)
微专题4 高考中的解三角形问题
【题型一】边、角、周长和面积的计算问题
[典例1](2023·十堰模拟)已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A(ccs B+bcs C)-csin B=csin C+bsin B,
(1)求角A;
(2)若AD平分∠BAC交线段BC于点D,且AD=2,BD=2CD,求△ABC的周长.
解析：(1)由余弦定理的推论得ccs B+bcs C=c·a2+c2-b22ac+b·a2+b2-c22ab=a,
因为sin A(ccs B+bcs C)-csin B=csin C+bsin B,
所以asin A-csin B=csin C+bsin B,由正弦定理得a2-bc=c2+b2,
即c2+b2-a2=-bc,
由余弦定理的推论得cs A=b2+c2-a22bc=-12,
因为0(2)如图所示:
因为∠BAC=2π3,
所以S△ABC=12AB·AC·sin∠BAC=34bc,
因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠BAD=∠CAD=π3,
因为∠ADB+∠ADC=π,所以∠ADB=π-∠ADC,
所以sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC,
在△BAD中,由正弦定理得:BDsin∠BAD=ABsin∠ADB,
在△CAD中,由正弦定理得:CDsin∠CAD=ACsin∠ADC,
两式相除得BDCD=ABAC,
因为BD=2CD,所以AB=2AC,即c=2b,
因为AD=2,
所以S△BAD=12AB·AD·sin∠BAD=32c,S△CAD=12AC·AD·sin∠CAD=32b,
因为S△ABC=S△BAD+S△CAD,
所以34bc=32b+32c,
因为b·2b=2b+4b,
整理得b2=3b,解得b=3或b=0(舍去),
所以c=6,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs∠BAC=63,
因为a>0,所以a=37,所以△ABC的周长为a+b+c=37+3+6=37+9,
故△ABC的周长37+9.
【方法提炼】
基本量计算问题的求解思路
(1)边角关系要统一,化简过程务必要等价转化;
(2)放在适当的三角形中求解,优先考虑特殊的三角形(有时作辅助线会事半功倍);
(3)注意寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,以及方程思想的应用.
【对点训练】
(2022·南通模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=5,2bcs C=2a-c.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面积为103,设D是BC的中点,求sin∠BADsin∠CAD的值.
解析：(1)因为2bcs C=2a-c,
所以由正弦定理得,2sin Bcs C=2sin A-sin C,
即2sin Bcs C=2sin(π-B-C)-sin C,
即2sin Bcs C=2sin(B+C)-sin C,
即2sin Bcs C=2sin Bcs C+2cs Bsin C-sin C,
即2cs Bsin C=sin C,
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以cs B=12,
因为B∈(0,π),所以B=π3;
(2)12acsin B=103⇒12·a·5·32=103⇒a=8,b=a2+c2-2accsB= 64+25-2×8×5×12=7,
在△ABD中,由正弦定理得,ABsin∠BDA=BDsin∠BAD⇒sin∠BAD=BD·sin∠BDAAB,
在△ACD中,由正弦定理得,ACsin∠CDA=CDsin∠CAD⇒sin∠CAD=CD·sin∠CDAAC,
因为BD=CD,sin∠BDA=sin∠CDA,
所以sin∠BADsin∠CAD=ACAB=bc=75.
【加练备选】
(2022·重庆模拟)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cs A=89,a=2,△ABC的面积为172.
(1)求b,c;
(2)O为边AC上一点,过点A作AD∥BC交BO延长线于点D,若△AOD的面积为2173,求cs D.
解析：(1)因为A∈(0,π),sin A>0,所以sin A=1-cs2A=179,S△ABC=12bcsin A=1718bc=172,则bc=9,
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,即2=b2+c2-16,所以b2+c2=18,
所以(b-c)2=b2+c2-2bc=18-2×9=0,
所以b=c,所以bc=b2=9,解得b=3,
所以b=c=3.
(2)设OC=λOA,λ>0,则S△OBCS△ABC=OCAC=OCOA+OC=λλ+1,所以S△OBC=λλ+1·172,
因为AD∥BC,则△OBC∽△ODA.
所以S△OBCS△ODA=(OCOA)2=λ2,
所以S△OBC=λ2·2173,
所以λλ+1·172=λ2·2173,
解得λ=12或-32(舍)或0(舍),
所以OC=13AC=1,
在△ABC中,由余弦定理得cs C=a2+b2-c22ab=26,在△OBC中,由余弦定理得OB2=OC2+BC2-2OC·BCcs C=3-23=73,
则OB=213,cs∠CBO=BC2+OB2-OC22BC·OB=54242,又AD∥BC,则∠D=∠CBO,
所以cs D=cs ∠CBO=54242.
【题型二】解三角形实际应用问题
[典例2](2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732)( )

A.346B.373C.446D.473
解析：选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足,由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100tan15°·sin45°sin 75°=
100cs15°sin45°sin 15°sin 75°=502sin15°=1003+100≈273,
所以AN=BN=273,AQ=AA'-CC'=AN+QN=AN+(BB'-CC')=273+100=373.
【方法提炼】
解三角形应用题的求解思路
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型;
(3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
【对点训练】
某观察站B在城A的南偏西20°的方向,由城A出发的一条公路走向是南偏东40°,在B处测得公路上距B31 km的C处有一人正沿公路向城A走去,走了20 km之后到达D处,此时B,D间的距离为21 km,则城A与观察站B之间的距离为( )
A.24 kmB.243 km
C.19 kmD.20 km
解析：选A.由题意得,在△BCD中,BC=31,CD=20,BD=21,由余弦定理得cs∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD=212+202-3122×21×20=-17,
因为∠BDC+∠ADB=π,
所以cs∠ADB=17,所以0<∠ADB<π2,
所以sin∠ADB=1-cs2∠ADB=437,
在△ADB中,∠BAD=60°,BD=21,
由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD,
所以AB=BDsin∠BAD·sin∠ADB=21sin60°×437=24.
【题型三】开放探索性问题
[典例3](2023·青岛模拟)从①csin C-asin A=(3c-b)sin B;②sin 2A+3cs 2A=3两个条件中任选一个,补充到下面横线处,并解答.
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边, ,AB=23.
(1)求角A;
(2)若△ABC外接圆的圆心为O,cs∠AOB=1114,求BC的长.
解析：(1)条件①:
由正弦定理及csin C-asin A=(3c-b)sin B,知c2-a2=(3c-b)b,即b2+c2-a2=3bc,
由余弦定理知,cs A=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,
因为A∈(0,π),所以A=π6.
条件②:
因为sin 2A+3cs 2A=3,所以2sin(2A+π3)=3,因为A∈(0,π),所以2A+π3=2π3,即A=π6.
(2)因为△ABC外接圆的圆心为O,所以∠AOB=2∠C,所以cs∠AOB=cs 2C=1-2sin2C=1114,所以sin C=2114,
在△ABC中,由正弦定理,知csinC=asinA,即232114=a12,所以BC=a=27.
【方法提炼】
解开放探索性问题的两个注意点
(1)分析时要兼顾给出的三个条件,选择最易解答的一个条件;
(2)解题时只需要选一个条件,结合其他条件求解即可.
【对点训练】
如图,在四边形ABCD中,△BCD为锐角三角形,CD=4,sin∠DBC=223,cs∠BDC=33.
(1)求BC;
(2)若AB=m,AC=BC+m3,是否存在正整数m,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
解析：(1)因为cs∠BDC=33,
所以sin∠BDC=1-(33) 2=63,
在△BCD中,CDsin∠DBC=BCsin∠BDC,即4223=BC63,解得BC=23;
(2)存在,理由如下:AC=BC+m3=23+m3,
若△ABC为钝角三角形,则∠ABC为钝角,
则m2+(23)2-(23+m3)2<0,
解得0又因为m为正整数,
所以m=1或m=2.
【加练备选】
现给出两个条件:①2c-3a=2bcs A,②2asin2B2+2bcs2A2=b+c.从中选出一个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边, .
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析：选择条件:①2c-3a=2bcs A,
(1)由余弦定理可得2c-3a=2bcs A=2b·b2+c2-a22bc,
整理可得a2+c2-b2=3ac,
所以cs B=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32,
因为B∈(0,π),所以B=π6.
(2)因为b=2,B=π6,
所以由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,可得4=a2+c2-2ac·32,
所以4=a2+c2-3ac≥2ac-3ac,可得ac≤8+43,当且仅当a=c时等号成立,
所以S△ABC=12acsin B≤12×(8+43)×12=2+3,即△ABC面积的最大值为2+3.
选择条件:②2asin2B2+2bcs2A2=b+c,
(1)由条件可得2a·1-csB2+2b·1+csA2=b+c,整理可得a-acs B+bcs A=c,
所以由正弦定理可得sin A-sin Acs B+sin Bcs A=sin C,
又因为sin C=sin(A+B)=sin Acs B+sin Bcs A,
所以整理可得sin A=2sin Acs B,
因为sin A>0,所以cs B=12,
因为B∈(0,π),所以B=π3.
(2)因为b=2,B=π3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,可得4=a2+c2-2ac·12,
所以4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,可得ac≤4,当且仅当a=c时等号成立,
所以S△ABC=12acsin B≤12×4×32=3,
即△ABC面积的最大值为3.
【题型四】解三角形与三角函数、向量综合
[典例4](2023·长沙模拟)如图,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知点D在边BC上,DA=DB,CA=CD.
(1)求证:sin C2=cs 2B;
(2)若asin B+bsin A=463bsin Asin B,
①求cs C;
②当·=21时,求△ABC的周长.
解析：(1)因为DA=DB,CA=CD,所以∠CAD=∠CDA=2B,
所以4B+C=π,即C2=π2-2B,所以sin C2=cs 2B;
(2)①因为asin B+bsin A=463bsin Asin B,
由正弦定理可得2ab=463absin B,则sin B=64,
由(1)可得sin C2=cs 2B=1-2sin2B=14,
所以cs C=1-2sin2C2=78;
②因为·=21,即abcs C=21,解得ab=24,在△ACD中,CD=CA=b,AD=BD=a-b,
由余弦定理可得(a-b)2=b2+b2-2b2·78,整理可得a=32b,结合ab=24,解得a=6,b=4,
在△ABC中,由余弦定理可得c2=16+36-2×4×6×78=10,解得c=10,
所以周长为10+10.
【方法提炼】
解三角形与三角函数、向量的综合问题的解题策略
(1)三角形中边角关系可以用向量数量积的形式展现出来,而正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,应注意两者的联系.
(2)利用正弦、余弦定理能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式.
(3)涉及最值或范围问题,常利用正弦定理把边转化为角,利用三角函数的性质求出范围或最值.
【对点训练】
(2022·烟台模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2acs Acs C+2ccs2A.
(1)求角A;
(2)若a=4,求c-2b的取值范围.
解析：(1)因为b=2acs Acs C+2ccs2A,
由正弦定理asinA=bsinB=csinC得,
sin B=2sin Acs Acs C+2sin Ccs2A=
2cs A(sin Acs C+sin Ccs A)=2cs Asin B,
因为A,B,C为△ABC的内角,所以B∈(0,π),
所以sin B≠0,2cs A=1,
所以cs A=12,
因为A∈(0,π),所以A=π3;
(2)由正弦定理得asinA=833,
所以c-2b=833(sin C-2sin B)=833sinπ-π3-B-2sin B=83332cs B-32sin B
=8cs Bcs π3-sin Bsin π3,
所以c-2b=8csB+π3,
因为B∈0,2π3,所以B+π3∈π3,π,
所以csB+π3∈-1,12,
所以c-2b∈(-8,4).
【加练备选】
(2023·济南模拟)在①2bsin C=3ccs B+csin B,②csBcsC=b2a-c两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 .
(1)求角B;
(2)若a+c=3,点D是AC的中点,求线段BD的取值范围.
解析：(1)选①,由2bsin C=3ccs B+csin B及正弦定理可得2sin Bsin C=3sin Ccs B+sin Csin B,
所以sin Csin B=3sin Ccs B,
因为B,C∈(0,π),
所以sin C>0,则sin B=3cs B>0,
所以tan B=3,所以B=π3;
选②,由csBcsC=b2a-c及正弦定理可得
sin Bcs C=(2sin A-sin C)cs B,
所以2sin Acs B=sin Bcs C+cs Bsin C=sin(B+C)=sin A,
因为A,B∈(0,π),所以sin A>0,
所以cs B=12,则B=π3.
(2)因为a+c=3,所以0由已知=,即-=-,
所以2=+,所以4=(+)2=++2·,
即4BD2=c2+a2+2accs π3=c2+a2+ac=(a+c)2-ac=3-a(3-a)
=a2-3a+3=a-322+94∈94,3,
所以34≤BD<32,即线段BD的取值范围为34,32.