高考数学复习第十一章　第五节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差（导学案）

这是一份高考数学复习第十一章　第五节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差（导学案），共17页。学案主要包含了课程标准，基础小题固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，思维导图·构网络等内容，欢迎下载使用。

第五节 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
【课程标准】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有 唯一 的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi ≥ 0(i=1,2,…,n);
(2)p1+p2+…+pn= 1 .
点睛分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.
4.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值:称E(X)= x1p1+x2p2+…+xnpn =∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .
(2)方差:
称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的 标准差 ,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的 偏离程度 .
点睛(1)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均状态.
(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.
5.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)= aE(X)+b .
(2)D(aX+b)= a2D(X) (a,b为常数).
(3)E(X1+X2)= E(X1)+E(X2) .
(4)D(X)= E(X2)-(E(X))2 .
【基础小题固根基】
1.(教材变式)某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是( )
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标
D.第4次击中目标
解析：选C.击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数ξ=5,则说明前4次均未击中目标.
2.(教材变式)设随机变量X的分布列如下:
则p为( )
A.16B.13C.14D.112
解析：选C.由分布列的性质知,112+16+13+16+p=1,所以p=1-34=14.
3.(教材提升)若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,则D(X)的值为 .
解析：因为P(X=c)=1,所以E(X)=c×1=c,
所以D(X)=(c-c)2×1=0.
答案:0
4.(均值性质应用错误)已知随机变量X的分布列如下:
若Y=2X+3,则E(Y)的值为 .
解析：E(X)=-12+16=-13,
则E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.
答案:73
5.(方差性质应用错误)设0则当p在(0,1)内增大时,( )
A.D(ξ)减小
B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大
D.D(ξ)先增大后减小
解析：选D.由题可得E(ξ)=12+p,所以D(ξ)=-p2+p+14=-p-122+12,所以当p在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.
题型一离散型随机变量分布列的性质
[典例1](1)设X是一个离散型随机变量,其分布列为
则q等于( )
A.1B.22或-22
C.1+22D.22
解析：选D.由离散型随机变量分布列的性质得
12+1-q+q-q2=1,0≤1-q≤12,0≤q-q2≤12,解得q=22.
(2)(2022·南阳模拟)随机变量ξ的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P54A.23B.34C.45D.516
解析：选D.因为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),所以a2+a6+a12+a20=1,所以a=54.
所以P54(3)随机变量ξ的概率分布列如下表,则P(|ξ-3|=1)=( )
A.712B.12C.512D.16
解析：选A.因为112+a+13+13=1,所以a=14,由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,P(|ξ-3|=1)=
P(ξ=2)+P(ξ=4)=14+13=712.
【方法提炼】
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
【对点训练】
1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
则常数a的值为( )
A.13B.23
C.13或23D.-13或-23
解析：选A.由分布列的性质可知
0≤9a2-a≤1,0≤3-8a≤1,9a2-a+3-8a=1,解得a=13.
2.随机变量X的分布列如下:
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)= ,公差d的取值范围是 .
解析：因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=13,所以P(|X|=1)=a+c=23.又a=13-d,c=13+d,根据分布列的性质,得0≤13-d≤23,0≤13+d≤23,所以-13≤d≤13.
答案:23 -13,13
【加练备选】
1.若随机变量X的分布列如下表,则mn的最大值是( )
A.116B.18C.14D.12
解析：选A.由分布列的性质,
得m+n=12,m≥0,n≥0,
所以mn≤m+n22=116,
当且仅当m=n=14时,等号成立.
2.(多选题)设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5=ak(k=1,2,3,4,5),则( )
A.a=115
B.P12<ξ<45=15
C.P110<ξ<12=215
D.P(ξ=1)=310
解析：选AB.对于选项A,因为随机变量ξ的分布列为Pξ=k5=ak(k=1,2,3,4,5),
所以Pξ=15+Pξ=25+Pξ=35+Pξ=45+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=115,故A正确;
对于B,易知P12<ξ<45=Pξ=35=3×115=15,故B正确;
对于C,易知P110<ξ<12=Pξ=15+
Pξ=25=115+2×115=15,故C错误;
对于D,易知P(ξ=1)=5×115=13,故D错误.
题型二均值与方差的简单计算
[典例2](1)已知随机变量X,Y满足Y=2X+1,且随机变量X的分布列如下:
则随机变量Y的方差D(Y)等于( )
A.59B.209C.43D.299
解析：选B.由分布列的性质,得a=1-16-13=12,所以E(X)=0×16+1×13+2×12=43,
所以D(X)=0-432×16+1-432×13+2-432×12=59,
又Y=2X+1,所以D(Y)=4D(X)=209.
(2)已知随机变量ξ的分布列为
若E(ξ)=13,D(ξ)=1,则x,y,z的值依次为 .
解析：由分布列的性质得x+y+z=1,
由数学期望的定义得E(ξ)=-x+2z=13,
由方差的定义得D(ξ)=-1-132x+0-132y+2-132z=1,
整理得16x+y+25z=9,
解得x=427,y=1118,z=1354.
答案:427,1118,1354
(3)已知随机变量X的分布列如下表:
若E(X)=2,则a= ,D(X)= .
解析：由题意知,13+b+16+14=1,所以b=14.
又E(X)=a×13+2×14+3×16+4×14=2,解得a=0,
所以E(X2)=22×14+32×16+42×14=132,
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=52.
答案:0 52
【方法提炼】
(1)对于一般的离散型随机变量的均值与方差的计算,要分清各数据,选择公式,代入计算.
(2)由已知期望或方差求参数值.可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值.
【对点训练】
1.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有( )
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
解析：选ACD.因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;
由已知可得E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×
0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;
因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.
2.已知m,n为正常数,离散型随机变量X的分布列如表:
若随机变量X的均值E(X)=712,则mn= ,P(X≤0)= .
解析：由题意知m+n+14=1,n-m=712,
解得m=112,n=23,所以mn=118,
P(X≤0)=m+14=13.
答案:118 13
【加练备选】
设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X的数学期望为E(X)=3,则a-b=( )
A.110B.0C.-110D.15
解析：选A.因为离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,
所以(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,又X的数学期望E(X)=3,
则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3,所以a=110,b=0,所以a-b=110.
题型三离散型随机变量数字特征的综合及应用
角度1 数字特征的计算
[典例3](1)(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中,随机取出三个不同的数,用X表示取出的数字的最小数,则随机变量X的均值E(X)等于( )
A.32B.53C.74D.95
解析：选A.由题意知,X的可能取值为1,2,3,而随机取3个数的取法有C53种,
当X=1时,取法有C42种,
即P(X=1)=C42C53=35;
当X=2时,取法有C32种,
即P(X=2)=C32C53=310;
当X=3时,取法有C22种,
即P(X=3)=C22C53=110;
所以E(X)=1×35+2×310+3×110=32.
(2)(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
①求甲学校获得冠军的概率;
②用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析：①甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表:
甲学校要获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场,
(i)甲学校3场全胜,概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16,
(ii)甲学校3场获胜2场败1场,概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=
0.44,
所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6;
②乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为
P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,
P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,
P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,
则X的分布列为
X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
角度2 数字特征的应用
[典例4](2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解析：(1)X的取值可能为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
(2)假设先回答B类问题,得分为Y,
则Y可能为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×
0.48=54.4,
所以E(Y)>E(X),
所以应先回答B类问题.
【方法提炼】
1.离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些及每一个取值所表示的意义;
(2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率;
(3)画表格:按规范要求形式写出分布列;
(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.
2.求离散型随机变量的均值与方差的方法
(1)写出X的分布列;
(2)由均值的定义求E(X);
(3)由方差的定义求D(X).
【对点训练】
1.(多选题)(2023·滨州模拟)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则( )
A.抽取2次后停止取球的概率为35
B.停止取球时,取出的白球个数不少于取出的黑球个数的概率为910
C.取球次数ξ的期望为2
D.取球次数ξ的方差为920
解析：选BD.设取球次数为ξ,可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3,
则P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×14=110.
对于A,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=310,错误;
对于B,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910,正确;
对于C,取球次数ξ的期望为E(ξ)=1×35+2×310+3×110=32,错误;
对于D,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-322×35+2-322×310+3-322×110=920,正确.
2.(2022·北京高考)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
解析：(1)由题意得,设甲在校运动会铅球比赛中获优秀奖为事件A,
比赛成绩达到9.50 m以上获优秀奖,甲的比赛成绩达到9.50以上的有9.80,9.70,9.55,9.54,共四个,所以甲在校运动会比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.
甲在校运动会铅球比赛中获优秀奖的概率为0.4;
设乙在校运动会铅球比赛中获优秀奖为事件B,则P(B)=0.5;
设丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖为事件C,则P(C)=0.5.
P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15,
P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4,
P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35,
P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1,
E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1
=1.4.
(3)丙获得冠军的概率的估计值最大.
【加练备选】
某投资公司在2022年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29;
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
解析：若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为
所以E(X1)=300×79+(-150)×29=200.
D(X1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35 000.
若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为
所以E(X2)=500×35+(-300)×13+0×115=200.
D(X2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140 000.所以E(X1)=E(X2),D(X1)综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.
【思维导图·构网络】
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
教材改编
易错易混
1,2,3
4,5
X
1
2
3
4
5
P
112
16
13
16
p
X
-1
0
1
P
12
13
16
ξ
0
1
2
P
1-p2
12
p2
X
-1
0
1
P
12
1-q
q-q2
ξ
1
2
3
4
P
112
a
13
13
X
0
1
P
9a2-a
3-8a
X
-1
0
1
P
a
b
c
X
0
2
4
P
m
0.5
n
X
0
1
2
P
16
13
a
ξ
-1
0
2
P
x
y
z
X
a
2
3
4
P
13
b
16
14
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
-1
0
1
P
m
14
n
第一场
比赛
第二场
比赛
第三场
比赛
甲学校获胜
概率
0.5
0.4
0.8
乙学校获胜
概率
0.5
0.6
0.2
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
X1
300
-150
P
79
29
X2
500
-300
0
P
35
13
115