最新高考理数考点一遍过讲义 考点53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差

这是一份最新高考理数考点一遍过讲义 考点53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差，共63页。学案主要包含了离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的均值与方差等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题53 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
（3）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.
一、离散型随机变量的分布列
1．随机变量的有关概念
随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
（1）离散型随机变量的分布列的概念
设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.
有时也用等式表示X的分布列．
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①(i＝1，2，…，n)；
②．
3．必记结论
（1）随机变量的线性关系
若X是随机变量，，a，b是常数，则Y也是随机变量．
（2）分布列性质的两个作用
①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、常见的离散型随机变量的概率分布模型
1．两点分布
若随机变量X的分布列为
称X服从两点分布，而称为成功概率．
2．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为，k＝0，1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.
3．必记结论
（1）两点分布实际上是n＝1时的二项分布．
（2）某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和．
三、离散型随机变量的均值与方差
1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，
且E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
D(aX＋b)＝a2D(X)．
考向一 离散型随机变量分布列性质的应用
分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
典例1 随机变量X的分布列为
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
又a+b+c=1,所以b=,
所以P(|X|=1)=a+c=.
典例2 已知随机变量ξ的分布列为
其中n∈N*,则x的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由分布列的性质,得++…++x=1,
即(1-)+(-)+…+(-)+x=1-+x=1,所以x=.
1．已知离散型随机变量X的分布列如下，则常数C为
A．B．
C．或D．
2．已知随机变量的分布列为
若，则的值为
A．B．
C．D．
考向二 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．求离散型随机变量X的分布列的步骤：
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列.
2．（1）与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
（2）与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．
（3）与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
（4）与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
3．求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求即可.
典例3 某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为
(1)求的分布列和数学期望.
(2)记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率;
【解析】(1的可能取值为
,
.
则的分布列为
.
(2)因为是偶函数,所以或
故=.
典例4 某高校进行自主招生考试,有A、B、C 3个专业可供选报,每名考生必须选报且只能报其中1个专业,且选报每个专业的概率相等.现有甲、乙、丙、丁4名同学决定参加该校的自主招生考试,且每名同学对专业的选报是相互独立的.
(1)求甲、乙2名同学都选报A专业的概率;
(2)已知甲、乙2名同学没有选报同一专业,
(i)求这3个专业恰有1个专业没人选报的概率;
(ii)这4名同学中选A专业的人数记为ξ,求随机变量ξ的分布列、数学期望和方差.
【解析】(1)每名同学的不同选报方法有3种,因而4名同学的不同选报方法总数为34,
记“甲、乙2名同学都选报A专业”为事件M,不同的选报方法数为32,
则所求概率为P(M)=.
(2)甲、乙2名同学没有选报同一专业,则不同的选报方法总数为×32=54.
(i)记“这3个专业恰有1个专业没人选报”为事件N,其选报方法数为×22=24,
则所求概率为P(N)=.
(ii)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
因而ξ的分布列为
E(ξ)=0×+1×+2×+3×,
D(ξ)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×.
3．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额元）、专业二等奖学金（奖金额元）及专业三等奖学金（奖金额元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校年名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这名学生在年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.
（1）求这名学生中获得专业三等奖学金的人数；
（2）若周课外平均学习时间超过小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
（3）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量，求随机变量的分布列和期望.
参考公式：，.
4．我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调查市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了名市民，现将调查情况整理成被调查者的频率分布直方图（如图）和赞成者的频数表如下：
（1）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行调查，求所选取的人中至少有人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；
（2）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行调查，记选取的人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
考向三 超几何分布
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布．
超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要熟记公式，正确运用.
典例5 为参加全国第二届“登峰杯”科技创新大赛,某市重点中学准备举办一次选拔赛,共有60名高二学生报名参加,按照不同班级统计参赛人数,如表所示:
(1)从这60名高二学生中随机选出2人,求这2人在同一班级的概率;
(2)现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表,进行大赛前的发言,设选出的2人中宏志班的学生人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
【解析】(1)从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为=1770,
且这2人在同一班级的基本事件个数为+++=445,
故所求概率P=.
(2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
E(X)=0×+1×+2×.
典例6 为了统计某市网友2017年的“双十一”在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市60名网友当天的网购金额情况,得到如下数据统计表:
网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客的人数比恰为2∶3.
(1)求p,q的值,并补全频率分布直方图(如图);
(2)从网购金额超过2千元与不超过2千元的顾客中用分层抽样的方法抽取15人,若需从这15人中随机选取3人进行问卷调查,设ξ为选取的3人中网购金额超过2千元的人数,求ξ的分布列和期望.
【解析】(1)由题意得,解得,
所以p==0.15,q==0.10.
如图所示,补全频率分布直方图.
(2)用分层抽样的方法,从中选取15人,则其中网购金额超过2千元的顾客有15×=6(人),网购金额不超过2千元的顾客有15×=9(人),故ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列为
E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
5．已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）：
（1）求该单位乙部门的员工人数？
（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；
（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
6．重庆近年来旅游业高速发展，有很多著名景点，如洪崖洞、磁器口、朝天门、李子坝等.为了解端午节当日朝天门景点游客年龄的分布情况，从年龄在22～52岁之间的旅游客中随机抽取了1000人，制作了如图的频率分布直方图.
（1）求抽取的1000人的年龄的平均数、中位数；（每一组的年龄取中间值）
（2）现从中按照分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列及.
考向四 利用均值、方差进行决策
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
典例7 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:
若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;
(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.
【解析】(1)设下周一无雨的概率为p,由题意得p2=0.36,p=0.6.
基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,
则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,
所以基地收益X的分布列为
基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,
所以基地的预期收益为14.4万元.
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,
则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a,
E(Y)-E(X)=1.6- a．
综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.
典例8 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大,表明质量越好.记其质量指标值为k,当k≥85时,产品为一级品;当75≤k<85时,产品为二级品;当70≤k<75时,产品为三级品.现用两种配方(分别称为A配方和B配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果(以下均视频率为概率):
A配方的频数分布表
B配方的频数分布表
(1)若从B配方产品中有放回地随机抽取3件,记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C,求事件C的概率;
(2)若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足关系: y=(其中【解析】(1)由题意得P(抽中二级品)=,P(没抽中二级品)=,
则P(C)=1-()3=.
(2)由题意得A配方产品利润率的分布列为
所以E(A)=0.6t+2t2.
B配方产品利润率的分布列为
所以E(B)=0.7t+1.3t2.
因为0,
所以E(A)较大.
所以从长期来看,投资A配方产品的平均利润率较大.
7．为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”．
1．10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
2．已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望E(X)=
A． B．2
C． D．3
3．设随机变量的概率分布列如下所示：
则
A．B．
C．D．
4．已知随机变量的分布列如表所示，若，则的值可能是
A．B．
C．D．
5．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
A．B．
C．D．
6．一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为
A． B．
C． D．
7．某12人的兴趣小组中,有5名三好学生,现从中任意挑选6人参加竞赛,用表示这6人中三好学生的人数,则下列概率等于的是
A． B．
C． D．
8．有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)=
A． B．
C． D．
9．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝
A．2 B．3
C．4 D．5
10．已知随机变量的分布列如下表：
其中成等差数列，则的值与公差的取值范围分别是
A．B．
C．D．
11．已知袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,则a+b的值是
A．1或2 B．0或2
C．2或3 D．0或3
12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是
A．A1 B．A2
C．A3 D．A4
13．如图,旋转一次圆盘,指针落在圆盘3分处的概率为a,落在圆盘2分处的概率为b,落在圆盘0分处的概率为c,已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分,则ab的最大值为
A． B．
C． D．
14．把半圆弧分成4等份,以这些分点(包括直径的两端点)为顶点,作出三角形,从这些三角形中任取3个不同的三角形,则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数的期望为
A． B．
C．3D．2
15．设随机变量的分布列（其中），则__________．
16．若随机变量ξ的分布列如表所示，则E（ξ）=__________，D(2ξ−1)=__________．
17．在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望__________，方差的最大值为__________．
18．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
19．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________.
20．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量,分别记为ξ与η,且ξ和η的分布列如下:

(1)求a,b的值;
(2)分别计算ξ,η的期望与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.
21．某市交通管理有关部门对年参加驾照考试的岁以下的学员随机抽取名学员，对他们的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明相关知识）进行两轮测试，并把两轮成绩的平均分作为该学员的抽测成绩，记录数据如下：
（1）从年参加驾照考试的岁以下学员中随机抽取一名学员，估计这名学员抽测成绩大于或等于分的概率；
（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到分以上（含分）才算合格，从抽测的到号学员中任意抽取两名学员，记为抽取学员不合格的人数，求的分布列和数学期望．
22．袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数学5的小球有1个.从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字.
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）求随机变量的分布列和期望.
23．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表：
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）
（1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；
（3）求该学生被该校录取的概率.
24．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查.
（1）已知抽取的名学生中含男生55人，求的值；
（2）为了了解学生对自选科目中“物理”和“地理”两个科目的选课意向，对在（1）条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由.
（3）在抽取到的选择“地理”的学生中按分层抽样抽取6名，再从这6名学生中随机抽取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列及数学期望.
附参考公式及数据：，其中.
25．某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差.某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元.根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系.如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤.为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表：
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．
（1）求今年9月份这种水果一天需求量（单位：公斤）的分布列和数学期望；
（2）设9月份一天销售特产水果的利润为（单位：元），当9月份这种水果一天的进货量（单位：公斤）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？
26．某卖馒头的商贩每天以3元/斤的价格购进面粉,将其全部做成馒头,然后以0.5元/个的价格出售馒头,每个馒头内含面粉0.1斤,如果当天卖不完,剩下的馒头以0.2元/个的价格卖给饲料场.根据以往的统计资料,得到该商贩一天的面粉需求量的频率分布直方图如图所示,若某天该商贩购进了80斤面粉,以x(单位:斤)(其中50≤x≤100)表示一天的面粉的需求量,T(单位:元)表示一天的利润.
(1)求该天该商贩的利润T关于需求量x的函数;
(2)在频率分布直方图的需求量分组中,以区间的中间值作为该区间的需求量,以频率作为概率,求T的分布列和数学期望.
27．网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题.据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示，截止目前，该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次，梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、30单位：km，它们出现的概率依次是0.1、0.2、0.3、0.1、t、2t．
（1）求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；
（2）网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，租车费为5元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．
28．某鱼池年初放养一批鱼苗,为了解这批鱼苗的生长、健康状况,一个月后,从该鱼池中随机捞出n条鱼称其重量(单位:克),并将所得数据进行分组,得到如下频率分布表.
(1)求频率分布表中的n,x,y的值;
(2)从捞出的重量不超过100克的鱼中,随机抽取3条作病理检测,记这3条鱼中,重量不超过90克的鱼的条数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
29．某大型商场今年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：
由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表明，根据以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：
（1）估计今年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率；
（2）为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次.抽奖规则为：从装有大小、材质完全相同的5个红球和5个黑球的不透明口袋中，随机摸出4个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值X，当X=4,2,0时，消费者可分别获得价值500元、200元和100元的购物券，求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.
30．据IEC（国际电工委员会）调査显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险，根据测算风能风区分类标准如下：
假设投资A项目的资金为xx≥0万元，投资B项目的资金为yy≥0万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3.
（1）记投资A,B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ,Eη.
（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于A,B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和Z=E(ξ)+E(η)的最大值.
31．某理财公司有两种理财产品A和B，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品A
产品B
注：p＞0，q＞0.
（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围；
（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？
1．（2019年高考浙江卷）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0,1）内增大时，
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
2．（2018浙江）设0则当p在（0，1）内增大时，
A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小
3．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
4．（2019年高考北京卷理数）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
5．（2018天津理科）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
6．（2017天津理科）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．
（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
7．（2017山东理科）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率；
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
8．（2017北京理科）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E()；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
9．（2017新课标全国Ⅲ理科）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
10．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（1）求的分布列；
（2）若要求，确定的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
变式拓展
1．【答案】A
【解析】由随机变量的分布列知，，，，
∴.
故选A．
2．【答案】A
【解析】由题可知随机变量的期望，
所以方差，
解得.
故选A.
3．【解析】（1）获得专业三等奖学金的频率为，
，
故这名学生中获得专业三等奖学金的人数为人.
（2）每周课外学习时间不超过小时的“非努力型”学生有：
其中获得专业一、二等奖学金的学生有：人，
每周课外学习时间超过小时的“努力型”学生有人，
其中获得专业一、二等奖学金的学生有人，
列联表如下所示：
计算得，
故有的把握认为获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生的学习时间有关.
（3）的可能取值为，
，
，
，
，
则的分布列为：
其期望为元.
4．【解析】（1）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况如下：
故所选取的人中至少有人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率为：
.
（2）的可能取值为0，1，2，3，
且；；
；.
则的分布列为：
故.
5．【解析】（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+6＝15名员工，
其中该单位乙部门抽取6名员工，
∴该单位乙部门的员工人数为：624人．
（2）由题意甲部门抽取3名员工，乙部门抽取6名员工，
从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，
基本事件总数n18，
A的睡眠时间不少于B的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有12个：
（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），
∴A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率p．
（3）由题意从丙部门抽出的员工有6人，其中睡眠充足的员工人数有2 人，
从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，
则X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0），P（X＝1），
P（X＝2），
∴X的分布列为：
则E（X）1．
6．【解析】（1）年龄平均数为：
，
中位数为（岁）.
（2）因为年龄在及的频率分别为0.15，0.45，
故分层抽样抽取8人中有2人年龄在，6人年龄在.
的可能取值为0，1，2， ，
则，
，
，
的分布列为：
故.
7．【解析】（1）设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为.
且 ，，
所以的分布列如下：
所以顾客所获的奖励额的期望为
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元.
所以可先寻找使期望为60元的可能方案：
当球标有的面值为元和元时，
若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为；
若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最小值，所以期望不可能为.
因此可能的面值设计是选择“”，
设此方案中顾客所获得奖励额为，则的可能取值为.
.
的分布列如下：
所以的期望为
的方差为
当球标有的面值为元和元时，同理可排除“”、“”的面值设计，
所以可能的面值设计是选择“”，
设此方案中顾客所获的奖励额为，则的可能取值为.
.
的分布列如下：
所以的期望为
的方差为
因为，
即两种方案奖励额的期望都符合要求，
但面值设计方案“”的奖励额的方差要比面值设计方案“”的方差小，
所以应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个.
专题冲关
1．【答案】C
【解析】A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D中的量也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.本题选择C选项.
2．【解析】A
【解析】由数学期望的公式可得E(X)=1×+2×+3×.故选A．
3．【答案】D
【解析】易知，
则.
故选D.
4．【答案】B
【解析】由题意可得，，，所以，
则，
由概率的性质可知，因此的值可能是.
故选B.
5．【答案】A
【解析】且，则，
即，，
解得.
故选A.
6．【答案】C
【解析】随机变量的可能值为1，2，3，
，，，
则随机变量ξ的分布列为
故选C．
7．【解析】B
【解析】表示抽到三好学生的人数为3，故基本事件有，概率为.
8．【答案】B
【解析】根据题意，PX≤1=PX=0+PX=1.故选B．
9．【答案】C
【解析】由概率的性质知，
则，
∴，
则.
10．【答案】A
【解析】由题意，因为成等差数列，所以，
又由，解得，
则，
则，
根据分布列的性质，得，所以.
故选A．
11．【解析】B
【解析】由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
E(X)=×0+×1+×2+×3+×4=,
D(X)=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2+×(3-)2+×(4-)2=.
由D(η)=a2D(X),得a2×=11,即a=±2.
又E(η)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2×+b,得b=-2,此时a+b=0.
当a=-2时,由1=-2×+b,得b=4,此时a+b=2.
故选B．
12．【答案】C
【解析】由题意得A1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7.
A2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5.
A3的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7.
A4的均值为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.
∵A3的均值最大,∴选方案A3.
13．【解析】D
【解析】由题意可得数学期望为3a+2b=2,
ab=×3a×2b≤()2=,
当且仅当⇒时取等号,所以ab的最大值为.
14．【解析】B
【解析】从5个点中任选3个点可构成个三角形，其中钝角三角形有7个，所以从这10个三角形中任取3个不同的三角形，钝角三角形的个数.
∵,
,
,
,故选B．
15．【答案】
【解析】依题意得，解得.
故填.
16．【答案】
【解析】由题意可知，解得（舍去）或.
则，
由方差的计算性质得.
17．【答案】，
【解析】记事件发生的次数为，其可能的取值为，分布列为：
期望，
方差，
故期望，方差的最大值为．
18．【答案】37
【解析】由题意知一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．故答案为37元.
19．【答案】
【解析】根据题意，用户抽检次数的可能取值为1，2，3，
,
故根据期望公式可知该用户抽检次数的数学期望是，
故答案为.
20．【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,
所以a=0.3.
同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.
(2)E(ξ)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,
E(η)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,
D(ξ)=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,
D(η)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.
由于E(ξ)>E(η),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D(ξ)>D(η),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.
21．【解析】（1）学员抽测成绩大于或等于分的有个，
从年参加驾照考试的岁以下学员中随机抽取一名学员，
估计这名学员抽测成绩大于或等于分的概率为.
（2）号至号学员中有个合格，个不合格，
的可能取值为、、，
，，，
的分布列为：
因此，随机变量的数学期望为．
22．【解析】（1）一次取出的个小球上的数字互不相同的事件记为，
则为一次取出的个小球上有两个数字相同，
∴.
（2）由题意可知的所有可能的取值为：2，3，4，5，
；；
；.
∴的分布列为：
则.
故随机变量的期望是.
23．【解析】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为，，
则，，.
即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.
（2）该学生参加考试的次数的可能取值为2，3，4，
；
；
.
所以的分布列为：
则.
（3）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为，.
则，，，
所以该学生被该校录取的概率为.
24．【解析】（1）由题意知，∴.
（2）列联表为：
计算得.
故有的把握认为选择科目与性别有关.
（3）从选择“地理”的学生中分层抽样6名同学，则其中2名男生，4名女生，
6名同学中再抽取3名，其中女生的人数可能为1，2，3，
且，
，
，
所以的分布列为：
故数学期望.
25．【解析】（1）今年9月份这种水果一天的需求量的可能取值为2000、3500、5000公斤，
，，

于是的分布列为：
的数学期望为：．
（2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑，
当时，
若气温不低于30度，则；
若气温位于[25,30)，则；
若气温低于25度，则，
此时，
当时，
若气温不低于25度，则；
若气温低于25度，则，
此时，
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为11900元．
26．【解析】(1)由题意知1斤面粉可制作成10个馒头.
当50≤x≤80时,T=0.5×10x-3×80+0.2(80-x)×10=3x-80;
当80故该天该商贩的利润T关于需求量x的函数为
T=3x−80,50≤x≤80,160,80(2)当x=55时,T=3×55-80=85;
当x=65时,T=3×65-80=115;
当x=75时,T=3×75-80=145;
当100≥x>80时,T=160.
所以T可能的取值为85,115,145,160,
则P(T=85)=0.015×10=0.15,
P(T=115)=0.02×10=0.2,
P(T=145)=0.03×10=0.3,
P(T=160)=(0.015+0.02)×10=0.35.
故T的分布列为
数学期望E(T)=85×0.15+115×0.2+145×0.3+160×0.35=135.25.
27．【解析】（1）由概率分布的性质得0.1+0.2+0.3+0.1+t+2t=1，
所以t=0.1．
∴X的分布列为
∴EX=20×0.1+22×0.2+24×0.3+26×0.1+28×0.1+30×0.2=25km，
DX=52×0.1+32×0.2+12×0.3+12×0.1+32×0.1+52×0.2=10.6．
（2）由已知设梁某一天出车一次的收入为Y元，
则Y=3X−3+5=3X−4X>3,X∈N，
∴EY=E3X−4=3EX−4=3×25−4=71（元），
DY=D3X−4=32DX=95.4．
28．【解析】(1)依题意,=0.03,所以n=100.
所以x=100×0.10=10,y==0.20.
(2)依题意,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
故ξ的分布列为
所以ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
29．【解析】（1）因消费额在区间(0,400]的频率为0.5，故中位数估计值为400.
设所求概率为p，而消费额在(0,600]的概率为0.8.
故消费额在区间(600,800]内的概率为0.2−p.
因此消费额的平均值可估计为100×0.25+300×0.25+500×0.3+700×(0.2−p)+900×p.
令其与中位数400相等，解得p=0.05.
故单笔消费额超过800元的概率为0.05.
（2）根据题意，得，
，
.
设抽奖顾客获得的购物券价值为Y，则Y的分布列为
故(元).
30．【解析】（1）由题意知A项目投资利润ξ的分布列为
则E（ξ）＝0.18x-0.08x=0.1x,
B项目投资利润η的分布列为
E（η）＝0.21y-0.01y=0.2y.
（2）由题意可知x,y满足的约束条件为x+y≤100x≥yx,y≥0,
由（1）可知，Z=E(ξ)+E(η)=0.1x+0.2y.
当x=50,y=50时，Z取得最大值，为15.
答：对A,B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.
31．【解析】（1）记事件M为“甲选择产品A且盈利”，事件N为“乙选择产品B且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则，，
所以，解得．
又因为，q＞0，所以．
所以．
（2）假设丙选择产品A进行投资，且记X为获利金额（单位：万元），则随机变量X的分布列为
则．
假设丙选择产品B进行投资，且记Y为获利金额（单位：万元），则随机变量Y的分布列为
则．
讨论：
当时，E(X)＝E(Y)，则选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；
当时，E(X)＞E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A；
当时，E(X)＜E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B．
直通高考
1．【答案】D
【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查．
【解析】方法1：由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
方法2：则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．
2．【答案】D
【解析】∵E(ξ)=0×1−p2+1×12+2×p2=p+12，∴D(ξ)=1−p2(0−p−12)2+12(1−p−12)2+p2(2−p−12)2=−p2+p+14，∵12∈(0,1)，∴D(ξ)先增大后减小，因此选D.
3．【解析】（1）X的所有可能取值为．
，
，
，
所以的分布列为
（2）（i）由（1）得．
因此，故，
即．
又因为，
所以为公比为4，首项为的等比数列．
（ii）由（i）可得
．
由于，故，
所以．
表示最终认为甲药更有效的概率，
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，
认为甲药更有效的概率为，
此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
4．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为．
（2）X的所有可能值为0，1，2．
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．
由题设知，事件C，D相互独立，且．
所以，
，
．
所以X的分布列为
故X的数学期望．
（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．
假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，
则由上个月的样本数据得．
答案示例1：可以认为有变化．
理由如下：
P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，
但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
5．【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
6．【解析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望．
（2）设表示第1辆车遇到红灯的个数，表示第2辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为．
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型．求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算出数学期望．
7．【解析】（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则P(M)=.
（2）由题意知X可取的值为：.则
，
，
，
，
，
因此X的分布列为
X的数学期望是
=
【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率的计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好地考查考生数学的应用意识、基本运算求解能力等.
8．【解析】（1）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.
（2）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C．
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
故的期望.
（3）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【名师点睛】求分布列的三种方法：
（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
9．【解析】（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
，
，
.
因此的分布列为
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.
当时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此.
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则.
因此.
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1检验分布列的正误.
10．【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
；
；
；
；
；
；
.
所以的分布列为
（2）由（1）知，，
故的最小值为19.
（3）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时，
.
当时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.
【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定的综合性，但难度不是太大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.
X
…
…
P
…
…
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
…
X
…
…
P
…
…
X
-1
0
1
P
a
b
c
ξ
1
2
…
n-1
n
P
…
x
X
0
1
P
0
1
1
2
3
ξ
0
1
2
3
P
年龄（岁）
赞成人数
班级
宏志班
珍珠班
英才班
精英班
参赛人数
20
15
15
10
X
0
1
2
P
网购金额(单位:千元)
频数
频率
(0,0.5]
3
0.05
(0.5,1]
x
p
(1,1.5]
9
0.15
(1.5,2]
15
0.25
(2,2.5]
18
0.30
(2.5,3]
y
q
合计
60
1.00
ξ
0
1
2
3
P
甲部门
6
7
8
乙部门
5.5
6
6.5
7
7.5
8
丙部门
5
5.5
6
6.5
7
8.5
周一
无雨
无雨
有雨
有雨
周二
无雨
有雨
无雨
有雨
收益
20万元
15万元
10万元
7.5万元
X
20
15
10
7.5
P
0.36
0.24
0.24
0.16
指标值分组
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
频数
10
30
40
20
指标值分组
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
频数
5
10
15
40
30
y
t
5t2
P
0.6
0.4
y
t
5t2
t2
P
0.7
0.25
0.05
X
1
2
3
P
1
2
3
4
X
1
2
3
ξ
1
2
3
4
P
m
n
－1
0
1
方案
概率
A1
A2
A3
A4
0.25
50
70
-20
98
0.30
65
26
52
82
0.45
26
16
78
-10
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
学员编号
科目三成绩
科目四成绩
省数学竞赛一等奖
自主招生通过
高考达重点线
高考达该校分数线
0.5
0.6
0.9
0.7
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
10
女生
25
总计
0.05
0.01
3.841
6.635
气温范围
天数
4
14
36
21
15
分组
频数
频率
(80,90]
3
0.03
(90,100]
7
0.07
(100,110]
x
0.10
(110,120]
20
y
(120,130]
35
0.35
(130,140]
20
0.20
(140,150]
5
0.05
合计
n
1.00
消费金额(单位：元)
(0,200]
(200,400]
(400,600]
(600,800]
(800,1000]
购物单张数
25
25
30
风能分类
一类风区
二类风区
平均风速ms
8.5∼10
6.5∼8.5
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概率
13
12
16
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p
13
q
ξ
0
1
2
P
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
“非努力型”学生
“努力型”学生
总计
获得一、二等奖学金的学生
未获得一、二等奖学金的学生
总计
0
600
1500
3000
0.424
0.32
0.198
0.058
年龄（岁）
赞成人数
不赞成人数
总人数
X
0
1
2
P
0
1
2
2
3
4
5
2
3
4
0.1
0.5
0.4
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
45
10
55
女生
25
20
45
总计
70
30
100
1
2
3
2000
3500
5000
0.2
0.4
0.4
T
85
115
145
160
P
0.15
0.2
0.3
0.35
X
20
22
24
26
28
30
P
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2
ξ
0
1
2
3
P
X
4
2
0
Y
500
200
100
P
121
1021
1021
ξ
0.3x
-0.2x
P
0.6
0.4
η
0.35y
-0.1y
0
P
0.6
0.1
0.3
X
4
0
-2
p
13
12
16
Y
2
0
-1
p
p
q
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2
0.2
0.4
0.4
16
17
18
19
20
21
22