1.4.2 充要条件-高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册）

这是一份1.4.2 充要条件-高一数学新教材配套课件（人教A版必修第一册），共30页。PPT课件主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

1.理解充要条件的意义.（重点）2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点）3.能对充要条件进行证明.（难点）
1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 _ ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件.
思考1　若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？
答案　正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.
思考2　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
答案　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
1.“x>1”是“x＋2>3”的_______条件.
解析　当x>1时，x＋2>3；当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件.
2.“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的____________条件.
3.△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的____________条件.
4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_______条件.
解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件.
例1　下列各组命题中，哪些p是充要条件？
题型一 充要条件的判断
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.
跟踪训练1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).(1)p：x2>0，q：x>0；
解　p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件.
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
解　p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件.
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
解　p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件.
(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.
解　∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件.
例2　已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
题型二 充要条件的证明
总结：充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
跟踪训练2 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
题型三 充要条件的应用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
变式训练 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
总结：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练3 设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
1.“12.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
解析　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.故为充要条件.
3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.
4.设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________________条件.
解析　若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件.
5.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
1.知识清单：(1)充要条件概念的理解.(2)充要条件的证明.(3)充要条件的应用.2.方法归纳：等价转化.3.常见误区：条件和结论辨别不清.