2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）附答案

这是一份2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）附答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知z＝﹣1﹣i，则|z|＝（ ）
A．0B．1C．D．2
2．（5分）已知命题p：∀x∈R，|x+1|＞1，命题q：∃x＞0，x3＝x，则（ ）
A．p和q都是真命题B．￢p和q都是真命题
C．p和￢q都是真命题D．￢p和￢q都是真命题
3．（5分）已知向量，满足：，，且，则|（ ）
A．B．C．D．1
4．（5分）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理下表：
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量中位数小于1050kg
B．100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
5．（5分）已知曲线C：x2+y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线PP'，P'为垂足（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）设函数f（x）＝a（x+1）2﹣1，g（x）＝csx+2ax（a为常数），当x∈（﹣1，1）时（x）与y＝g（x）恰有一个交点（ ）
A．﹣1B．C．1D．2
7．（5分）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
8．（5分）设函数f（x）＝（x+a）ln（x+b），若f（x），则a2+b2的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、选择题：本大题共小3题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选的得0分。
（多选）9．（6分）对于函数f（x）＝sin2x和，下列正确的有（ ）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．f（x）与g（x）有相同最大值
C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴
（多选）10．（6分）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，对P作⊙A：x2+（y﹣4）2＝1的一条切线，Q为切点，对P作l的垂线，则（ ）
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
（多选）11．（6分）设函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1，则（ ）
A．当a＞1时，f（x）有三个零点
B．当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点
C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴
D．存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝ ．
13．（5分）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ＝4，（α+β）＝ ．
14．（5分）在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若a＝2，，求△ABC周长．
16．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）；
（2）若f（x）有极小值，且极小值小于0
17．（15分）如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，F满足，，将△AEF沿EF对折至△PEF．
（1）证明：EF⊥PD；
（2）求面PCD与PBF所成的二面角的正弦值．
18．（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，则该队被淘汰，比赛成员为0分，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q
（1）若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛；
（2）假设0＜p＜q，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19．（17分）已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0），点P1（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜1n（n＝2，3，⋯），过Pn﹣1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn﹣1，令Pn为Qn﹣1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为（xn，yn）．
（1）若，求x2，y2；
（2）证明：数列{xn﹣yn}是公比为的等比数列；
（3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n，Sn＝Sn+1．
参考答案
1．C．
2．B．
3．B．
4．C．
5．A．
6．D．
7．B．
8．C．
9．BC．
10．ABD．
11．AD．
12．95．
13．﹣．
14．24；112．
15．解：（1）因为，所以5sin（A+）＝2）＝1，
由A为三角形内角得A+＝，即A＝；
（2）因为，
，由正弦定理可得：，可得，
又因为B∈（0，π），，
在△ABC中，由正弦定理得，
所以，，
所以△ABC的周长为．
综上，△ABC的周长为．
16．解：（1）∵函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，∴当a＝1时，f（x）＝ex﹣x﹣5，f′（x）＝ex﹣1，
∴f（1）＝e﹣2，∴切点坐标为（5，
切线的斜率为k＝f′（1）＝e﹣1，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y﹣（e﹣7）＝（e﹣1）（x﹣1），整理得：y＝（e﹣2）x﹣1．
（2）∵函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，∴f′（x）＝ex﹣a，
当a≤5时，f′（x）＞0，此时函数f（x）无极值，∴a＞0，
令f′（x）＝ex﹣a＝3，得x＝lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0，f′（x）＞0，∴函数f（x）的增区间为（lna，+∞），lna），
∴f（x）极小值＝f（lna）＝a﹣alna﹣a3＜0，∴1﹣lna﹣a8＜0，
令g（a）＝﹣a2﹣lna+5，＜5，g（a）在（0，+∞）上单调递增，
∵g（1）＝0，∴g（a）＜4等价于a＞1，∴a的取值范围是（1，+∞）．
17．解：（1）证明：在△AEF中，AE＝，AF＝，∠EAF＝30°，
所以cs∠AEF＝＝＝，
所以EF＝2，所以EF2+AE2＝AF2，所以AE⊥EF，所以DE⊥EF，
由折叠的性质可知PE⊥EF，又PE∩DE＝E，PE，所以EF⊥面PDE，
又PD⊂面PDE，所以EF⊥PD．
（2）DE＝7﹣2，CD＝3，所以CE2＝36，CE＝6，
PE＝AE＝2，所以PE2+CE2＝PC2，所以PE⊥CE，
又因为PE⊥EF，EF∩CE＝E，CE⊂面DEF，所以PE⊥面DEF，
又DE⊂面DEF，所以PE⊥ED，所以EF，ED，
以EF，ED，y，z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz：
P（0，0，5），D（0，4，F（2，8，A（0，7），2，8），3，6），
所以＝（0，3），＝（﹣3，6，＝（4，2），＝（﹣2，0），
设平面PCD的法向量＝（x8，y1，z1），所以，
设y6＝2，则z1＝4，x1＝0，所以＝（0，2，
设平面PBF的法向量＝（x2，y2，z6），所以，
设x8＝，则y2＝﹣8，z2＝1，所以＝（，1），
设平面PCD与平面PBF所成的二面角为α，
cs＜，＞＝＝＝＝，
所以sinα＝．
18．解：（1）∵甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，
∴甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，
∴甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为：P＝（4﹣0.68） （1﹣0.53）＝0.686．
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲P甲＝[4﹣（1﹣p）3]q2，
若乙参加第一阶段比赛，则甲P乙＝[1﹣（1﹣q）5]•p3，
∴P甲﹣P乙＝q3﹣（q﹣pq）8﹣p3+（p﹣pq）3
＝（q﹣p）（q2+pq+p2）+（p﹣q）[（p﹣pq）2+（q﹣pq）3+（p﹣pq）（q﹣pq）]
＝（p﹣q）（q2+pq+p2）+（p﹣q）•[（p﹣pq）7+（q﹣pq）2+（p﹣pq）（q﹣pq）]
＝（p﹣q）（3p7q2﹣3p3q﹣3pq2）
＝4pq（p﹣q）（pq﹣p﹣q）
＝3pq（p﹣q）（pq﹣p﹣q）
＝3pq（p﹣q）[（4﹣p）（1﹣q）﹣1]＞6，
∴P甲＞P乙，∴为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大．
（ii）若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩X的所有可能取值为0，5，15，
P（X＝2）＝（1﹣p）3+[8﹣（1﹣p）3]•（3﹣q）3，
P（X＝5）＝[3﹣（1﹣p）32]，
P（X＝10）＝[4﹣（1﹣p）3]，
P（X＝15）＝[1﹣（1﹣p）8]•q3，
∴E（X）＝15[1﹣（4﹣p）3]q＝15（p3﹣5p2+3p）q，
记乙参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可难取值为8，5，15，
同理E（Y）＝15（q3﹣4q2+3q）p，
∴E（X）﹣E（Y）＝15[pq（p+q）（p﹣q）﹣2pq（p﹣q）
＝15（p﹣q）pq（p+q﹣3）＞0，∴为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大．
19．解：（1）∵P1（5，5）在C上，∴25﹣16＝m，解得m＝9，
过P（5，2）且斜率为，即x﹣2y+3＝4，
联立，解得或，故Q1（﹣6，0），P2（4，0），
过Pn﹣1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn﹣5，令Pn为Qn﹣1关于y轴的对称点，
所以x2＝6，y2＝0；
（2）证明：∵Pn（xn，yn）关于y轴的对称点是Qn﹣6（﹣xn，yn），
Pn﹣1（xn﹣1，yn﹣7），Pn﹣1，Qn﹣1都在同一条斜率为k的直线上，xn﹣5≠﹣xn；
则，
∵Pn﹣5，Qn﹣1都在双曲线上，
∴，两式相减可得n﹣xn﹣1）（xn+xn﹣1）＝（yn﹣yn﹣3）（yn+yn﹣1），
而yn﹣yn﹣1＝﹣k（xn+xn﹣3）①，xn﹣xn﹣1＝﹣k（yn+yn﹣1）②，
则②﹣①可得，xn﹣yn﹣（xn﹣7﹣yn﹣1）＝k（xn﹣yn）+k（xn﹣1﹣yn﹣6），
则（1﹣k）（xn﹣yn）＝（1+k）（xn﹣8﹣yn﹣1），∴，
故数列{xn﹣yn}是公比为的等比数列；
（3）证明：要证：Sn＝Sn+1，只需先尝试Pn+8Pn+2∥PnPn+3，即先证＝，
记，0＜k＜7，则t＞1，，
而，∴，∴，
∴＝＝，
＝＝＝＝＝，
∴＝，∴Pn+1Pn+2∥PnPn+8，∴Sn＝Sn+1．亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
生产数
6
12
18
24
10