2022年全国统一高考数学试卷（新高考ⅱ）

这是一份2022年全国统一高考数学试卷（新高考ⅱ），共61页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}
2．（5分）（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（　　）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i
3．（5分）（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（　　）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
5．（5分）（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
6．（5分）（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（　　）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
7．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．100π B．128π C．144π D．192π
8．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（　　）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
（多选）10．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（　　）
A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF|
C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°
（多选）11．（5分）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（　　）

A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1+V2 D．2V3＝3V1
（多选）12．（5分）（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（　　）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝　 　．
14．（5分）（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 　 　，　 　．
15．（5分）（2022•新高考Ⅱ）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 　 　．
16．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2022•新高考Ⅱ）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）证明：a1＝b1；
（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．
18．（12分）（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝，求b．
19．（12分）（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ）．

20．（12分）（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．
（1）证明：OE∥平面PAC；
（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．

21．（12分）（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
22．（12分）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝xeax﹣ex．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；
（3）设n∈N*，证明：++…+＞ln（n+1）．

2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；数学运算．
【分析】解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可．
【解答】解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B＝{x|0≤x≤2}
∴A∩B＝{1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．
2．（5分）（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（　　）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i
【考点】复数的运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】由已知结合复数的四则运算即可求解．
【解答】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
3．（5分）（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（　　）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【考点】数列的应用；等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；阅读型；数形结合；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由题意，结合等差数列的性质求解即可．
【解答】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，
且，
解得k3＝0.9，
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的性质，结合阅读材料，考查学生的知识运用能力，是基础题．
4．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（　　）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】先利用向量坐标运算法则求出＝（3+t，4），再由＜，＞＝＜，＞，利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数t的值．
【解答】解：∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，
∴＝（3+t，4），
∵＜，＞＝＜，＞，
∴＝，∴＝，
解得实数t＝5．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；数学运算．
【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．
【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有＝48种情况，
甲站在两端的情况有＝24种情况，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
6．（5分）（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（　　）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
【考点】两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求α﹣β，进而可求．
解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，
即sin（）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，
所以sin（）＝0，
所以＝kπ，k∈Z，
所以α﹣β＝k，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，
即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosα+sinαsinβ＝0，
所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，
故tan（α﹣β）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
7．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．100π B．128π C．144π D．192π
【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；数学运算．
【分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圆的半径，作出轴截面图，根据几何知识可求得球的半径，进而得到其表面积．
【解答】解：当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，

设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得，解得R＝5，
∴该球的表面积为4πR2＝4π×25＝100π．
当球心在台体内时，如图，

此时，无解．
综上，该球的表面积为100π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能力要求较高，属于较难题目．
8．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先根据题意求得函数f（x）的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．
【解答】解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），
∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，
又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，
f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，
f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，
f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，
∴，
∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（　　）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、D的真假．
【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，
所以+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣，
因为0＜φ＜π，
所以φ＝，
故f（x）＝sin（2x+），
令2x+，解得﹣＜x＜，
故f（x）在（0，）单调递减，A正确；
x∈（﹣，），2x+∈（，），
根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；
令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；
f（x）＝sin（2x+），
求导可得，f'（x）＝，
令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），
故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，
故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（　　）
A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF|
C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由已知可得A的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得B点坐标，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：如图，

∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），
由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，﹣），
∴，故A正确；
，|OF|＝，|OB|≠|OF|，故B错误；
|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正确；
，，，，|OM|＝p，
∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，
∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）11．（5分）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（　　）

A．V3＝2V2 B．V3＝V1 C．V3＝V1+V2 D．2V3＝3V1
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；等体积法；空间位置关系与距离；数学抽象；数学运算．
【分析】利用直接法与等体积法直接计算各三棱锥的体积，进而可得V1、V2、V3之间的关系．
【解答】解：设AB＝ED＝2FB＝2，
V1＝×S△ACD×|ED|＝，
V2＝×S△ABC×|FB|＝，
如图所示，

连接BD交AC于点M，连接EM、FM，
则FM＝，EM＝，EF＝3，
故S△EMF＝＝，
V3＝S△EMF×AC＝＝2，
故C、D正确，A、B错误．
故选：CD．
【点评】本题主要考查组合体的体积，熟练掌握棱锥的体积公式是解决本题的关键．
（多选）12．（5分）（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（　　）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，
令，则，
∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，
∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，
故C对，D错，
方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，
对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，
∴x2+y2≤2，故C对；
∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝，
∴，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝　0.14　．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
∴P（2＜X≤2.5）+P（X＞2.5）＝0.5，
∴P（X＞2.5）＝0.5﹣0.36＝0.14，
故答案为：0.14．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
14．（5分）（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 　x﹣ey＝0　，　x+ey＝0　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表达出切线方程，再把原点代入即可求出x0的值，从而得到切线方程，当x＜0时，根据对称性可求出另一条切线方程．
【解答】解：当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），
∵y'＝，∴切线的斜率k＝，
∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），
又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，
∴x0＝e，
∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，
当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，
∴切线方程也关于y轴对称，
∴切线方程为x+ey＝0，
综上所述，曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，
故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
15．（5分）（2022•新高考Ⅱ）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 　[，]　．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【分析】求出AB的斜率，然后求解直线AB关于y＝a对称的直线方程，利用圆的圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解a的范围即可．
【解答】解：点A（﹣2，3），B（0，a），kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：y﹣a＝，即：（3﹣a）x﹣2y+2a＝0，
（x+3）2+（y+2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1，
所以，得12a2﹣22a+6≤0，解得a∈[，]．
故答案为：[，]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
16．（5分）（2022•新高考Ⅱ）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为 　x+y﹣2＝0　．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，可得kOE•kAB＝•＝﹣，设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），可得E（﹣，），kOE＝﹣k，进而得出k，再利用|MN|＝2，解得m，即可得出l的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，
由+＝1，+＝1，
相减可得：＝﹣，
则kOE•kAB＝•＝＝﹣，
设直线l的方程为：y＝kx+m，k＜0，m＞0，M（﹣，0），N（0，m），
∴E（﹣，），∴kOE＝﹣k，
∴﹣k•k＝﹣，解得k＝﹣，
∵|MN|＝2，∴＝2，化为：+m2＝12．
∴3m2＝12，m＞0，解得m＝2．
∴l的方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，
故答案为：x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2022•新高考Ⅱ）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）证明：a1＝b1；
（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．
【考点】等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），根据这两式即可证明a1＝b1；
（2）由题设条件可知2k﹣1＝2m，由m的范围，求出k的范围，进而得出答案．
【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2﹣b2＝a3﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，则d＝2b1，
由a2﹣b2＝b4﹣a4，得a1+d﹣2b1＝8b1﹣（a1+3d），
即a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），
∴a1＝b1．
（2）由（1）知，d＝2b1＝2a1，
由bk＝am+a1知，，
∴，即2k﹣1＝2m，
又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10，
故集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素个数为9个．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝，求b．
【考点】解三角形；正弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据S1﹣S2+S3＝，求得a2﹣b2+c2＝2，由余弦定理求得ac的值，根据S＝acsinB，求△ABC面积．
（2）由正弦定理得∴a＝，c＝，且ac＝，求解即可．
【解答】解：（1）S1＝a2sin60°＝a2，
S2＝b2sin60°＝b2，
S3＝c2sin60°＝c2，
∵S1﹣S2+S3＝a2﹣b2+c2＝，
解得：a2﹣b2+c2＝2，
∵sinB＝，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，
∴cosB＝，
∴cosB＝＝，
解得：ac＝，
S△ABC＝acsinB＝．
∴△ABC的面积为．
（2）由正弦定理得：＝＝，
∴a＝，c＝，
由（1）得ac＝，
∴ac＝•＝
已知，sinB＝，sinAsinC＝，
解得：b＝．
【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．
19．（12分）（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ）．

【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；综合法；概率与统计；数学运算；数据分析．
【分析】（1）利用平均数公式求解即可．
（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率．
（3）利用条件概率公式计算即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
＝5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10＝47.9岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的频率为：
（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10＝0.89，
∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50）为事件B，此人患这种疾病为事件C，
则P（C|B）＝＝≈0.0014．
【点评】本题考查频率分布直方图求平均数、频率，考查条件概率计算公式，属于基础题．
20．（12分）（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．
（1）证明：OE∥平面PAC；
（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何；数学运算．
【分析】（1）连接OA，OB，可证得OA＝OB，延长BO交AC于点F，可证得OE∥PF，由此得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面ACE及平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式得解．
【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，依题意，OP⊥平面ABC，
又OA⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，则OP⊥OA，OP⊥OB，
∴∠POA＝∠POB＝90°，
又PA＝PB，OP＝OP，则△POA≌△POB，
∴OA＝OB，
延长BO交AC于点F，又AB⊥AC，则在Rt△ABF中，O为BF中点，连接PF，
在△PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则OE∥PF，
∵OE⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，
∴OE∥平面PAC；
（2）过点A作AM∥OP，以AB，AC，AM分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于PO＝3，PA＝5，由（1）知OA＝OB＝4，
又∠ABO＝∠CBO＝30°，则，
∴，
又AC＝ABtan60°＝12，即C（0，12，0），
设平面AEB的一个法向量为，又，
则，则可取，
设平面AEC的一个法向量为，又，
则，则可取，
设锐二面角C﹣AE﹣B的平面角为θ，则，
∴，即二面角C﹣AE﹣B正弦值为．

【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【考点】直线与双曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题；方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（1）根据渐近线方程和a2+b2＝c2即可求出；
（2）法一：首先求出点M的轨迹方程即为yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率，
若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），求出点M的坐标，可得M为AB的中点，即可|MA|＝|MB|；
若选择①③：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），求出点M的坐标，即可PQ∥AB；
若选择②③：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），设AB的中点C（xC，yC），求出点C的坐标，可得点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．
法二：直线AB的斜率存在且不为0，直线AB的斜率为k，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）．条件①M在AB上等价于m＝k⇔ky0＝k2（x0﹣2），条件②PQ∥AB等价于ky0＝3x0，条件③|AM|＝|BM|等价于．再从①②③中选两个条件，证明第三个条件成立．
【解答】解：（1）由题意可得＝，＝2，
解得a＝1，b＝，
因此C的方程为x2﹣＝1，
（2）解法一：设直线PQ的方程为y＝kx+m，（k≠0），将直线PQ的方程代入x2﹣＝1可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，
Δ＝12（m2+3﹣k2）＞0，
∵x1＞x2＞0
∴x1+x2＝＞0，x1x2＝﹣＞0，
∴3﹣k2＜0，
∴x1﹣x2＝＝，
设点M的坐标为（xM，yM），则，
两式相减可得y1﹣y2＝2xM﹣（x1+x2），
∵y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∴2xM＝（x1+x2）+k（x1﹣x2），
解得XM＝，
两式相加可得2yM﹣（y1+y2）＝（x1﹣x2），
∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m，
∴2yM＝（x1﹣x2）+k（x1+x2）+2m，
解得yM＝，
∴yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率；
若选择①②：
设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则，解得x3＝，y3＝，
同理可得x4＝，y4＝﹣，
∴x3+x4＝，y3+y4＝，
此时点M的坐标满足，解得XM＝＝（x3+x4），yM＝＝（y3+y4），
∴M为AB的中点，即|MA|＝|MB|；
若选择①③：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y＝x上，矛盾，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则，解得x3＝，y3＝，
同理可得x4＝，y4＝﹣，
此时xM＝（x3+x4）＝，
∴yM＝（y3+y4）＝，
由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝•2m2，解得k＝m，
因此PQ∥AB．
若选择②③，
设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），
则，解得x3＝，y3＝，
同理可得x4＝，y4＝﹣，
设AB的中点C（xC，yC），则xC＝（x3+x4）＝，yC＝（y3+y4）＝，
由于|MA|＝|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y﹣yC＝﹣（x﹣xC）上，
将该直线y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，
即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．
（2）解法二：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，
若选由①②⇒③，或选由②③⇒①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为0．
若选①③⇒②，则M为线段AB的中点，假设AB的斜率不存在，
则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F，
此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，从而x1＝x2，已知不符．
综上，直线AB的斜率存在且不为0，
直线AB的斜率为k，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）．
则条件①M在直线AB上，等价于y0＝k（x0﹣2）⇔ky0＝k2（x0﹣2），
两渐近线的方程合并为3x2﹣y2＝0，
联立方程组，消去y并化简得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2＝0，
设A（x3，y3），B（x4，y4），线段中点为N（xN，yN），
则xN＝＝.yN＝k（xN﹣2）＝，
设M（x0，y0），
则条件③|AM|＝|BM|等价于（x0﹣x3）2+（y0﹣y3）2＝（x0﹣x4）2+（y0﹣y4）2，
移项并利用平方差公式整理得：
（x3﹣x4）[2x0﹣（x3+x4）]+（y3﹣y4）[（2y0﹣（y3+y4）]＝0，
[2x0﹣（x3+x4）]+[2y0﹣（y3+y4）]＝0，
∴x0﹣xN+k（y0﹣yN）＝0，
[2x0﹣（x3+x4）]+[2y0﹣（y3+y4）]＝0，
∴x0﹣xN+k（y0﹣yN）＝0，
∴，
由题意知直线PM的斜率为﹣，直线QM的斜率为，
∴由（x1﹣x0），y2﹣y0＝（x2﹣x0），
∴y1﹣y2＝﹣（x1+x2﹣2x0），
∴直线PQ的斜率m＝＝﹣，
直线PM：y＝﹣（x﹣x0）+y0，即y＝，
代入双曲线的方程为3x2﹣y2﹣3＝0，即（）（）＝3中，
得（）[2﹣（）]＝3，
解得P的横坐标为（+）]＝3，
同理，x2＝﹣（），x1+x2﹣2x0＝﹣﹣x0，
∴m＝，
∴条件②PQ∥AB等价于m＝k⇔ky0＝3x0，
综上所述：
条件①M在AB上等价于m＝k⇔ky0＝k2（x0﹣2），
条件②PQ∥AB等价于ky0＝3x0，
条件③|AM|＝|BM|等价于．
选①②⇒③：
由①②解得∴，∴③成立；
选①③⇒②：
由①③解得：，ky0＝，∴ky0＝3x0，∴②成立；
选②③⇒①：
由②③解得：，ky0＝，∴，∴①成立．
【点评】本题考查了直线和双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．
22．（12分）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝xeax﹣ex．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；
（3）设n∈N*，证明：++…+＞ln（n+1）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）先求出导函数f'（x），再根据导函数f'（x）的正负即可得到函数f（x）的单调性．
（2）构造函数g（x）＝f（x）+1＝xeax﹣ex+1（x＞0），则g（x）＜g（0）＝0在x＞0上恒成立，又g′（x）＝eax+xaeax﹣ex，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝a（2eax+axeax）﹣ex，根据h′（0）的正负分情况讨论，得到g（x）的单调性以及最值，判断是否满足题意，即可求出a的取值范围．
（3）求导易得t﹣＞2lnt（t＞1），令t＝，利用上述不等式，结合对数的运算性质即可证得结论．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xex﹣ex＝ex（x﹣1），
f′（x）＝ex（x﹣1）+ex＝xex，
∵ex＞0，
∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
（2）令g（x）＝f（x）+1＝xeax﹣ex+1（x＞0），
∵f（x）＜﹣1，f（x）+1＜0，
∴g（x）＜g（0）＝0在x＞0上恒成立，
又g′（x）＝eax+xaeax﹣ex，
令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝aeax+a（eax+axeax）﹣ex＝a（2eax+axeax）﹣ex，
∴h′（0）＝2a﹣1，
①当2a﹣1＞0，即a＞，存在δ＞0，使得当x∈（0，δ）时，h′（x）＞0，即g′（x）在（0，δ）上单调递增．
因为g′（x）＞g′（0）＝0，所以g（x）在（0，δ）内递增，所以f（x）＞﹣1，这与f（x）＜﹣1矛盾，故舍去；
②当2a﹣1≤0，即a≤，
g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝（1+ax）eax﹣ex，
若1+ax≤0，则g'（x）＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．
若1+ax＞0，则g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝eax+ln（1+ax）﹣ex≤﹣ex≤＝0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是a≤．
（3）由（2）可知，当a＝时，f（x）＝＜﹣1（x＞0），
令x＝ln（1+）（n∈N*）得，＜﹣1，
整理得，，
∴＞ln（1+），
∴＞ln（），∴＞ln（）＝ln（）＝ln（n+1），
即++...+＞ln（n+1）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于难题．

考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
4．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
5．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
6．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
7．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an＝，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为　　
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
8．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
9．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．

2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
10．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
11．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
12．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
13．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的知识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【典型例题分析】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　60°　．
解：＝＝＝＝＝cos60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．

【考点点评】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
14．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）

在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a

面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝

sinC＝
16．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

17．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
18．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
19．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
20．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
21．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
22．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
23．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

24．直线与双曲线的综合
v．
25．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质

（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．

【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（　　）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．

典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（　　）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．

典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（　　）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故选B．

题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解　（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．

典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（　　）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．

题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝　　．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．

题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有　　辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．

典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．

【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
26．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．

2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：

27．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
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