2025版高考数学一轮总复习单元检测第二章函数（附解析）

这是一份2025版高考数学一轮总复习单元检测第二章函数（附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数的定义域是（ C ）
A. ,B. C. ,D.
解：由函数 有意义，得
解得 或.
所以函数 的定义域是,.故选.
2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ B ）
A. B. C. D.
解：对于，在 上单调递增，不符合题意.
对于，在 上单调递减，符合题意.
对于，在 上单调递增，不符合题意.
对于，则 在 上单调递减，在 上单调递增，不符合题意.故选．
3. 设函数则（ C ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
解：,,所以.故选.
4. 已知，，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：因为，，，所以.故选.
5. 函数的部分图象大致为 （ D ）
A. B. C. D.
解：根据题意，函数 的定义域为.因为，所以 为偶函数，则其图象关于 轴对称，所以排除.当 时，；当 时，，排除，.故选.
6. 若为偶函数，则（ D ）
A. B. 0C. D. 1
解：由，得 或，即 定义域为.
由 是偶函数，得.
即
.
因为 不恒为0，所以，解得.故选.
7. 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（,是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（ B ）
A. B. C. D.
解：依题意，得，则.设污染物减少 用时，于是，即.则，即.两边取对数，得，所以，所以污染物减少 大约需要.故选.
8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ D ）
A. B. 1C. 0D.
解：因为 为奇函数，所以.
又因为，
所以.
所以.
由①②，得，即 是一个周期为4的周期函数.
所以 故选.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列选项正确的是（ AC ）
A. B.
C. D.
解：对于，由，可知．又对数函数 在 上单调递增，所以，故 正确．
对于，由于正弦函数 在 上不单调，所以无法判断 与 的大小，故 不一定正确．
对于，由 在 上单调递增，且，所以，故 正确．
对于，函数 在 上单调递增，且，则，所以，故 错误．故选.
10. 下列说法正确的是（ BCD ）
A. 函数与是同一函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 若函数,则
D. 定义在上的奇函数满足，则函数的一个周期为4
解：对于，的定义域为，的定义域为，故，不是同一函数，故 错误.
对于，函数 的定义域为，则 中 的范围为.由抽象函数的定义域，可得 中 的范围为，即，解得，故函数 的定义域为，故 正确.
对于，令，则，.由,得，，所以，，故 正确.
对于，由，得，故.因为 为奇函数，所以，所以，从而，故，则函数 的一个周期为4，故 正确．故选．
11. 设函数则下列命题正确的是（ BC ）
A. 是偶函数B. 的值域为
C. 存在，使得D. 与具有相同的单调区间
解：由题意，知，故函数 不是偶函数，故 错误.
当 时，.当 时，.故 的值域为，故 正确.
当 时，，故 正确.
因为 所以 在 上单调递减，而 在 上不单调，故 错误.故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，写出一个同时满足下列性质①②的 的值：（答案不唯一,负奇数均可）.
①当时，；
②在上单调递减.
解：由①可知 为奇数.由②得.所以 可以取任意负奇数，不妨取.故填 （答案不唯一,负奇数均可）.
13. 已知函数则不等式的解集为 .
解：当，即 时，，即，所以，即，所以无解.
当，即 时，，，.又，所以.故填.
14. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 .
解：设，则 为减函数.由函数 在 上单调递减，可得 在 上单调递增，则有 解得.故实数 的取值范围为.故填.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）计算：
（1） ；
解：原式.
（2） .
[答案]原式.
16. （15分）已知函数是定义在上的奇函数,当时,.
（1） 求函数的解析式;
解：因为 时,,所以当 时，,所以.因为函数 是定义在 上的奇函数,所以.所以，即.又,
所以
（2） 若,求实数的取值范围.
[答案]
因为 时,,,
所以,所以,所以,所以.
故实数 的取值范围为.
17. （15分）已知函数.
（1） 求函数的零点；
解：由题意，知．
令，得，即.
所以所求零点为.
（2） 令函数，当时，证明：函数在区间上有零点．
证明：．
当 时，，解得．
即，
则．
又，所以函数 在区间 上有零点.
18. （17分）为了提高员工的工作积极性，某公司预修订新的“员工激励计划”.新的计划有以下两点需求.
需求一：奖金随着销售业绩的提高而提高.
需求二：销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升.
公司规定销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为0.2万元.设业绩为万元时奖金为万元，现给出三个函数模型：；；.其中，.
（1） 请选择合适的函数模型符合该公司新的“员工激励计划”，并给出合理的解释；
解：选择模型③，理由如下：
易知①②③均符合需求一.
对于①，，随 增加而增加的幅度不变，不符合需求二.
对于②，，随 增加而增加的幅度越来越小，不符合需求二.
对于③，，随 增加而增加的幅度越来越大，符合需求二.故选模型③.
（2） 试根据（1）选择的函数模型计算销售业绩为200万元时的奖金为多少万元？
[答案]
由题意，得，，
即 解得
故.
所以.
故销售业绩为200万元时的奖金为26.6万元.
19. [2023年上海卷]（17分）已知，，函数.
（1） 若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由；
解：若，则.
的定义域为.
因为 是奇函数，是偶函数，
所以函数 为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得 是奇函数．
（2） 若函数的图象过点，且与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围．
[答案]
由题意，得，解得.
此时.
由，得 在 上有两个不同的交点.
设，
则
解得 故.
若，即 是方程 的根，则，即，解得 或.
所以，且，
故 的取值范围为，，.