2025版高考数学一轮总复习单元检测第八章平面解析几何（附解析）

这是一份2025版高考数学一轮总复习单元检测第八章平面解析几何（附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线的倾斜角是 （ D ）
A. B. C. D.
解：直线的斜率.
设直线的倾斜角为 ，则，
而，所以.
故选.
2. 若直线与平行，则与的距离为（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意,得，解得.
故，化简得.
则 与 之间的距离为.
故选.
3. “”是“直线与垂直”的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：由 得两直线斜率满足，即两直线垂直；
由两直线垂直得，解得.
故选.
4. 已知直线经过拋物线的焦点，则的值为（ D ）
A. B. C. D.
解:由题意,知抛物线的焦点坐标为，所以，解得.故选.
5. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为,长轴长为12，则椭圆方程为（ C ）
A. B.
C. 或D. 或
解：由题意，得，,所以，.
所以.
当焦点在 轴上时，椭圆方程为.
当焦点在 轴上时，椭圆方程为.
故选.
6. 若直线与圆相切，则实数的值为（ B ）
A. B. 1或C. 或3D.
解：圆的方程可化为，可得圆心为，半径.
由题意,得圆心到直线的距离，解得 或.
故选.
7. 设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为（ B ）
A. B. C. D. 1
解：如图，易知抛物线的焦点为，准线是.
由抛物线的定义,知点 到直线 的距离等于点 到点 的距离.
问题转化为在抛物线上求一点，使点 到点 的距离与点 到点 的距离之和最小.
显然，连接 与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为.
故选.
8. [2023年全国乙卷]设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ D ）
A. B. C. D.
解：设,，
则 的中点,.
可得,.
因为,在双曲线上，则
两式相减得，
所以.
由选项中的点所在位置，知，在双曲线的两支上,则，
所以,则 或，只有选项 满足.
故选.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ AB ）
A. 当时，曲线为圆
B. 当时，曲线为双曲线，其焦点到渐近线的距离为
C. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分不必要条件
D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
解：当 时，曲线 的方程为，表示圆，故 正确.
当 时，曲线 的方程为，焦点坐标为，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为，故 正确.
取，曲线 的方程为 不表示椭圆，故 错误.
曲线 为双曲线时，，即 或.当 时，双曲线的离心率，若，则 无解.当 时，同样可得 无解，故 错误.
故选.
10. 已知点在圆上，点在圆上，则（ ABC ）
A. 两圆外离
B. 的最大值为9
C. 的最小值为1
D. 两圆的一条公切线方程为
解：圆 的圆心坐标，半径.
圆，即 的圆心坐标，半径.
所以圆心距.
因为，所以两圆外离．故 正确.
因为点 在圆 上，点 在圆 上，所以,，故，正确.
因为圆心 到直线 的距离，所以直线 不是两圆的公切线，故 错误.
故选．
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，若，则（ BC ）
A. B. C. D.
解：抛物线 的焦点为，准线 为.
如图,设准线 与 轴交于点.
因为，所以由，得.
因为，所以，即，故 错误.
由抛物线定义,得，所以，即，，故,正确，错误.
故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若点到直线的距离为2，则直线的方程为或..
解：由题意,有，得，所以 或.
易得直线 的方程为 或.
故填或.
13. 已知椭圆,为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点,为椭圆上一点.若,则 .
解：由题意,得,,,则,.
所以.由,得,所以 为椭圆 短轴的一个端点.
所以.
故填.
14. 是双曲线和圆的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 .
解：如图,不妨设 为左焦点.
由题中条件，知圆的直径是双曲线的焦距，则 .
所以 ， ,
则有，.
所以离心率
.
故填.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）分别求满足下列条件的直线方程，并化为一般式.
（1） 经过点，且斜率与直线的斜率相同；
解：过点，斜率与直线 的斜率相同的直线方程是，化为一般式方程为.
（2） 经过两点和；
[答案]过两点 和 的直线方程是，化为一般式方程为.
（3） 经过点且与直线垂直.
[答案]设与直线 垂直的直线方程为，且该直线过点，则有，解得，所以所求的直线方程为.也可直接由点斜式求解.
16. （15分）已知点，圆的圆心在直线上,且与轴切于点，
（1） 求圆的方程；
解：由题意，设圆心坐标为，则 解得
所以圆心，半径.
故圆的方程为.
（2） 若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
[答案]
因为点，直线 过点，所以设直线 的斜率为（存在）,则其方程为，即.
又圆 的圆心为，半径，弦长为，
故弦心距.
故，解得.
所以直线 的方程为,
即.
当 的斜率不存在时，的方程为.
经验证,也满足条件.
故 的方程为 或.
17. （15分）已知抛物线的焦点为，为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点.
（1） 当时，求点的坐标；
解：依题意可设，，易知.
因为，结合抛物线的定义得，
即，所以点 的坐标为.
（2） 求点到直线的距离的最小值.
[答案]
设点 的坐标为，，
则点 到直线 的距离.因为，
所以当 时，取得最小值9.
故点 到直线 的距离的最小值.
18. （17分）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.
（1） 求点的轨迹方程.
解：设，，则，
,.
由，得,.
因为 在 上，所以，所以.
因此点 的轨迹方程为.
（2） 设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.
证明：易知.
设，，则
，,，，.
由，得.
又由（1）知，故.
所以，即.
又过点 存在唯一直线垂直于，所以过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点.
19. （17分）已知双曲线的左、右焦点分别为,，双曲线的右顶点在圆上，且.
（1） 求双曲线的标准方程.
解：设双曲线 的半焦距为，则,.由点 在圆 上，得.
由，得，所以.
所以双曲线 的标准方程为.
（2） 动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，问（为坐标原点）的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
[答案]
设直线 与 轴相交于点，双曲线 的渐近线方程为.
当直线 的斜率不存在时，直线 为,,，得.
当直线 的斜率存在时，设其方程为，显然，则.
联立 得.
又直线 与双曲线的渐近线不平行，所以，且.
于是得
得.
设,.
由 得.同理得.
所以.
综上，的面积恒为定值2.