2025高考数学一轮知识必备练习第三章一元函数的导数及其应用3.2导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性

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结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.函数的单调性与导数的关系
在某个区间上，如果 ，那么函数在区间上单调递增；如果 ，那么函数在区间上单调递减.
2.利用导数判断函数 单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各个区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.
3.函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
常用结论
根据单调性确定参数
（1）若在区间上单调递增（减），则在区间上恒成立.
（2）若在区间上存在单调递增（减）区间，则在区间上有解.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 若函数在内单调递增，则一定有.（ × ）
（2） 若函数在某个区间内恒有，则在此区间内没有单调性.（ √ ）
（3） 在内,且的根为有限个，则在上单调递减.（ √ ）
（4） 函数的单调递增区间为和.（ × ）
（5） 函数在区间上变化得越快，其导数就越大.（ × ）
2. （教材题改编）设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为 （ C ）
A. B.
C. D.
解：由函数图象，可知当 时，函数 单调递减，此时;当 时，单调递增，此时；当 时，函数 单调递减，此时.根据选项判断，只有 满足条件.故选.
3. 函数的单调递增区间是（ D ）
A. B. C. 和D.
解：因为函数，
所以
由，得，
即，则，解得，即函数 的单调递增区间为.故选.
4. 已知函数，则，，的大小关系正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
解：.当 时，，所以 在 上单调递增.所以.故选.