高考数学一轮复习练15第二章函数导数及其应用第十二讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性含解析新人教版

第十二讲　导数在研究函数中的应用

第一课时　导数与函数的单调性

A组基础巩固

一、单选题

1．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　B　)

A．(0，＋∞)　　 B．

C.　　 D．

[解析]　由y＝4x2＋，得y′＝8x－，

令y′>0，即8x－>0，解得x>，

∴函数y＝4x2＋的单调增区间为.故选B.

2．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　D　)

A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)．当f′(x)>0时，解得x>，即函数的单调递增区间为；当f′(x)<0时，解得0<x<，即函数的单调递减区间为.故选D.

3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上是增函数(　B　)

A.　　 B．(π，2π)

C.　　 D．(2π，3π)

[解析]　y′＝－xsin x，经验证，只有在(π，2π)内y′>0恒成立，∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上是增函数．

4．(2021·广东惠州调研)已知导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的大致图象是(　B　)

[解析]　在(－1，1)上，f′(x)>0，因此函数y＝f(x)在(－1，1)上为增函数；在(－1，0)上，f′(x)单调递增，故y＝f(x)在(－1，0)上增加得越来越快，函数y＝ f(x)的图象应为指数增长模式；在(0，1)上，f′(x)单调递减，故y＝f(x)在(0，1)上增加得越来越慢，函数y＝f(x)的图象应为对数增长的模式，故选B.

5．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　A　)

A．(1，2]　　 B．[4，＋∞)

C．(－∞，2]　　 D．(0，3]

[解析]　f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3，即函数f(x)的单调递减区间是(0，3]，所以0<a－1<a＋1≤3，解得1<a≤2.故选A.

6．已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为(　A　)

A．(－3，－2)∪(2，3)　　 B．(－，)

C．(2，3)　　 D．(－∞，－)∪(，＋∞)

[解析]　由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以f(x2－6)>1可化为－2<x2－6<3，所以2<x<3或－3<x<－2.故选A.

7．(2020·河南许昌、平顶山期中)已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是(　A　)

A．f(－3)<f(4)<f(－5)

B．f(4)<f(－3)>f(－5)

C．f(－5)<f(－3)<f(4)

D．f(4)<f(－5)<f(－3)

[解析]　x∈(－∞，0)时，xf′(x)>0即f′(x)<0，

∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，又f(x)为偶函数，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∴f(3)<f(4)<f(5)，∴f(－3)<f(4)<f(－5)，故选A.

二、多选题

8．(2021·青岛市高中毕业班模拟)已知当m，n∈[－1，1]时，sin －sin <n3－m3，则以下判断正确的是(　BC　)

A．m>n　　 B．m3<n3

C．m<n　　 D．m与n的大小关系不确定

[解析]　由题意，设f(x)＝x3＋sin ，

则f′(x)＝3x2＋cos ，

当x∈[－1，1]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

又由m3＋sin <n3＋sin ，

所以f(m)<f(n)，即m<n，故选B、C.

9．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)．下列结论正确的是(　BD　)

A．f(x)<0恒成立

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0

C．f>

D．f<

[解析]　由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，所以f(x)的图象如图所示：

f(x)<0恒成立，没有依据，故A不正确；

B表示(x1－x2)与[f(x1)－f(x2)]异号，即f(x)为减函数．故B正确；

C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，

右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，

故C不正确，D正确．

三、填空题

10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝  －12  ．

[解析]　f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，所以－1，3是f′(x)＝0的两个根，所以b＝－3，c＝－9，所以b＋c＝－12.

11．函数f(x)＝的单调递减区间是  (0，1)和(1，e)  ．

[解析]　f′(x)＝<0得，解得0<x<1或1<x<e.

∴f(x)的单调递减区间为(0，1)和(1，e)．

12．已知函数f(x)＝x2(x－a)．

(1)若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是    ；

(2)若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是  (－∞，3]∪  .

[解析]　(1)由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3x.若f(x)在(2，3)上不单调，则有可得3<a<.取补集可得(2)结果．

四、解答题

13．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

[解析]　(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝时，得a＝f′＝3×＋2a×－1，解得a＝－1.

(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，

令f′(x)>0，解得x>1或x<－；

令f′(x)<0，解得－<x<1.

所以f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)；

f(x)的单调递减区间是.

14．(2021·四川成都诊断)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；

(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝－ax－2.

由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，知当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．

设G(x)＝－，则只要a>G(x)min即可，

而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1，所以a>－1.

(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，得当x∈[1，4]时，

h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立，

设G(x)＝－，则a≥G(x)max，而G(x)＝－1，又x∈[1，4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.

B组能力提升

1．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　A　)

A.　　 B．

C.　　 D．(－∞，a)

[解析]　由f′(x)＝－a>0，x>0，得0<x<.

∴f(x)的单调递增区间为.

2.函数f(x)＝(x3＋bx2＋cx)＋d的图象如图，则函数y＝log2的单调递减区间为(　D　)

A.　　 B．[3，＋∞)

C.　　 D．(－∞，－2)

[解析]　f′(x)＝(3x2＋2bx＋c)，由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0，所以解得令g(x)＝x2＋bx＋，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1.由g(x)>0，解得x<－2或x>3.当g′(x)<0时，x<，所以g(x)的单调递减区间为(－∞，－2)．所以函数y＝log2的单调递减区间为(－∞，－2)．故选D.

3．(2021·广东省七校联考)已知定义在R上的连续可导函数f(x)，当x≠0时，有xf′(x)<0，则下列各项正确的是(　C　)

A．f(－1)＋f(2)>2f(0)

B．f(－1)＋f(2)＝2f(0)

C．f(－1)＋f(2)<2f(0)

D．f(－1)＋f(2)与2f(0)大小关系不确定

[解析]　由题意得，x<0时，f(x)是增函数，x>0时，f(x)是减函数，∴x＝0是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，

∴f(－1)<f(0)，f(2)<f(0)，两式相加得，f(－1)＋f(2)<2f(0)，故选C.

4．(多选题)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　BC　)

A．函数y＝f(x)在区间内单调递增

B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值

C．函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增

D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值

[解析]　对于A，函数y＝f(x)在区间内有增有减，故A不正确；对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确．

5．(2021·山东枣庄调研)已知函数f(x)＝xex－a(a∈R)．

(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程；

(2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间．

[解析]　(1)a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，

所以切线的斜率是k＝f′(1)＝2e.

又f(1)＝e，所以y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.

(2)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝ln a.

①当a＝时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．

②当0<a<时，ln a<－1，由f′(x)>0，得x<ln a或x>－1，由f′(x)<0，得ln a<x<－1.

所以单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)．

③当a>时，ln a>－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>ln a，由f′(x)<0，得－1<x<ln a.

所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．

综上所述，当a＝时，f(x)在R上单调递增；

当0<a<时，单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)；

当a>时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．