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2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第10节 认识三角形（一）（含答案）
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这是一份2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第10节 认识三角形（一）（含答案），共40页。试卷主要包含了如图，如果，则角，，则 ，三角形的外角和等于等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．如图，已知，平分，且交于点，，则为
A．B．C．D．
2．如图，已知，下列结论一定成立的是
A．B．C．D．
3．如图，直线，平分，于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
4．如图，如果，则角，，则 ．
5．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ．
课中讲解
一. 三角形的基本认识
内容讲解
1．三角形的概念
（1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（2）三角形有三条边、三个内角和三个顶点．
（3）“三角形”可以用符号“△”表示，如图顶点是 A，B，C 的三角形，记作“△ ABC”．
△ ABC 的三边：AB、BC、AC，有时也用 ，， 来表示．如图，顶点 A 所对的边 BC 用表示， 边 AC、边 AB 分别用， 来表示．
△ ABC 的三个内角：∠A、∠B、∠C
（1）用“RT△ ABC”表示直角三角形ABC；
（2）直角三角形中直角所对的边称为斜边，夹直角的两边称为直角边；
（3）直角三角形的两个锐角互余
2．三角形的分类
（1）按角分类
（2）按边分类
不等边三角形：三边都不相等的三角形
等腰三角形：①底边和腰不相等的等腰三角形（有两条边相等的三角形）；②等边三角形（正三角形）
例1．下面是小强用三根火柴摆成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A. B. C. D.
例2．如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
例3．图中锐角三角形的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例4．图中三角形共有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例5．下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
过关检测
1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，符合三角形概念的是（ ）
A． B． C． D．
2．等边三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．图中直角三角形共有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．下列说法：（1）三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形；（3）等腰三角形是特殊的等边三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二. 边的问题
内容讲解
三角形的三边关系：
（1）三角形两边之和大于第三边；
（2）三角形两边之差小于第三边．
例1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
过关检测
1．小明用长度分别为5，，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则可能的值是
A．4B．6C．14D．15
2．已知三角形三边长分别为2，3，，若为奇数，则的值为
A．1B．3C．5D．7
3．已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是、、，则的取值范围
是
A．B．C．D．
4．在中，，，那么的周长的取值范围是______．
5．已知三角形两边长为2cm和8cm，且周长为奇数，则周长为______．
例2．若，，分别是三角形的三边，化简______．
过关检测
1．已知，，是三角形的三边长，化简；若，，，求这个式子的值．
2．若，，是的三边长，化简______．
3．已知，，为的三边长，且，其中的范围是______．
三．三角形内外角
内容讲解
1．三角形的内角的定义：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．
在同一个三角形内，大边对大角．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．
2．三角形的外角的定义：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角．
三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非个外角之和)．三角形的外角和等于．
3．三角形内角和定理的三个推论：
推论1： 直角三角形的两个锐角互余．
推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4．两个重要模型：
“箭头模型” “8字模型”
结论：
当时，
5．多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°．
（一）利用三角形内外角求角度
例1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠A＝80°，则∠ACD＝（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
例2．如下图，求的度数．
例3．如图所示，已知，，，求度数．
过关检测
1．如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3＝4：3：2，则∠ABC的度数为（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
2．如图，下列哪种说法不正确（ ）
A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠A
C．∠B＞∠ACDD．∠HEC＞∠B
3．如图，求的度数．
（二）利用三角形内外角关系设未知数求角度
例1．已知在中，，，则的度数是( )
A． B． C． D．
例2．已知中， ， ，求的各个内角的度数，并判断它是什么三角形．
例3．若三角形的三个外角的比是，则这个三角形的最大内角的度数是 ．
过关检测
1．在中，，求的度数是多少？
2．已知三角形中有，求各角度．
3．在中，三个内角、、满足=，_____度．
（三）利用折叠对应角相等求角度
例1．如图所示，将沿着翻折，若，则 ．
例2．如图1，一张纸片，点D、E分别是边上两点．
研究（1）：如果沿直线折叠，使A点落在上，则与的数量关系是______．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想、和的数量关系是______．
过关检测
1．如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则为多少度？
2．如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在外，若，则的度数为（ ）
A．50° B．98°C．75°D．80°
（四）多边形外角和
例1．一个多边形的内角和与外角和的比是，它的边数是 ．
例2．多边形的内角和与外角和
多边形的内角和是 ；多边形的外角和是 ．
（1）如图： ．
过关检测
1．一个多边形的外角和是它内角和的，求这个多边形的边数．
学习任务
1．图中三角形个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形 D．一个锐角三角形和一个钝角三角形
3．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝4：5：9，那么△ABC按角分类是 三角形．
4．如图所示，为估计池塘两岸、间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点，测得，，那么、之间的距离不可能是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝110°，则∠DAM＝ 度．
6．已知，，是一个三角形的三条边长，则化简的结果是多少？
7．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2为 ．
8．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ ）
A．75°B．105°C．135°D．165°
9．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
10．如图所示为一五角星，则的度数是多少？
家长签字：____________
第10讲 认识三角形（一）（解析版）
目标层级图
课前检测
1．如图，已知，平分，且交于点，，则为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：，
（两直线平行，内错角相等），
平分，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题关键是根据平行得出角度相等即可得出答案．
2．如图，已知，下列结论一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：设与相交于点，如下图所示，
．，
（两直线平行，内错角相等），
（外角的性质），
，
，
故选项不符合题意；
．由题意得无法根据得出与的关系，故选项不符合题意；
．，
（两直线平行，内错角相等），
（外角的性质），
，
故选项符合题意；
．，
（两直线平行，内错角相等），
（外角的性质），
，
，
故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质判断出图中角度之间的关系．
3．如图，直线，平分，于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据，即可得的度数．
【解答】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
则的度数为．
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质、垂线，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
二．填空题（共2小题）
4．如图，如果，则角，，则 ．
【分析】过点作，根据，可得，根据平行线的性质即可求出的度数．
【解答】解：如图，过点作，
，
，
，，
，，
．
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
5．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ．
【分析】根据题意得到，再计算，然后根据进行计算即可．
【解答】解：，
而，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
课中讲解
一. 三角形的基本认识
内容讲解
1．三角形的概念
（1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（2）三角形有三条边、三个内角和三个顶点．
（3）“三角形”可以用符号“△”表示，如图顶点是 A，B，C 的三角形，记作“△ ABC”．
△ ABC 的三边：AB、BC、AC，有时也用 ，， 来表示．如图，顶点 A 所对的边 BC 用表示， 边 AC、边 AB 分别用， 来表示．
△ ABC 的三个内角：∠A、∠B、∠C
（1）用“RT△ ABC”表示直角三角形ABC；
（2）直角三角形中直角所对的边称为斜边，夹直角的两边称为直角边；
（3）直角三角形的两个锐角互余
2．三角形的分类
（1）按角分类
（2）按边分类
不等边三角形：三边都不相等的三角形
等腰三角形：①底边和腰不相等的等腰三角形（有两条边相等的三角形）；②等边三角形（正三角形）
例1．下面是小强用三根火柴摆成的图形，其中符合三角形概念的是（ C ）
A. B. C. D.
不在同一直线上三条线段首尾顺次相接
例2．如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（ B ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
有一个角是钝角
例3．图中锐角三角形的个数有（ B ）
A．2 B．3 C．4 D．5
先找出以A为顶点的锐角三角形：△ABC △ADC,再找以点E为顶点的锐角三角形：△EDC
例4．图中三角形共有（C ）
A．3 B．4 C．5 D．6
单个三角形有3个，由两个三角形组成的三角形1个，由三个三角形组成的三角形有1个
例5．下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ A ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）钝角三角形两边相等，可以是等腰三角形，（3）正三角形，（4）等腰直角三角形
过关检测
过关检测
1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，符合三角形概念的是（ D ）
A． B． C． D．
2．等边三角形是（ B ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．图中直角三角形共有（C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ C ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．下列说法：（1）三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形；（3）等腰三角形是特殊的等边三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（ B ）
A．1 B．.2 C．3 D．4
（1）按边分类（2）对（3）错（4）对
二. 边的问题
内容讲解
三角形的三边关系：
① 三角形两边之和大于第三边；
② 三角形两边之差小于第三边．
例1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】根据三角形两边之和大于第三边分别进行分析即可．
【解答】解：、，不能组成三角形；
、，不能组成三角形；
、，能组成三角形；
、，不能组成三角形．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
过关检测
1．小明用长度分别为5，，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则可能的值是
A．4B．6C．14D．15
解：由题意得，
解得，
故可能的值是6，
故选：．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
２．已知三角形三边长分别为2，3，，若为奇数，则的值为
A．1B．3C．5D．7
解：三角形三边长分别为2，3，，为奇数，
，则．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确把握三角形三边关系定理是解题关键．
３．已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是、、，则的取值范围是
A．B．C．D．
解：三角形的三边长分别是、、，
，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
４．在中，，，那么的周长的取值范围是 ．
解：中，，，
，
的周长取值范围是，
即，
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
５．已知三角形两边长为2cm和8cm，且周长为奇数，则周长为 17cm或19cm ．
解：设三角形的第三边长为xcm，由题意得：
8﹣2＜x＜8+2，
解得：6＜x＜10，
∵第三边的数值为奇数，
∴x＝7或9，
∴这个三角形的周长为：2+7+8＝17（cm）或2+8+9＝19（cm），
故答案为：17cm或19cm．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三边关系定理，确定出第三边长．
例2．若，，分别是三角形的三边，化简 ．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求得．
【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边得到：，，．
再根据绝对值的意义，得原式．
【点评】注意根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值．
过关检测
１．已知，，是三角形的三边长，化简；若，，，求这个式子的值．
【分析】根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再根据绝对值的性质化简，然后将，，代入即可．
【解答】解：、、是三角形的三边长，
，，，
原式
当，，时，
原式．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
２．若，，是的三边长，化简 ．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定，，，然后去绝对值，化简即可求得．
【解答】解：，，是的三边的长，
，，，
，，，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是要注意符号．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，以及绝对值的性质，正确理解定理
３．已知，，为的三边长，且，其中的范围是 ．
【分析】依据非负数的性质，即可得到，，再根据三角形三边关系，即可得到的范围．
【解答】解：，
，
，，
，，
，，为的三边长，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，任意一个数的偶次方都是非负数，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
三．三角形内外角
内容讲解
1．三角形的内角的定义：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．
在同一个三角形内，大边对大角．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．
2．三角形的外角的定义：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角．
三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非个外角之和)．三角形的外角和等于．
3．三角形内角和定理的三个推论：
推论1： 直角三角形的两个锐角互余．
推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4．两个重要模型：
“箭头模型” “8字模型”
结论：
当时，
5．多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°．
题型一 利用三角形内外角求角度
例1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠A＝80°，则∠ACD＝（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【分析】根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠B＝50°，∠A＝80°，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+80°＝130°，
故选：B．
例2．如下图，求的度数．
例3．如图所示，已知，，，求度数．
过关检测
1．如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3＝4：3：2，则∠ABC的度数为（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
【分析】设∠1、∠2、∠3的度数分别为4x、3x、2x，根据三角形的外角和等于360°列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠1、∠2、∠3的度数分别为4x、3x、2x，
则4x+3x+2x＝360°，
解得，x＝40°，
∴∠2＝3x＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
故选：A．
2．如图，下列哪种说法不正确（ ）
A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠A
C．∠B＞∠ACDD．∠HEC＞∠B
【分析】根据三角形的外角性质、三角形内角和定理判断即可．
【解答】解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠ACB＜180°，本选项说法正确，不符合题意；
B、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，本选项说法正确，不符合题意；
C、∵∠ACD是△ACB的一个外角，
∴∠B＜∠ACD，本选项说法错误，符合题意；
D、∵∠HEC＞∠ACD，∠ACD＞∠B，
∴∠HEC＞∠B，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
3．如图，求的度数．
题型二：利用三角形内外角关系设未知数求角度
例1．已知在中，，，则的度数是( D )
A． B． C． D．
例2．已知中， ， ，求的各个内角的度数，并判断它是什么三角形．
分析：
根据三角形内角和定理列出关于∠A的方程，求出∠A的值即可．
解答：
根据题意有：
∠B=2∠A ①；∠C=3∠B ②
可得∠C=6∠A③
把①和③代入∠A+∠B+∠C=180中，
9∠A=180∘，
解得：∠A=20∘,可得：∠B=40∘,∠C=120∘
因此△ABC是钝角三角形。
例3．若三角形的三个外角的比是，则这个三角形的最大内角的度数是 ．
利用三角形的外角性质列方程计算，再根据三角形内角与外角的关系得到它的最大内角度数．
解答：
设三角形三个外角的度数分别为2x度，3x度，4x度。
根据多边形的外角和是360度,列方程得：2x+3x+4x=360∘，
解得：x=40，
则最小外角为2×40∘=80∘，
则最大内角为：180∘−80∘=100∘.
故填100∘.
过关检测
1．在中，，求的度数是多少？
分析：
利用三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C=180°，由已知得出∠A=∠C+35°，∠B=10°+∠C，可得∠C，解得∠B．
解答：
∠A+∠B+∠C=180∘ ①，
∵∠A−∠C=35∘,∠B−∠C=10∘，
∴∠A=∠C+35∘,∠B=10∘+∠C，
代入①式得∠C=45∘，
故∠B=10∘+∠C=55∘.
答：∠B的度数是55∘.
2．已知三角形中有，求各角度．
30∘ 60∘ 90∘
3．在中，三个内角、、满足=，___60___度．
题型三 利用折叠对应角相等求角度
例1．如图所示，将沿着翻折，若，则 40度 ．
例2．如图1，一张纸片，点D、E分别是边上两点．
研究（1）：如果沿直线折叠，使A点落在上，则与的数量关系是______．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想、和的数量关系是______．
【分析】研究（1）：翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中为折痕，有，再利用外角的性质可得结论；
研究（2）：图2中与是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论；
【解答】解：（1）与的数量关系是；
（2），
理由：在四边形中，，
，
，，
，
，
△是由沿直线折叠而得，
，
；
过关检测
1．如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则为多少度？
2．如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在外，若，则的度数为（ B ）
A．50°B．98°C．75°D．80°
题型四 多边形外角和
例1．一个多边形的内角和与外角和的比是，它的边数是 ．
【解答】解：一个多边形的内角和与外角和的比是，
这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数是，
则，
解得：，
即边数为10，
故答案为：10．
例2．多边形的内角和与外角和
多边形的内角和是 ；多边形的外角和是 ．
（1）如图： ．
解：多边形的内角和是；多边形的外角和是
（2）如图：
．
故答案为：；．（1）10；（2）．
【点评】考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：且为整数），同时涉及三角形的性质和三角形的外角和等于360度的知识点．
过关检测
1．一个多边形的外角和是它内角和的，求这个多边形的边数．
【分析】设多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为，
由题意得，，
解得，
学习任务
1．图中三角形个数为（ A ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ A ）
A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形 D．一个锐角三角形和一个钝角三角形
3．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝4：5：9，那么△ABC按角分类是 直角 三角形．
4．如图所示，为估计池塘两岸、间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点，测得，，那么、之间的距离不可能是（ D ）
A．B．C．D．
5．如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝110°，则∠DAM＝ 40 度．
6．已知，，是一个三角形的三条边长，则化简的结果是多少？
解：，，是一个三角形的三条边长，
，，
．
7．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2为 258 ．
8．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ ）
A．75°B．105°C．135°D．165°
解：∠AOC＝∠DAB﹣∠C＝15°，
∴∠α＝180°﹣15°＝165°，
故选：D．
9．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
解：如图，在四边形ABCD中，且∠1＝∠α，∠2＝∠β，
∵∠A+∠1+∠C+∠2＝360°，
∴∠α+∠β＝360°﹣90°﹣45°＝225°．
故选：B．
10．如图所示为一五角星，则的度数是多少？
180
目标层级图
课前检测
1．如图，已知，平分，且交于点，，则为
A．B．C．D．
2．如图，已知，下列结论一定成立的是
A．B．C．D．
3．如图，直线，平分，于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
4．如图，如果，则角，，则 ．
5．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ．
课中讲解
一. 三角形的基本认识
内容讲解
1．三角形的概念
（1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（2）三角形有三条边、三个内角和三个顶点．
（3）“三角形”可以用符号“△”表示，如图顶点是 A，B，C 的三角形，记作“△ ABC”．
△ ABC 的三边：AB、BC、AC，有时也用 ，， 来表示．如图，顶点 A 所对的边 BC 用表示， 边 AC、边 AB 分别用， 来表示．
△ ABC 的三个内角：∠A、∠B、∠C
（1）用“RT△ ABC”表示直角三角形ABC；
（2）直角三角形中直角所对的边称为斜边，夹直角的两边称为直角边；
（3）直角三角形的两个锐角互余
2．三角形的分类
（1）按角分类
（2）按边分类
不等边三角形：三边都不相等的三角形
等腰三角形：①底边和腰不相等的等腰三角形（有两条边相等的三角形）；②等边三角形（正三角形）
例1．下面是小强用三根火柴摆成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A. B. C. D.
例2．如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
例3．图中锐角三角形的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例4．图中三角形共有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例5．下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
过关检测
1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，符合三角形概念的是（ ）
A． B． C． D．
2．等边三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．图中直角三角形共有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．下列说法：（1）三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形；（3）等腰三角形是特殊的等边三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二. 边的问题
内容讲解
三角形的三边关系：
（1）三角形两边之和大于第三边；
（2）三角形两边之差小于第三边．
例1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
过关检测
1．小明用长度分别为5，，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则可能的值是
A．4B．6C．14D．15
2．已知三角形三边长分别为2，3，，若为奇数，则的值为
A．1B．3C．5D．7
3．已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是、、，则的取值范围
是
A．B．C．D．
4．在中，，，那么的周长的取值范围是______．
5．已知三角形两边长为2cm和8cm，且周长为奇数，则周长为______．
例2．若，，分别是三角形的三边，化简______．
过关检测
1．已知，，是三角形的三边长，化简；若，，，求这个式子的值．
2．若，，是的三边长，化简______．
3．已知，，为的三边长，且，其中的范围是______．
三．三角形内外角
内容讲解
1．三角形的内角的定义：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．
在同一个三角形内，大边对大角．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．
2．三角形的外角的定义：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角．
三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非个外角之和)．三角形的外角和等于．
3．三角形内角和定理的三个推论：
推论1： 直角三角形的两个锐角互余．
推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4．两个重要模型：
“箭头模型” “8字模型”
结论：
当时，
5．多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°．
（一）利用三角形内外角求角度
例1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠A＝80°，则∠ACD＝（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
例2．如下图，求的度数．
例3．如图所示，已知，，，求度数．
过关检测
1．如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3＝4：3：2，则∠ABC的度数为（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
2．如图，下列哪种说法不正确（ ）
A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠A
C．∠B＞∠ACDD．∠HEC＞∠B
3．如图，求的度数．
（二）利用三角形内外角关系设未知数求角度
例1．已知在中，，，则的度数是( )
A． B． C． D．
例2．已知中， ， ，求的各个内角的度数，并判断它是什么三角形．
例3．若三角形的三个外角的比是，则这个三角形的最大内角的度数是 ．
过关检测
1．在中，，求的度数是多少？
2．已知三角形中有，求各角度．
3．在中，三个内角、、满足=，_____度．
（三）利用折叠对应角相等求角度
例1．如图所示，将沿着翻折，若，则 ．
例2．如图1，一张纸片，点D、E分别是边上两点．
研究（1）：如果沿直线折叠，使A点落在上，则与的数量关系是______．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想、和的数量关系是______．
过关检测
1．如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则为多少度？
2．如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在外，若，则的度数为（ ）
A．50° B．98°C．75°D．80°
（四）多边形外角和
例1．一个多边形的内角和与外角和的比是，它的边数是 ．
例2．多边形的内角和与外角和
多边形的内角和是 ；多边形的外角和是 ．
（1）如图： ．
过关检测
1．一个多边形的外角和是它内角和的，求这个多边形的边数．
学习任务
1．图中三角形个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形 D．一个锐角三角形和一个钝角三角形
3．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝4：5：9，那么△ABC按角分类是 三角形．
4．如图所示，为估计池塘两岸、间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点，测得，，那么、之间的距离不可能是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝110°，则∠DAM＝ 度．
6．已知，，是一个三角形的三条边长，则化简的结果是多少？
7．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2为 ．
8．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ ）
A．75°B．105°C．135°D．165°
9．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
10．如图所示为一五角星，则的度数是多少？
家长签字：____________
第10讲 认识三角形（一）（解析版）
目标层级图
课前检测
1．如图，已知，平分，且交于点，，则为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：，
（两直线平行，内错角相等），
平分，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题关键是根据平行得出角度相等即可得出答案．
2．如图，已知，下列结论一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：设与相交于点，如下图所示，
．，
（两直线平行，内错角相等），
（外角的性质），
，
，
故选项不符合题意；
．由题意得无法根据得出与的关系，故选项不符合题意；
．，
（两直线平行，内错角相等），
（外角的性质），
，
故选项符合题意；
．，
（两直线平行，内错角相等），
（外角的性质），
，
，
故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质判断出图中角度之间的关系．
3．如图，直线，平分，于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据，即可得的度数．
【解答】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
则的度数为．
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质、垂线，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
二．填空题（共2小题）
4．如图，如果，则角，，则 ．
【分析】过点作，根据，可得，根据平行线的性质即可求出的度数．
【解答】解：如图，过点作，
，
，
，，
，，
．
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
5．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ．
【分析】根据题意得到，再计算，然后根据进行计算即可．
【解答】解：，
而，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
课中讲解
一. 三角形的基本认识
内容讲解
1．三角形的概念
（1）由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（2）三角形有三条边、三个内角和三个顶点．
（3）“三角形”可以用符号“△”表示，如图顶点是 A，B，C 的三角形，记作“△ ABC”．
△ ABC 的三边：AB、BC、AC，有时也用 ，， 来表示．如图，顶点 A 所对的边 BC 用表示， 边 AC、边 AB 分别用， 来表示．
△ ABC 的三个内角：∠A、∠B、∠C
（1）用“RT△ ABC”表示直角三角形ABC；
（2）直角三角形中直角所对的边称为斜边，夹直角的两边称为直角边；
（3）直角三角形的两个锐角互余
2．三角形的分类
（1）按角分类
（2）按边分类
不等边三角形：三边都不相等的三角形
等腰三角形：①底边和腰不相等的等腰三角形（有两条边相等的三角形）；②等边三角形（正三角形）
例1．下面是小强用三根火柴摆成的图形，其中符合三角形概念的是（ C ）
A. B. C. D.
不在同一直线上三条线段首尾顺次相接
例2．如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（ B ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
有一个角是钝角
例3．图中锐角三角形的个数有（ B ）
A．2 B．3 C．4 D．5
先找出以A为顶点的锐角三角形：△ABC △ADC,再找以点E为顶点的锐角三角形：△EDC
例4．图中三角形共有（C ）
A．3 B．4 C．5 D．6
单个三角形有3个，由两个三角形组成的三角形1个，由三个三角形组成的三角形有1个
例5．下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ A ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）钝角三角形两边相等，可以是等腰三角形，（3）正三角形，（4）等腰直角三角形
过关检测
过关检测
1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，符合三角形概念的是（ D ）
A． B． C． D．
2．等边三角形是（ B ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．图中直角三角形共有（C ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ C ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．下列说法：（1）三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）等边三角形是特殊的等腰三角形；（3）等腰三角形是特殊的等边三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（ B ）
A．1 B．.2 C．3 D．4
（1）按边分类（2）对（3）错（4）对
二. 边的问题
内容讲解
三角形的三边关系：
① 三角形两边之和大于第三边；
② 三角形两边之差小于第三边．
例1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】根据三角形两边之和大于第三边分别进行分析即可．
【解答】解：、，不能组成三角形；
、，不能组成三角形；
、，能组成三角形；
、，不能组成三角形．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
过关检测
1．小明用长度分别为5，，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则可能的值是
A．4B．6C．14D．15
解：由题意得，
解得，
故可能的值是6，
故选：．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
２．已知三角形三边长分别为2，3，，若为奇数，则的值为
A．1B．3C．5D．7
解：三角形三边长分别为2，3，，为奇数，
，则．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确把握三角形三边关系定理是解题关键．
３．已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是、、，则的取值范围是
A．B．C．D．
解：三角形的三边长分别是、、，
，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
４．在中，，，那么的周长的取值范围是 ．
解：中，，，
，
的周长取值范围是，
即，
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
５．已知三角形两边长为2cm和8cm，且周长为奇数，则周长为 17cm或19cm ．
解：设三角形的第三边长为xcm，由题意得：
8﹣2＜x＜8+2，
解得：6＜x＜10，
∵第三边的数值为奇数，
∴x＝7或9，
∴这个三角形的周长为：2+7+8＝17（cm）或2+8+9＝19（cm），
故答案为：17cm或19cm．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三边关系定理，确定出第三边长．
例2．若，，分别是三角形的三边，化简 ．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求得．
【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边得到：，，．
再根据绝对值的意义，得原式．
【点评】注意根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值．
过关检测
１．已知，，是三角形的三边长，化简；若，，，求这个式子的值．
【分析】根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再根据绝对值的性质化简，然后将，，代入即可．
【解答】解：、、是三角形的三边长，
，，，
原式
当，，时，
原式．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
２．若，，是的三边长，化简 ．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定，，，然后去绝对值，化简即可求得．
【解答】解：，，是的三边的长，
，，，
，，，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了三角形三边关系与绝对值的性质．解此题的关键是要注意符号．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，以及绝对值的性质，正确理解定理
３．已知，，为的三边长，且，其中的范围是 ．
【分析】依据非负数的性质，即可得到，，再根据三角形三边关系，即可得到的范围．
【解答】解：，
，
，，
，，
，，为的三边长，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，任意一个数的偶次方都是非负数，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
三．三角形内外角
内容讲解
1．三角形的内角的定义：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．
在同一个三角形内，大边对大角．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于．
2．三角形的外角的定义：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角．
三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非个外角之和)．三角形的外角和等于．
3．三角形内角和定理的三个推论：
推论1： 直角三角形的两个锐角互余．
推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4．两个重要模型：
“箭头模型” “8字模型”
结论：
当时，
5．多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°．
题型一 利用三角形内外角求角度
例1．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠A＝80°，则∠ACD＝（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【分析】根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠B＝50°，∠A＝80°，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+80°＝130°，
故选：B．
例2．如下图，求的度数．
例3．如图所示，已知，，，求度数．
过关检测
1．如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1：∠2：∠3＝4：3：2，则∠ABC的度数为（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
【分析】设∠1、∠2、∠3的度数分别为4x、3x、2x，根据三角形的外角和等于360°列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠1、∠2、∠3的度数分别为4x、3x、2x，
则4x+3x+2x＝360°，
解得，x＝40°，
∴∠2＝3x＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
故选：A．
2．如图，下列哪种说法不正确（ ）
A．∠B+∠ACB＜180°B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠A
C．∠B＞∠ACDD．∠HEC＞∠B
【分析】根据三角形的外角性质、三角形内角和定理判断即可．
【解答】解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠ACB＜180°，本选项说法正确，不符合题意；
B、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，本选项说法正确，不符合题意；
C、∵∠ACD是△ACB的一个外角，
∴∠B＜∠ACD，本选项说法错误，符合题意；
D、∵∠HEC＞∠ACD，∠ACD＞∠B，
∴∠HEC＞∠B，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
3．如图，求的度数．
题型二：利用三角形内外角关系设未知数求角度
例1．已知在中，，，则的度数是( D )
A． B． C． D．
例2．已知中， ， ，求的各个内角的度数，并判断它是什么三角形．
分析：
根据三角形内角和定理列出关于∠A的方程，求出∠A的值即可．
解答：
根据题意有：
∠B=2∠A ①；∠C=3∠B ②
可得∠C=6∠A③
把①和③代入∠A+∠B+∠C=180中，
9∠A=180∘，
解得：∠A=20∘,可得：∠B=40∘,∠C=120∘
因此△ABC是钝角三角形。
例3．若三角形的三个外角的比是，则这个三角形的最大内角的度数是 ．
利用三角形的外角性质列方程计算，再根据三角形内角与外角的关系得到它的最大内角度数．
解答：
设三角形三个外角的度数分别为2x度，3x度，4x度。
根据多边形的外角和是360度,列方程得：2x+3x+4x=360∘，
解得：x=40，
则最小外角为2×40∘=80∘，
则最大内角为：180∘−80∘=100∘.
故填100∘.
过关检测
1．在中，，求的度数是多少？
分析：
利用三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C=180°，由已知得出∠A=∠C+35°，∠B=10°+∠C，可得∠C，解得∠B．
解答：
∠A+∠B+∠C=180∘ ①，
∵∠A−∠C=35∘,∠B−∠C=10∘，
∴∠A=∠C+35∘,∠B=10∘+∠C，
代入①式得∠C=45∘，
故∠B=10∘+∠C=55∘.
答：∠B的度数是55∘.
2．已知三角形中有，求各角度．
30∘ 60∘ 90∘
3．在中，三个内角、、满足=，___60___度．
题型三 利用折叠对应角相等求角度
例1．如图所示，将沿着翻折，若，则 40度 ．
例2．如图1，一张纸片，点D、E分别是边上两点．
研究（1）：如果沿直线折叠，使A点落在上，则与的数量关系是______．
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想、和的数量关系是______．
【分析】研究（1）：翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中为折痕，有，再利用外角的性质可得结论；
研究（2）：图2中与是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论；
【解答】解：（1）与的数量关系是；
（2），
理由：在四边形中，，
，
，，
，
，
△是由沿直线折叠而得，
，
；
过关检测
1．如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则为多少度？
2．如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在外，若，则的度数为（ B ）
A．50°B．98°C．75°D．80°
题型四 多边形外角和
例1．一个多边形的内角和与外角和的比是，它的边数是 ．
【解答】解：一个多边形的内角和与外角和的比是，
这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数是，
则，
解得：，
即边数为10，
故答案为：10．
例2．多边形的内角和与外角和
多边形的内角和是 ；多边形的外角和是 ．
（1）如图： ．
解：多边形的内角和是；多边形的外角和是
（2）如图：
．
故答案为：；．（1）10；（2）．
【点评】考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：且为整数），同时涉及三角形的性质和三角形的外角和等于360度的知识点．
过关检测
1．一个多边形的外角和是它内角和的，求这个多边形的边数．
【分析】设多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为，
由题意得，，
解得，
学习任务
1．图中三角形个数为（ A ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ A ）
A．都是锐角三角形 B．都是直角三角形
C．都是钝角三角形 D．一个锐角三角形和一个钝角三角形
3．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝4：5：9，那么△ABC按角分类是 直角 三角形．
4．如图所示，为估计池塘两岸、间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点，测得，，那么、之间的距离不可能是（ D ）
A．B．C．D．
5．如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN，若∠BAC＝110°，则∠DAM＝ 40 度．
6．已知，，是一个三角形的三条边长，则化简的结果是多少？
解：，，是一个三角形的三条边长，
，，
．
7．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2为 258 ．
8．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（ ）
A．75°B．105°C．135°D．165°
解：∠AOC＝∠DAB﹣∠C＝15°，
∴∠α＝180°﹣15°＝165°，
故选：D．
9．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
解：如图，在四边形ABCD中，且∠1＝∠α，∠2＝∠β，
∵∠A+∠1+∠C+∠2＝360°，
∴∠α+∠β＝360°﹣90°﹣45°＝225°．
故选：B．
10．如图所示为一五角星，则的度数是多少？
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