2024年福建省厦门五缘实验学校中考二模数学试卷

这是一份2024年福建省厦门五缘实验学校中考二模数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣3B．0C．D．2
2．（4分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）据科学研究表明，5G移动通信技术的网络理论下载速度可达每秒1300000KB以上．其中1300000用科学记数法表示为（ ）
A．13×105B．1.3×106C．1.3×105D．1.3×107
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．5x﹣2x＝3
C．x6÷x2＝x4D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
5．（4分）如图，点D，E分别在△ABC边AB，BC上，BD＝AD，BE＝CE，若∠A＝75°，∠BED＝60°，则∠B的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
6．（4分）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ）
A．小车的车流量比公车的车流量稳定
B．小车的车流量的平均数较大
C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值
D．小车与公车车流量的变化趋势相同
7．（4分）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）2022北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为20°，在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了（ ）米．
A．B．C．100sin20°D．100cs20°
9．（4分）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
10．（4分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象过点（1，5），则k的值为 ．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AC的中点．若AB＝8，则DE的长是 ．
13．（4分）一个不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ．
14．（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝8，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE＝ ．
15．（4分）已知非零实数a，b满足，则的值是 ．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0），A（n﹣2，p），B（4，q），C（n，p）都在二次函数的图象上，若﹣3＜q＜p，则n的取值范围是 ．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF＝CE，AB∥DE．求证：∠A＝∠D．
19．（8分）先化简，再求值，其中．
20．（8分）近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着消费者前去体验．某露营地提供了A、B两种型号帐篷供游客租用．已知租用1顶A型帐篷和2顶B型帐篷一天的费用是190元；租用2顶A型帐篷和1顶B型帐篷一天的费用是140元．
（1）求租用每顶A型帐篷和每顶B型帐篷一天的费用；
（2）若某游学机构需要租用该景区A、B两种帐篷共30顶，租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用多少顶A型帐篷？租用帐篷一天的总费用最低为多少元？
21．（8分）如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．
（1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．
22．（10分）某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等级的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a＜60为不合格、60≤a＜80为合格，80≤a＜90为良好，90≤a≤110为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：
（1）随机抽取的这部分学生有 人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；
（2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分﹣90分这一组内；
②众数一定落在80分﹣90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中正确的是 （填序号）．
（3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
23．（10分）【学科实践】学习了苏科版九下92页的第17题后，小张所在的学习小组为了充分利用一块四边形的余料，设计了两种裁剪正方形方案与数据如表：
（1）填空：BN＝ dm，sinB＝ ．
（2）试求：正方形CDEF和正方形DEFG的边长比？
（3）若在方案1中△BEF余料上再截取一个最大正方形，试求出最大正方形的边长．
24．（12分）如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A，B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G．
（1）连接DF，求证：△BDF是等边三角形；
（2）求证：D，F，E三点共线；
（3）当BG＝2EG时，求tan∠AEB的值．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m（m＞0），△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．
（1）求a，b的值；
（2）当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；
（3）当S1：S2＝2：1时，求m的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（4分）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣3B．0C．D．2
【解答】解：∵＞2＞0＞﹣3，
∴所给的四个数中，最大的数是．
故选：C．
2．（4分）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
3．（4分）据科学研究表明，5G移动通信技术的网络理论下载速度可达每秒1300000KB以上．其中1300000用科学记数法表示为（ ）
A．13×105B．1.3×106C．1.3×105D．1.3×107
【解答】解：1300000＝1.3×106．
故选：B．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6B．5x﹣2x＝3
C．x6÷x2＝x4D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，不符合题意；
B、5x﹣2x＝3x，原计算错误，不符合题意；
C、x6÷x2＝x4，正确，符合题意；
D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
5．（4分）如图，点D，E分别在△ABC边AB，BC上，BD＝AD，BE＝CE，若∠A＝75°，∠BED＝60°，则∠B的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．55°
【解答】解：∵BD＝AD，BE＝CE，
∴＝，＝，
∴BD＝BA＝BA，BE＝BC＝BC，
∴＝＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∵∠A＝75°，∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠A＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠BED＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
故选：C．
6．（4分）如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ）
A．小车的车流量比公车的车流量稳定
B．小车的车流量的平均数较大
C．小车与公车车流量在同一时间段达到最小值
D．小车与公车车流量的变化趋势相同
【解答】解：观察小车与公车的车流量图可知，小车的车流量在每个时段都大于公车的车流量，
∴小车的车流量的平均数较大，选项B正确；
而选项A，C，D都与图象不相符合，
故选：B．
7．（4分）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意得：，
故选：B．
8．（4分）2022北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为20°，在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了（ ）米．
A．B．C．100sin20°D．100cs20°
【解答】解：由题意得：AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝20°，AC＝100米，
∴AB＝AC•sin20°＝100sin20°（米），
∴高度大约下降了100sin20°米，
故选：C．
9．（4分）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝105°，
∴∠A＝75°，
∴∠BOD＝2∠A＝150°，
∵∠BOC＝2∠COD，
∴∠BOD＝3∠COD＝150°，
∴∠COD＝50°，
∴∠CBD＝∠COD＝25°，
故选：A．
10．（4分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（，），
∵点D在AB上，且 AD＝AB，
∴D（，b），
∴BD＝a，
∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，
∴ab＝16，
∴k＝ab＝4，
解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，
∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，
则三角形DBO的面积为6，
∵AD＝1/4AB，
∴AD：DB＝1：3，
∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，
即三角形ADO的面积为2，
∴K＝4．
故选：C．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象过点（1，5），则k的值为 5 ．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象过点（1，5），
∴5＝1×k，
解得：k＝5，
∴k的值为5．
故答案为：5．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AC的中点．若AB＝8，则DE的长是 4 ．
【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵AB＝AC＝8，
∴DE＝4．
故答案为：4．
13．（4分）一个不透明的袋子中装有3个小球，分别标有编号1，2，3，这些小球除编号外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ．
【解答】解：由题意可得，
搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为，
故答案为：．
14．（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝8，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE＝ 3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BC＝8，CD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
15．（4分）已知非零实数a，b满足，则的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵非零实数a，b满足，
∴4ab+a＝b，
即a﹣b＝﹣4ab，
∴原式＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0），A（n﹣2，p），B（4，q），C（n，p）都在二次函数的图象上，若﹣3＜q＜p，则n的取值范围是 3＜n＜4或n＞6 ．
【解答】解：由题意，∵抛物线过A（n﹣2，p），C（n，p），
∴对称轴是直线x＝﹣＝m＝＝n﹣1．
∴m＝n﹣1＞0，即n＞1．
又抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又当x＝0时，y＝﹣3，且﹣3＜q＜p，
∴m﹣0＞|m﹣4|＞|n﹣m|．
∴n﹣1＞|n﹣5|＞1．
①1＜n＜5时，n﹣1＞5﹣n＞1，
∴3＜n＜4．
②n≥5时，n﹣1＞n﹣5＞1，
∴n＞6．
综上，3＜n＜4或n＞6．
故答案为：3＜n＜4或n＞6．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：．
【解答】解：原式＝2+2﹣﹣2＝．
18．（8分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，BF＝CE，AB∥DE．求证：∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
19．（8分）先化简，再求值，其中．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝+1时，原式＝＝．
20．（8分）近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着消费者前去体验．某露营地提供了A、B两种型号帐篷供游客租用．已知租用1顶A型帐篷和2顶B型帐篷一天的费用是190元；租用2顶A型帐篷和1顶B型帐篷一天的费用是140元．
（1）求租用每顶A型帐篷和每顶B型帐篷一天的费用；
（2）若某游学机构需要租用该景区A、B两种帐篷共30顶，租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用多少顶A型帐篷？租用帐篷一天的总费用最低为多少元？
【解答】解：（1）设租用每顶A型帐篷一天的费用为x元，租用每顶B型帐篷一天的费用为y元，根据题意得：
，
解得，
答：租用每顶A型帐篷一天的费用为30元，租用每顶B型帐篷一天的费用为80元．
（2）设租用A型帐篷m顶，则租用B型帐篷（30﹣m）顶，
∵租用A型帐篷的数量不超过B型帐篷数量的，
∴m≤（30﹣m），解得m≤10，
设租用帐篷的总费用为w，由题意可得：w＝30m+80×（30﹣m）＝﹣50m+2400，
∵﹣50＜0，
∴w随m的增大而减小，当m＝10时，费用最少，最少费用为﹣50×10+2400＝1900元．
答：应租用10顶A型帐篷费用最少，租用帐篷一天的总费用最低为1900元．
21．（8分）如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点．
（1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，圆心O即为所求；
（2）由（1）知：CA⊥PA，
∴∠CAP＝90°，
∵AC＝4，PA＝3，
∴PC＝＝5，
∵PA＝PB＝3，
∴BC＝PC﹣PB＝2，
∵OC＝AC﹣OA＝4﹣OA＝4﹣OB，
在Rt△OBC中，根据勾股定理，得
OC2＝OB2+BC2，
∴（4﹣OB）2＝OB2+22，
解得OB＝．
∴⊙O的半径为．
22．（10分）某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等级的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a＜60为不合格、60≤a＜80为合格，80≤a＜90为良好，90≤a≤110为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：
（1）随机抽取的这部分学生有 45 人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据；
（2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分﹣90分这一组内；
②众数一定落在80分﹣90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中正确的是 ①③ （填序号）．
（3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
【解答】解：（1）∵（6+8）+35%＝40，
∴40﹣2﹣8﹣9﹣8﹣6＝7，
∵200×＝45，
∴六年级参赛学生中成绩为良好的学生有45人；
∵良好占9÷40＝22.5%，
∴合格占1﹣22.5%﹣35%﹣5%＝37.5%
补全条形图如下：
故答案为：45；
（2）由40个数据，第20个，第21个数据落在80分一90分这一组，故①正确；
众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确；
仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确；
从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确；
∴上述结论中正确的是①③，
故答案为：①③；
（3）x＝10合理．理由如下：
由（1）得：m＝200×35%＝70，样本容量为40，
∴x（70﹣x）＝40×15，
整理得：x2﹣70x+600＝0，
解得：x1＝10，x2＝60，
∵得分60分以下的学生有200×5%＝10，
∴x＝10合理．
23．（10分）【学科实践】学习了苏科版九下92页的第17题后，小张所在的学习小组为了充分利用一块四边形的余料，设计了两种裁剪正方形方案与数据如表：
（1）填空：BN＝ 15 dm，sinB＝ ．
（2）试求：正方形CDEF和正方形DEFG的边长比？
（3）若在方案1中△BEF余料上再截取一个最大正方形，试求出最大正方形的边长．
【解答】解：（1）如图1，过点N作NH⊥BC于点H，
∵∠M＝∠C＝90°，NH⊥BC，
∴四边形MNHC是矩形，
∴CH＝MN＝2dm，CM＝NH＝9dm，∠NHB＝∠NHC＝90°，
∴BH＝BC﹣CH＝14﹣2＝12（dm），
在Rt△BHN中，由勾股定理得：BN＝＝＝15（dm），
∴sinB＝＝＝，csB＝＝＝，
故答案为：15，；
（2）如图2，设DE与NH相交于点A，正方形CDEF的边长为a dm，
则DE＝CD＝CF＝a dm，四边形MNAD、四边形CHAD都为矩形，
∴MN＝AD＝2dm，AH＝CD＝a dm，
∴EA＝DE﹣AD＝（a﹣2）dm，NA＝NH﹣AH＝（9﹣a）dm，
在Rt△BHN中，tanB＝＝＝，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE∥BC，
∴∠NEA＝∠B，
∴tan∠NEA＝＝tanB＝，
∴＝，
解得：a＝6；
如图3，设正方形MNPQ边长为b dm，
则DE＝EF＝b dm，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠BFE＝∠EFG＝90°，DE∥BN，
∴∠B＝∠CED，
在Rt△BFE中，sinB＝＝＝，
∴BE＝b，
在Rt△DCE中，cs∠CED＝＝＝csB＝，
∴CE＝b，
∵CE+BE＝BC＝14，
∴b+b＝14，
解得：b＝，
∴正方形CDEF和正方形DEFG的边长比为＝；
（3）如图4，在△BEF余料上再截取一个正方形FKJL，
由（2）得FK与BF重合，点J在BE上时，截取的正方形最大，
设正方形EKJL的边长为n dm，
则FK＝JK＝n dm，
∵BF＝BC﹣CF＝14﹣6＝8（dm），
∴BK＝BF﹣FK＝（8﹣n）dm，
在Rt△BJK中，tanB＝＝，
∴＝，
解得：n＝，
∴在方案1中△BEF余料上再截取一个最大正方形的边长为dm．
24．（12分）如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A，B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G．
（1）连接DF，求证：△BDF是等边三角形；
（2）求证：D，F，E三点共线；
（3）当BG＝2EG时，求tan∠AEB的值．
【解答】证明：（1）连接DF，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转至△BAF，
∴∠FBD＝∠ABC＝60°，BF＝BD，
∴△BDF是等边三角形，
（2）连接DE，如图，
∵△BDF是等边三角形，
∴∠BDF＝60°，
∵CD平移得到BE，（其中点B和C对应），
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠BDE＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠BDF，
∴点F在DE上，
即D，E，F三点共线，
解：（3）延长AG，CB交于点H，如图，
∵EF∥BC，
∴∠GEF＝∠GBH，∠GFE＝∠GHB，
∴△GEF∽△GBH，
∴．
∵BG＝2EG，
∴BH＝2EF，
∵ED＝BC＝AB，DF＝BD，
∴EF＝AD，
设AB＝a，BD＝b，
∴EF＝AD＝a﹣b，
∴BH＝2a﹣2b．
∵DF∥BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴，
即，
解得a1＝2b，＜b（舍去），
∴AB＝2b，即D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴，
∴，
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABE中，．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m（m＞0），△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．
（1）求a，b的值；
（2）当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；
（3）当S1：S2＝2：1时，求m的值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx+3，
∴﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴b＝2；
（2）连结DC，
∵DE∥AC，
∴△DCE的面积＝△DAE的面积＝S1，
∴，
∴当时，S1+S2 有最大值，最大值为；
（3）设DE交AB于点H，当点D在x轴上方时，过点A、B分别作DE的垂线交ED的延长线于点N、M，如图2，
∵S1：S2＝2：1，
∴AN：BM＝2：1，
∵AN∥BM，
∴△AHN∽△BHM，
∴AH：BH＝AN：BM＝2：1，
∴，
∴点，
由点A、C的坐标得直线AC的表达式为：y＝3x+3，
∵DE∥AC，
∴直线DE的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝3x﹣5，
解得：（不合题意的值已舍去）；
当点D在x轴下方时，同理可得：点H（7，0），
∴直线DE的表达式为：y＝3（x﹣7），
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝3x﹣21，
解得： （不合题意的值已舍去）；
综上，或．方案设计
方案1
方案2
裁剪方案示意图


说明
图中的正方形CDEF和正方形DEFG四个顶点都在原四边形的边上
测量数据
MN＝2dm，CM＝9dm，BC＝14dm，∠C＝∠M＝90°
方案设计
方案1
方案2
裁剪方案示意图


说明
图中的正方形CDEF和正方形DEFG四个顶点都在原四边形的边上
测量数据
MN＝2dm，CM＝9dm，BC＝14dm，∠C＝∠M＝90°