2022年福建省厦门市五缘第二实验中学中考数学二模试卷(含答案)

这是一份2022年福建省厦门市五缘第二实验中学中考数学二模试卷(含答案)，共28页。

2022年福建省厦门市五缘第二实验中学中考数学二模试卷
一．选择题（每题4分，共10题，共40分）
1．（4分）下列实数中，最小的数的是（　　）
A． B．3.14 C．﹣4 D．﹣π
2．（4分）如图是小华将两本字典放置而成的几何体，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是（　　）

A．12米 B．米 C．24米 D．米
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x4＝x6 B．3xy3÷y＝3xy2
C．（3x3）2＝6x6 D．（x+y）2＝x2+y2
5．（4分）学校某社团招新，从学科能力、学习态度和价值认同三个方面对甲、乙、丙、丁四名同学进行考核，按10分制进行打分，测试成绩如左表．若将学科能力、学习态度、价值认同按照3：3：4的比例确定最终得分，则得分最高的是（　　）
应聘者
类别
甲
乙
丙
丁
学科能力
8
9
7
6
学习态度
6
4
8
9
价值认同
7
7
6
6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（4分）某食品厂七月份生产面包52万个，第三季度生产面包共196万个，若x满足的方程是52+52（1+x）+52（1+x）2＝196，则x表示的意义是（　　）
A．该厂七月份的增长率
B．该厂八月份的增长率
C．该厂七、八月份平均每月的增长率
D．该厂八、九月份平均每月的增长率
7．（4分）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（　　）

A．72° B．84° C．82° D．94°
8．（4分）一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过（﹣2，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（　　）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2
9．（4分）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（　　）

A．
B．l1和l2的距离为2
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．若MN与⊙O相切，则
10．（4分）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）若反比例函数y＝的图象过点（2，﹣2），则k的值等于 　 　．
12．（4分）写出一个无理数x，使得2＜x＜3，则x可以是 　 　．
13．（4分）2021年春节前夕，学校向2000名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A类：不放烟花爆竹；B类：少放烟花爆竹；C类：使用电子鞭炮；D类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选），并对100名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示）．根据抽样结果，估计全校“使用电子鞭炮”的学生有 　 　．

14．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S＝7cm2，DE＝2cm，AB＝4cm，则AC的长是 　 　．

15．（4分）平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　 　确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
16．（4分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③△BMG是等边三角形；④P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是　 　．

三．解答题（共8题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF，且AC∥DF，求证：AB∥DE．

19．（8分）解不等式组：
20．（8分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE为菱形；
（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．

21．（8分）某校学生食堂共有座位3600个，某天午餐时，食堂中学生人数y（人）与时间x（分钟）变化的函数关系图象如图中的折线OAB．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）已知该校学生数有6000人，考虑到安全因素，学校决定对剩余2400名同学延时用餐，即等食堂空闲座位不少于2400个时，再通知剩余2400名同学用餐．请结合图象分析，这2400名学生至少要延是多少分钟？

22．（10分）如图，在▱ABCD中，将△ABD绕点A逆时针旋转到△AB′D′的位置，使点B′落在BC上．
（1）在图中求作△AB′D′；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若B′D′交AD于点E，AB＝2BB′＝2，BC＝4，求AE的长．

23．（10分）由于疫情对中小企业造成巨大的冲击，某市计划对该市的中小企业进行财政补贴．相关行业的主管部门为了解该市中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组
﹣0.60≤y＜﹣0.40
﹣0.40≤y＜﹣0.20
﹣0.20≤y＜0
0≤y＜0.20
0.20≤y＜0.40
企业数
12
56
24
6
2
（同一组中的数据用该组数据的组中值为代表）
（1）分别估计该市的中小企业中产值增长率不低于20%的企业的概率以及产值增长率的平均数；
（2）该市有3000家中小企业，通过市场调研，去年该市的中小企业的第一季度平均产值是20万元，若要使一家中小企业保持良好的经营状态，必须保证其第一季度产值不能低于18万元．若要想让该市的所有中小企业保持良好的经营状态，该市应准备多少万元的补贴资金？
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．

25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y＝x与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．


2022年福建省厦门市五缘第二实验中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题4分，共10题，共40分）
1．（4分）下列实数中，最小的数的是（　　）
A． B．3.14 C．﹣4 D．﹣π
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣4＜﹣π＜＜3.14，
∴所给的实数中，最小的数的是﹣4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（4分）如图是小华将两本字典放置而成的几何体，其左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一列两个相邻的矩形，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．（4分）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是（　　）

A．12米 B．米 C．24米 D．米
【分析】根据已知得出AB＝24tan30°，进而求出AB的长即可．
【解答】解：∵太阳光线与地面成30°角，旗杆AB在地面上的影长BC为24米，
∴旗杆AB的高度约是：AB＝24tan30°＝8（m）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x4＝x6 B．3xy3÷y＝3xy2
C．（3x3）2＝6x6 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】根据同类项定义，单项式乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则等逐项判断．
【解答】解：A、x2与x4不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
B、3xy3÷y＝3xy2，故B正确，符合题意；
C、（3x3）2＝9x6，故C误，不符合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
5．（4分）学校某社团招新，从学科能力、学习态度和价值认同三个方面对甲、乙、丙、丁四名同学进行考核，按10分制进行打分，测试成绩如左表．若将学科能力、学习态度、价值认同按照3：3：4的比例确定最终得分，则得分最高的是（　　）
应聘者
类别
甲
乙
丙
丁
学科能力
8
9
7
6
学习态度
6
4
8
9
价值认同
7
7
6
6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据加权平均数的概念分别计算出四人的平均得分，从而得出答案．
【解答】解：∵甲的平均得分为＝7（分），
乙的平均得分为＝6.7（分），
丙的平均得分为＝6.9（分），
丁的平均得分为＝6.9（分），
∴甲得分最高．
故选：A．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
6．（4分）某食品厂七月份生产面包52万个，第三季度生产面包共196万个，若x满足的方程是52+52（1+x）+52（1+x）2＝196，则x表示的意义是（　　）
A．该厂七月份的增长率
B．该厂八月份的增长率
C．该厂七、八月份平均每月的增长率
D．该厂八、九月份平均每月的增长率
【分析】一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据方程结合题意确定x的意义即可．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为52（1+x）、52（1+x）2，
∴52+52（1+x）+52（1+x）2＝196中的x表示的意义是该厂八、九月份平均每月的增长率，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的意义，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
7．（4分）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（　　）

A．72° B．84° C．82° D．94°
【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．
【解答】解：如图，

由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，
则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．
故选：B．
【点评】本题考查多边形内角与外角，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（4分）一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过（﹣2，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（　　）
A．x＞0 B．x＞1 C．x＞﹣1 D．x＞﹣2
【分析】根据平移的性质得出一次函数y＝k（x﹣1）+b过点（﹣1，0），然后根据一次函数的性质即可求得．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣2，0），
∴一次函数y＝kx+b向右平移一个单位过（﹣1，0），即一次函数y＝k（x﹣1）+b图象经过点（﹣1，0），
∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵一次函数y＝k（x﹣1）+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），
∴当x＞﹣1时，y＞0，
∴不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是x＞﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，平移的性质，根据平移的性质求得一次函数y＝k（x﹣1）+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0）是解题的关键．
9．（4分）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（　　）

A．
B．l1和l2的距离为2
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．若MN与⊙O相切，则
【分析】首先过点N作NC⊥AM于点C，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，易求得MN＝＝，l1和l2的距离为2；
若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，易证得CO＝NO，继而可得即O到MN的距离等于半径，可证得MN与⊙O相切；
由题意可求得若MN与⊙O相切，则AM＝或．
【解答】解：如图1，过点N作NC⊥AM于点C，
∵直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，
∴CN＝AB＝2，
∵∠1＝60°，
∴MN＝＝，
故A与B正确；
如图3，
若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
故CO＝NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．
故C正确；
如图2，∵MN是切线，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴∠AMO＝∠1＝30°，
∴AM＝；
∵∠AM′O＝60°，
∴AM′＝，
∴若MN与⊙O相切，则AM＝或；
故D错误．
故选：D．


【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
10．（4分）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
【分析】把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得4a+b＝，根据对称轴x＝﹣，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，所以，解得或a，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m，得到a＝，所以或，即可解答．
【解答】解：把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
16a+4b+3＝4，
∴16a+4b＝1，
∴4a+b＝，
∵对称轴x＝﹣，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，
∴
∴，
∴||≤1，
∴或a，
把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：
4a+2b+3＝m
2（2a+b）+3＝m
2（2a+﹣4a）+3＝m
﹣4a＝m，
a＝，
∴或，
∴m≤3或m≥4．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是根据点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，得到．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）若反比例函数y＝的图象过点（2，﹣2），则k的值等于 　﹣4　．
【分析】把点（2，﹣2）代入反比例函数y＝，即可求出k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象过点（2，﹣2），
∴k＝2×（﹣2）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
12．（4分）写出一个无理数x，使得2＜x＜3，则x可以是 　（答案不唯一）　．
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
13．（4分）2021年春节前夕，学校向2000名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A类：不放烟花爆竹；B类：少放烟花爆竹；C类：使用电子鞭炮；D类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选），并对100名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示）．根据抽样结果，估计全校“使用电子鞭炮”的学生有 　400名　．

【分析】用全校的学生数乘以“使用电子鞭炮”所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：被调查的学生中“使用电子鞭炮”的学生由100﹣（30+35+15）＝20（名），
估计全校“使用电子鞭炮”的学生有：2000×＝400（名）．
故答案为：400名．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
14．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S＝7cm2，DE＝2cm，AB＝4cm，则AC的长是 　3cm　．

【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式可得S＝×4×2+×2×AC＝7，然后解一次方程即可．
【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2cm，
∵S＝7cm2，AB＝4cm，
∴S＝S△ADB+S△ADC＝＝×4×2+×2×AC＝7，
∴AC＝3cm．
故答案为：3cm．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15．（4分）平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　不能　确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
16．（4分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN＝60°；②AM＝1；③△BMG是等边三角形；④P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是　①③④　．

【分析】①首先根据EF垂直平分AB，可得AN＝BN；然后根据折叠的性质，可得AB＝BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN＝60°；
②首先根据∠ABN＝60°，∠ABM＝∠NBM，求出∠ABM＝∠NBM＝30°；然后在Rt△ABM中，根据AB＝2，求出AM的大小即可；
③根据∠ABM＝∠MBN＝30°，∠BNM＝∠BAM＝90°，推得∠MBG＝∠BMG＝∠BGM＝60°，即可推得△BMG是等边三角形；
④点H是BN的中点，根据折叠可知E点和H点关于BM对称可得PH＝PE，因此P与Q重合时，PN+PH＝PN+PE＝EN，据此求出PN+PH的最小值是多少即可．
【解答】解：①如图1，连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，
根据折叠的性质，可得
AB＝BN，
∴AN＝AB＝BN＝2．
∴△ABN为等边三角形．
∴∠ABN＝60°，∠PBN＝60°÷2＝30°，
即结论①正确；

②∵∠ABN＝60°，∠ABM＝∠NBM，
∴∠ABM＝∠NBM＝60°÷2＝30°，
∴AM＝AB•tan30°＝2×＝≠1，
即结论②不正确；

③∵∠ABM＝∠MBN＝30°，∠BNM＝∠BAM＝90°，
∴∠BMG＝∠BNM﹣∠MBN＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MBG＝∠ABG﹣∠ABM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BGM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MBG＝∠BMG＝∠BGM＝60°，
∴△BMG为等边三角形，
即结论③正确．

④∵点H是BN的中点，点E为AB中点，
∴由折叠可知：E点和H点关于BM对称，
∴PH＝PE，
∴P与Q重合时，PN+PH的值最小，此时PN+PH＝PN+PE＝EN，
∵EN＝＝＝，
∴PN+PH＝，
∴PN+PH的最小值是，
即结论④正确；
故答案为：①③④．

【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了折叠的性质和应用，以及余弦定理的应用，要熟练掌握．
三．解答题（共8题，共86分）
17．（8分）计算：．
【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可．
【解答】解：原式＝3﹣（2﹣）﹣2
＝3﹣2+﹣2
＝4﹣4．
【点评】本题主要考查了实数的运算，利用二次根式的性质，绝对值的意义和负整数指数幂的意义化简运算是解题的关键．
18．（8分）如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AC＝DF，且AC∥DF，求证：AB∥DE．

【分析】由BF＝CE可得BC＝EF，由AC∥DF得∠ACB＝∠DFE，继而根据“SAS”即可判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形性质知∠B＝∠E，据此即可判定AB∥DE．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
又∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
19．（8分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
由①得x≤2，
由②得x＞﹣2；
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE为菱形；
（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．

【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，BC＝2DE，由已知条件得出EF＝BC，证出四边形BCFE是平行四边形，再由EF＝BE，即可得出结论；（2）作CM⊥DF于M，由菱形的性质得出EF＝CF，证出△CEF是等边三角形，得出CF＝CE＝8，由三角函数求出CM，即可得出四边形BCFE的面积．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∴EF∥BC，
∵BE＝2DE，
∴BC＝BE，
∵EF＝BE，
∴EF＝BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE为菱形；
（2）解：作CM⊥DF于M，如图所示：
由（1）得：四边形BCFE为菱形，
∴EF＝CF，
∵∠CFE＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴CF＝CE＝8，
∴CM＝CF•sin60°＝8×＝4，
∴四边形BCFE的面积＝EF•CM＝8×4＝32．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△CEF是等边三角形是解决问题（2）的突破口．
21．（8分）某校学生食堂共有座位3600个，某天午餐时，食堂中学生人数y（人）与时间x（分钟）变化的函数关系图象如图中的折线OAB．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）已知该校学生数有6000人，考虑到安全因素，学校决定对剩余2400名同学延时用餐，即等食堂空闲座位不少于2400个时，再通知剩余2400名同学用餐．请结合图象分析，这2400名学生至少要延是多少分钟？

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y与x的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以计算出这2400名学生至少要延时多少分钟．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝kx，
20k＝3600，得k＝180，
即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝180x，
当20＜x≤38时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当20＜x≤38时，y与x的函数关系式为y＝﹣200x+7600，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）∵食堂空闲座位不少于2400个，
∴有人坐的座位不大于3600﹣2400＝1200（个），
当y＝1200时，1200＝﹣200x+7600，解得，x＝32，
答：至少要延时32分钟．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，将△ABD绕点A逆时针旋转到△AB′D′的位置，使点B′落在BC上．
（1）在图中求作△AB′D′；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若B′D′交AD于点E，AB＝2BB′＝2，BC＝4，求AE的长．

【分析】（1）根据旋转的性质即可完成作图；
（2）根据旋转的性质证明△AD′D∽△AB′B，可得＝，然后证明△AEB′和△DED′（AAS），可得AE＝DE，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图，△AB′D′即为所求；

（2）根据旋转可知：
∠D′AB′＝∠DAB，AB＝AB′，
∴∠D′AD+∠DAB′＝∠DAB′+∠BAB′，
∴∠D′AD＝∠B′AB，
∵＝，
∴△AD′D∽△AB′B，
∴＝，
∵AB＝2BB′＝2，AD＝BC＝4，
∴＝＝＝2，
∴D′D＝2B′B＝2，
∴D′D＝AB′＝2，
∵AD∥BC，
∴∠EAB′＝∠AB′B，
∵∠D′AD＝∠B′AB，AB＝AB′，AD＝AD′，
∴∠AB′B＝∠ADD′，
∴∠EAB′＝∠EDD′，
在△AEB′和△DED′中，
，
∴△AEB′≌△DED′（AAS），
∴AE＝DE＝AD＝BC＝2，
答：AE的长为2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解决（1）题的关键是掌握基本作图方法．得到△AD′D∽△AB′B是解（2）题关键．
23．（10分）由于疫情对中小企业造成巨大的冲击，某市计划对该市的中小企业进行财政补贴．相关行业的主管部门为了解该市中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组
﹣0.60≤y＜﹣0.40
﹣0.40≤y＜﹣0.20
﹣0.20≤y＜0
0≤y＜0.20
0.20≤y＜0.40
企业数
12
56
24
6
2
（同一组中的数据用该组数据的组中值为代表）
（1）分别估计该市的中小企业中产值增长率不低于20%的企业的概率以及产值增长率的平均数；
（2）该市有3000家中小企业，通过市场调研，去年该市的中小企业的第一季度平均产值是20万元，若要使一家中小企业保持良好的经营状态，必须保证其第一季度产值不能低于18万元．若要想让该市的所有中小企业保持良好的经营状态，该市应准备多少万元的补贴资金？
【分析】（1）根据这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表，利用样本估计总体即可分别估计该市的中小企业中产值增长率不低于20%的企业的概率以及产值增长率的平均数；
（2）根据题意要想让该市的所有中小企业保持良好的经营状态，利用频数分布表中的数据分别进行计算即可得该市应准备多少万元的补贴资金．
【解答】解：（1）＝，
＝（﹣0.5×12﹣0.3×56﹣0.1×24+0.1×6+0.3×2）＝﹣24%，
答：估计该市的中小企业中产值增长率不低于20%的企业的概率为，产值增长率的平均数为﹣24%；
（2）对于﹣0.60≤y＜﹣0.40，20（1﹣50%）＝10，需补贴18﹣10＝8（万）；
对于﹣0.40≤y＜﹣0.20，20（1﹣30%）＝14，需补贴18﹣14＝4（万）；
对于﹣0.20≤y＜0，20（1﹣10%）＝18，需补贴18﹣18＝0（万）；
对于0≤y＜0.20，需补贴0万；
对于0.20≤y＜0.40，需补贴0万；
所以（12×8+56×4+0×24+0×6+0×2）×3000＝9600（万）．
答：该市应准备9600万元的补贴资金．
【点评】本题考查了概率公式、用样本估计总体、频数分布表、加权平均数，解决本题的关键是综合运用以上统计知识．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．

【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；
（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．
【解答】解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴AD＝C'D，
∵F是AC'的中点，
∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；
（2）结论：BP+DP＝AP，
理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，

∴∠PAP'＝90°，
在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，
∴∠DAP'＝∠BAP，
由（1）可知：∠FDP＝45°，
∵∠DFP＝90°，
∴∠APD＝45°，
∴∠P'＝45°，
∴AP＝AP'，
在△BAP和△DAP'中，
∵，
∴△BAP≌△DAP'（SAS），
∴BP＝DP'，
∴DP+BP＝PP'＝AP；
（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC•C'G，

Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝＝2，即AC为定值，
当C'G最大值，△AC'C的面积最大，
连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，
∵CD＝C'D＝，OD＝AC＝1，
∴C'G＝﹣1，
∴S△AC'C＝AC•C'G＝＝﹣1．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y＝x与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1﹣﹣y0）m2+（2﹣2x0+2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3＝0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2．
∵抛物线过点（4，1），
∴4a＝1，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2＝x2﹣x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：，
∴，，
∴A（1，），B（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图所示）．

∵B（4，1），直线l为y＝﹣1，
∴B′（4，﹣3）．
设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y＝kx+b，得：
，
∴，
∴直线AB′的解析式为：y＝﹣x+．
当y＝﹣1时，有﹣x+＝﹣1，
∴x＝，
∴P（，﹣1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（n+1）2＝（m﹣x0）2+（n﹣y0）2，
∴2n+1＝m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n＝m2﹣m+1，
∴2（m2﹣m+1）+1＝m2﹣2x0m+x02﹣2y0（m2﹣m+1）+y02，
整理得：0＝（1﹣﹣y0）m2+（2﹣2x0+2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．
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