2023年四川省内江市第一中学九年级中考数学一模试题

这是一份2023年四川省内江市第一中学九年级中考数学一模试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2021的绝对值是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
2．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（ ）
A．1.6×10﹣4B．1.6×10﹣5C．1.6×10﹣6D．16×10﹣6
3．（3分）写有“全国文明城市”的正方体展开图如图所示，与“全”字相对的字是（ ）
A．文B．明C．城D．市
4．（3分）为了解我县七年级8000名学生的视力情况，从中抽取了500名学生，对其视力进行了统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．8000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．样本容量是500
D．500名学生是总体的一个样本
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a3•a2＝a6
C．a3÷a3＝0D．（﹣a2）5＝﹣a10
6．（3分）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）函数中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠3B．x≥2C．x≠3D．x＞2且x≠3
8．（3分）若点A（2m，2﹣m）和点B（3+n，n）关于y轴对称，则m、n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣1B．，
C．m＝﹣5，n＝7D．，
9．（3分）如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD＝5：3，则k＝（ ）
A．6B．12C．24D．36
10．（3分）某同学从家骑自行车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与行驶的路程如图所示，如果返程上、下坡速度保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）
A．14分钟B．12分钟C．9分钟D．7分钟
11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，）B．（2n﹣1，）C．（4n+1，）D．（2n+1，）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式2x3y﹣8x2y+8xy＝ ．
14．（5分）在分别写着“线段、钝角、平行四边形、等边三角形”的4张卡纸中，小刚从中任意抽取一张卡纸，抽到的图形是中心对称图形的概率为 ．
15．（5分）关若于x的一元二次方程（m+2）x2+x﹣m2+4＝0有一个根是0，则m＝ ．
16．（5分）已知AD为⊙O的直径，ABCD为平行四边形，BC与⊙O交于点B、E，若AO＝AB＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）计算：．
18．（9分）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AD，CB的延长线上，且EF⊥AB，分别交AB，CD于点G，H，满足EH＝HG＝GF．
（1）证明：△DEH≌△BFG；
（2）若AE＝10，EH＝4，求BG的长
19．（9分）青年大学习由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．学习，是广大青年托举梦想、成就梦想的“奠基石”．某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有1200名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
20．（9分）如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°．然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）i＝1：，斜坡CD＝10m，求树AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积为10，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）若2x﹣y+4z＝0，4x+3y﹣2z＝0．则的值为 ．
23．（6分）如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，点D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在线段AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）．其面积分别记作S1，S2，S3，若S1+S3＝15，则S2＝ ．
24．（6分）如图，反比例函数y＝的图象上有A、B两点，过点B作BD⊥y轴于点D，交
OA于点C．若AC＝2OC，△BOC的面积为2，则k的值为 ．
25．（6分）如图，直线y＝x+4与y轴交于A1，按如图方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，点A1，A2，A3…在直线y＝x+4上，点C1，C2，C3，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3…，Sn，则Sn的值为 （用含n的代数式表示，n为正整数）．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）认真阅读下面的材料，解答有关问题：
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，如果点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可以表示为|a﹣b|．
（1）如果点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为什么？（用含绝对值的式子表示）
（2）利用数轴探究：
①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值；
②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x取不小于﹣1且不大于3的数时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x在 范围内取值时，|x|+|x﹣2|取得最小值，最小值是 ．
27．（12分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）求证：AG2＝AF•AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．
28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2021的绝对值是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．﹣
【解答】解：2021的绝对值即为：|2021|＝2021．
故选：A．
2．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示是（ ）
A．1.6×10﹣4B．1.6×10﹣5C．1.6×10﹣6D．16×10﹣6
【解答】解：0.000016＝1.6×10﹣5；
故选：B．
3．（3分）写有“全国文明城市”的正方体展开图如图所示，与“全”字相对的字是（ ）
A．文B．明C．城D．市
【解答】解：由正方体的展开图特点可得：与“全”字所在的面相对的面上标的字应是“明”．
故选：B．
4．（3分）为了解我县七年级8000名学生的视力情况，从中抽取了500名学生，对其视力进行了统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．8000名学生是总体
B．每个学生是个体
C．样本容量是500
D．500名学生是总体的一个样本
【解答】解：A．8000名学生的视力情况是总体，故本选项不合题意；
B．每个学生的视力情况是个体，故本选项不合题意；
C．样本容量是500，故本选项符合题意；
D．500名学生的视力情况是总体的一个样本，故本选项不合题意；
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a3•a2＝a6
C．a3÷a3＝0D．（﹣a2）5＝﹣a10
【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故该项不正确，不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、a3÷a3＝1，故该项不正确，不符合题意；
D、（﹣a2）5＝﹣a10，故该项正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是，
故选：A．
7．（3分）函数中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠3B．x≥2C．x≠3D．x＞2且x≠3
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣3≠0，
解得x≥2且x≠3．
故选：A．
8．（3分）若点A（2m，2﹣m）和点B（3+n，n）关于y轴对称，则m、n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣1B．，
C．m＝﹣5，n＝7D．，
【解答】解：∵点A（2m，2﹣m）和点B（3+n，n）关于y轴对称，
∴2m+3+n＝0，2﹣m＝n，
解得：m＝﹣5，n＝7，
故选：C．
9．（3分）如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD＝5：3，则k＝（ ）
A．6B．12C．24D．36
【解答】解：由题意，设点D的坐标为（xD，yD），
则点B的坐标为（xD，yD），
矩形OABC的面积＝|xD×yD|＝，
∵图象在第一象限，
∴k＝xD•yD＝12．
故选：B．
10．（3分）某同学从家骑自行车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与行驶的路程如图所示，如果返程上、下坡速度保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ）
A．14分钟B．12分钟C．9分钟D．7分钟
【解答】解：由图象可知，该同学上坡的速度为：（千米/分钟），下坡的速度为：（千米/分钟），
则他从学校回到家需要的时间是：（分钟）．
故选：C．
11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
12．（3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
A．（4n﹣1，）B．（2n﹣1，）C．（4n+1，）D．（2n+1，）
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）分解因式2x3y﹣8x2y+8xy＝ 2xy（x﹣2）2 ．
【解答】解：原式＝2xy（x2﹣4x+4）＝2xy（x﹣2）2，
故答案为：2xy（x﹣2）2
14．（5分）在分别写着“线段、钝角、平行四边形、等边三角形”的4张卡纸中，小刚从中任意抽取一张卡纸，抽到的图形是中心对称图形的概率为 ．
【解答】解：“线段、钝角、平行四边形、等边三角形”的4张卡纸中，
中心对称图形有“线段、平行四边形”2个，
则P（轴对称图形）＝＝．
故答案为：．
15．（5分）关若于x的一元二次方程（m+2）x2+x﹣m2+4＝0有一个根是0，则m＝ 2 ．
【解答】解：把x＝0代入（m+2）x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣2，
因为m+2≠0，
所以m的值为2．
故答案为：2．
16．（5分）已知AD为⊙O的直径，ABCD为平行四边形，BC与⊙O交于点B、E，若AO＝AB＝2，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【解答】解：连接BD，DE，过B作BQ⊥AD于Q，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AO＝OD＝AB＝2，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝30°，
∴∠A＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵A、B、E、D四点共圆，
∴∠DEC＝∠A＝60°＝∠C
∴DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC＝EC＝AB＝2，
∵AB＝2，∠BQA＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABQ＝30°，
∴AQ＝AB＝，
BQ＝＝＝3，
∵AD∥BC，
∴点D到BC的距离是3，
∴阴影部分的面积S＝S△DEC＝2×3＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）计算：．
【解答】解：原式＝2+1﹣2×+﹣1，
＝2+1﹣+﹣1，
＝2．
18．（9分）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AD，CB的延长线上，且EF⊥AB，分别交AB，CD于点G，H，满足EH＝HG＝GF．
（1）证明：△DEH≌△BFG；
（2）若AE＝10，EH＝4，求BG的长
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠E＝∠F，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠EHD＝∠FGB，
在△DEH和△BFG中，，
∴△DEH≌△BFG（ASA）；
（2）解：由（1）得：BG＝DH，
∵AB∥CD，EH＝HG，
∴DH是△AGE的中位线，
∴DH＝AG，
∵AE＝10，EH＝4，
∴EG＝2EH＝8，
∴AG＝＝6，
∴DH＝3，
∴BG＝3．
19．（9分）青年大学习由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．学习，是广大青年托举梦想、成就梦想的“奠基石”．某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如图不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）若该校九年级有1200名学生，请估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有多少名？
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛．请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：24÷30%＝80（人），抽取的学生中良好的人数为：80﹣16﹣24﹣8＝32（人），
将条形统计图补充完整如下：
（2）1200×＝720（名），
即估计九年级学生“青年大学习”学习情况为“优秀”和“良好”的一共有720名；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为＝．
20．（9分）如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°．然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）i＝1：，斜坡CD＝10m，求树AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：∵斜坡CD的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）i＝1：，
∴tan∠DCE＝＝．
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°．
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°．
∴∠DBC＝30°．
∴BC＝＝＝30（m）．
∴AB＝BC•sin60°＝30×＝15≈26（m）．
答：树AB的高度约为26米．
21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积为10，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数图象上，
∴，得m＝6，即，
把B（﹣3，n）代入得，，
∴B（﹣3，﹣2），
把A（2，3）、B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b中得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1，反比例函数的解析式为；
（2）不等式的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．
（3）存在点P使得S△ABP＝10，理由是：
设直线AB与x轴交于点C，
把y＝0代入y＝x+1可得x＝﹣1，即C（﹣1，0），
设点P坐标为（a，0），则PC＝|a﹣（﹣1）|＝|a+1|，
∴，
解得a＝3或a＝﹣5
因此，存在在点P使得S△ABP＝10，
点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．（6分）若2x﹣y+4z＝0，4x+3y﹣2z＝0．则的值为 ．
【解答】解：由题意得：
，
②×2得：8x+6y﹣4z＝0③，
①+③得：10x+5y＝0，
∴y＝﹣2x，
把y＝﹣2x代入①中得：
2x+2x+4z＝0，
z＝﹣x，
∴
＝
＝
＝，
故答案为：．
23．（6分）如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，点D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在线段AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）．其面积分别记作S1，S2，S3，若S1+S3＝15，则S2＝ 6 ．
【解答】解：设DB＝x，
则S1＝x2，S2＝x×2x＝2x2，S3＝2x×2x＝4x2．
由题意得，S1+S3＝15，即x2+4x2＝15，
解得x2＝3，
所以S2＝2x2＝6，
故答案为：6．
24．（6分）如图，反比例函数y＝的图象上有A、B两点，过点B作BD⊥y轴于点D，交
OA于点C．若AC＝2OC，△BOC的面积为2，则k的值为 ﹣ ．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，AE⊥y轴于E，BN⊥x轴于N
设A（m，n），
∵AE∥BD，AC＝2OC，
∴
∴BN＝OD＝，CD＝m，
∴B（3m，n），
∵AC＝2OC，△BOC的面积为2，
∴△AOB的面积为6，
∵S△AOB＝S梯形ABNM+S△AOM﹣S△BON＝S梯形ABNM，
∴（BN+AM）（ON﹣OM）＝6，即×（n+n）（m﹣3m）＝6，
∴mn＝﹣，
∴k﹣1＝﹣，
∴k＝﹣，
解法二：设A（﹣3a，3b）则B（﹣9a，b），C（﹣a，b），
∵S△BOC＝2，
∴×8a×b＝2，
∴ab＝，
∴k﹣1＝﹣9×，
∴k＝﹣．
故答案为﹣．
25．（6分）如图，直线y＝x+4与y轴交于A1，按如图方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，点A1，A2，A3…在直线y＝x+4上，点C1，C2，C3，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S2，S3…，Sn，则Sn的值为 22n+1 （用含n的代数式表示，n为正整数）．
【解答】解：∵直线y＝x+4的k＝1，
∴直线与x轴的夹角为45°，
∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，
当x＝0时，y＝4，
所以，OA1＝4，
即第一个正方形的边长为4，
所以，第二个正方形的边长为4+4＝8，
第三个正方形的边长为8+8＝16，
…，
第n个正方形的边长为2n+1，
∴S1＝×4×4＝，
S2＝×8×8＝，
S3＝×16×16＝，
…，
Sn＝×2n+1×2n+1＝＝22n+1．
故答案为22n+1．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．（12分）认真阅读下面的材料，解答有关问题：
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，如果点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可以表示为|a﹣b|．
（1）如果点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为什么？（用含绝对值的式子表示）
（2）利用数轴探究：
①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值；
②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x取不小于﹣1且不大于3的数时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 4 ；当x在 0≤x≤2 范围内取值时，|x|+|x﹣2|取得最小值，最小值是 2 ．
【解答】解：（1）由题意得：|x+2|+|x﹣1|；
（2）①当x≤﹣1时，方程可化为：3﹣x﹣x﹣1＝6，
解得：x＝﹣2，
当﹣1＜x≤3时，方程可化为：3﹣x+x+1＝6，
无解，
当x＞3时，方程可化为：x﹣3+x+1＝6，
解得：x＝4，
∴x的值为﹣2或4；
②当﹣1≤x≤3时，方程可化为：p＝﹣x+3+x+1＝4，
当0≤x≤2时，|x|+|x﹣2|取得最小值，最小值是2，
故答案为：4，0≤x≤2，2．
27．（12分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）求证：AG2＝AF•AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．
【解答】（1）证明：PA与⊙O相切．
理由：
连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，
∴∠PAC＝∠D，
∴∠PAC+∠CAD＝90°，
即DA⊥PA，
∵点A在圆上，
∴PA与⊙O相切．
（2）证明：如图2，连接BG，
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴
∴∠AGF＝∠ABG，
∵∠GAF＝∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，
∴AG：AB＝AF：AG，
∴AG2＝AF•AB；
（3）解：如图3，连接BD，
∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AG2＝AF•AB，AG＝AC＝2，AB＝4，
∴AF＝＝，
∵CG⊥AD，
∴∠AEF＝∠ABD＝90°，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
即，
解得：AE＝2，
∴EF＝＝1，
∵EG＝＝4，
∴FG＝EG﹣EF＝4﹣1＝3，
∴S△AFG＝FG•AE＝×3×2＝3．
28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知：
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC
∵BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，
∵点A、点B关于对称轴l对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点
∵AP＝BP
∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC＝AC+BC
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC＝；
故△PBC周长的最小值为3+．
（3）①∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）
∵A（﹣3，0）
∴直线AD的解析式为y＝2x+6
∵点E的横坐标为m，
∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）
∴EF＝﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）
＝﹣m2﹣4m﹣3
∴S＝S△DEF+S△AEF
＝EF•GH+EF•AG
＝EF•AH
＝（﹣m2﹣4m﹣3）×2
＝﹣m2﹣4m﹣3；
②S＝﹣m2﹣4m﹣3
＝﹣（m+2）2+1；
∴当m＝﹣2时，S最大，最大值为1
此时点E的坐标为（﹣2，2）．