专题09 几何动态与函数图象问题（3大模型+解题技巧）-2024年中考数学答题技巧（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题09 几何动态与函数图象问题
题型解读｜模型构建｜通关试练
学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力.函数的学习需要学生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型.本专题主要对函数与几何图形结合的相关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型.
几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象.题目难度中等，属于中考热点题型．
模型01 动点问题
动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题.在几何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题.
模型02 线动问题
线动问题的函数图象题，该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.
模型03 函数图象判断
函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．
模型01 动点问题
考｜向｜预｜测
动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是解本题的关键.这类问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想.本题型主要是以选择、填空为主，具有一定的难度，是学生主要的失分题型之一.
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在中，，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）

A．6B．8C．10D．13
【答案】A
【详解】解：由图2知，，
，
，
，，
，，
在中，①，
设点到的距离为，
，
动点从点出发，沿折线方向运动，
当点运动到点时，的面积最大，即，
由图2知，的面积最大为3，
，
②，
①②得，，
，
（负值舍去），
③，
将③代入②得，，
或，
，
，
，
故选：A．
例2．（2023•北京）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
模型02 线动问题
考｜向｜预｜测
线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识.
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：根据图2知，，
当时，，，
∵，
∴，
，
故选：C．
例2．（2023•海南）如图，中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
当点在上时，即时，
∵，，
∴，
当点在上时，即时，
如图所示，连接，
∵，
∴
∴,
综上所述，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，
故选：A．
模型03 函数图象判断
考｜向｜预｜测
函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．
答｜题｜技｜巧
例1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且，
则在直角中，根据勾股定理得到，
当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；
当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分；
当，即点在线段上，点在点时，的面积，此时该三角形面积保持不变；
综上所述，C正确．
故选：C．
例2．（2023•吉林）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E，设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知可知∠EPD=90°，
∴∠BPE+∠DPC=90°，
∵∠DPC+∠PDC=90°，
∴∠CDP=∠BPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CDP，
∴BP：CD＝BE：CP，即ｘ：3＝ｙ：（5-ｘ），
∴ｙ＝（0＜ｘ＜5）；
故选C．
1．（2023•湖北）如图，在中，点为边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为( )．

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当=0时，y=2
∴CD=2，
∵点为边中点，
∴AD=CD=2，CA=2CD=4，
由图象可知，当运动时间x=时，y最小，即CP最小，
根据垂线段最短，
∴此时CP⊥AB，如下图所示，此时点P运动的路程DA＋AP=，

所以此时AP=，
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB=90°，
∴△APC∽△ACB，
∴，
即，
解得：AB=，
在Rt△ABC中，BC=．
故选C．
2．（2023•山东）如图（1），中，，是中线，点从点出发，沿的方向以的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为（ ）

A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为，
过点作于点，

∴，即，
∵是中线，，
∴，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可知，
∴，
故选：D．
3．（2023•广西）如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过点作于点
∵的四条边都相等，
∴．
由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．
，
，
，
当点从点到点时，用时为
，
中，
，
的四条边都相等，
，
中，
，
解得：
故选：C．
4．（2023•江苏）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）

A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点．

∵四边形是正方形，
∴A、C关于对称，
∴，
∴，
∵当M、N、C共线时，的值最小，
∴y的值最小就是的长，
∴，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（负值已舍），
∴正方形的边长为4．
故选：C．
5．（2023•贵州）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片如图1放置（点与点重合），若将绕点在平面内旋转，分别交边于点（点均不与点重合）．设，在旋转过程中，与的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，若点与点重合，则， ，
∴，故选项中的结论不正确，
由可得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项中的结论不正确，选项中的结论正确，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，故选项中的结论不正确，
故选：．
6．（2023•北京）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A．54B．52C．50D．48
【答案】B
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．

故选：B．
7．（2023•上海）如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，
∴∠B=60°，BC=AB=8，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB﹣BD=12．
如图1，当0≤AD≤12时，
AP=x，PQ=AP•tan30°=x，
∴y=x•x=x2；
如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x，
∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x），
∴y=x•（16﹣x）=，
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，
故选D．
8．（2023•广西）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC1，
∴∠BPE=∠C1PE，
∴∠BPE+∠CPD=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CPD+∠PDC=90°，
∴∠BPE=∠PDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△PCD∽△EBP，
∴，
即，
∴y=x（5﹣x）=﹣（x﹣）2+，
∴函数图象为C选项图象．
故选C．
9．（2023•内蒙古）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形的边长是（ ）
A．B．4C．6D．
【答案】A
【详解】如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知，当点P在上运动时，，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4，
∴，即，
∴，
过点O作，垂足为D，
∴，则，
∴，
即等边三角形的边长为．
故选：A．
10．（2023•杭州）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
1．（2024·河南·一模）如图1，在中，，直线l经过点A且垂直于． 现将直线l以的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动，直线l与边交于点M，与边（或）交于点N． 设直线l移动的时间是，的面积为． ，若y关于x的函数图象如图2所示，则 的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过C作于D，如图，
由函数图像知，当直线l与重合时，y的值最大为6，
此时，，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴的周长为，
故选：C．
2．（2024·河南安阳·一模）如图，中，点 从点出发，沿折线匀速运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点 为的中点时，的长为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【详解】解：因为点是从点出发的，为初始点，
观察图象时，则，从向移动的过程中，是不断增加的，
而从向移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为点，运动到点时，即时，，此时，
即，，，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
当点为中点时，，
，
故选：B．
3．（2024·四川广元·二模）如图，在梯形 中，，，， ，点 ，分别为对角线 和边 上的动点，连接 点 在 上以每秒 个单位长度的速度从点 运动到点，在这个过程中始终保持 设的面积为，则与点 的运动时间 的函数关系图象大致可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，
则四边形是矩形，
∵
∴，，
∵，
∴
在中，，
∴
∵点 在 上以每秒 个单位长度的速度从点 运动到点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当时，
观察函数图象，只有D选项符合题意，
故选：D．
4．（2024·河南信阳·一模）如图1，已知的边长为，，于点E．现将沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵为，，于点E．
∴，
∴，
由运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象得：
当运动到6时，重叠部分的面积一直不变，
∴，
∴，
由函数图象得：当运动时间时，为二次函数，且在时达到最大值，对称轴为直线，
∴二次函数与坐标轴的另一个交点为，
设二次函数的解析式为，
将点代入得：，
∴，
当t为9时，．
故选：C．
5．（2023·广西）如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，，，
∴当M在上时，，
，，
∴，
当M在上时，，
，
∴，
故选：B．
6．（2023·辽宁）如图，矩形中，，，与交于点，是的中点．、两点沿着方向分别从点、点同时出发，并都以的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．在、两点运动的过程中，与的面积随时间变化的图象最接近的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：矩形中，，，与交于点，
点到的距离，到的距离，
点是的中点，
，
点到达点的时间为，
点到达点的时间为，
点到达点的时间为，
①时，点、都在上，，
的面积；
②时，点在上，点在上，
，，
，
，
，
，
③时，，
的面积；
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
7．（2024·山东淄博·一模）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，为最低点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由图得，当点运动到点和店处时，长都是5，即，
当最短时，即垂直时长为4，
如图，
在中，
，，
，
，，
，
，
．
故选：C．
8．（2023·山东）如图，在 中，cm，，，过点 向作垂线，垂足为．直线垂直于，直线分别与相交于点，直线分别与相交于点P、Q．直线m从点A出发，沿方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n从点B出发，沿方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及围成的多边形的面积是 ，直线m的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：中，，过点 向作垂线，
∴，
∴，
∴，
同理
∵cm，，
∴，
在中，运用勾股定理得，
∵，∴，
由得：，
当时，，
由，得：，，
∴，
∴
；
当时，
．
∴ ，根据函数解析式判断A选项符合题意，
故选：A．
10．（2024·山东聊城·一模）如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：连接，如图，
∵， ，，
∴，，
∵ ，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点为线段上的动点，由于垂线段最短，
∴当时，取得最小值，即取最小值，
过点作于点，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴当时，取最小值为，
∴函数图象最低点的坐标为，
故答案为：．
11．如图①，在菱形中，，点是的中点，点是对角线上一动点，设的长度为，与的长度之和为，图②是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标为 ．
【答案】
【详解】图像上最低点表示的意义为最小，
∵菱形，
∴关于对称，
∴连接交于，此时最小，最小值为长度，

∵即点P与点C重合时，，
∴，
∵点是的中点，
∴．
连接．
∵菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴，即，
∴图像上最低点Q的坐标为，
故答案为：．
12．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示，则 ．
【答案】
【详解】解：由图2知：当，P和A重合，则，
当，y最小，最小值为n，此时，，
∴，
当时，P和B重合，则，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动，
点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，
，
，
由点P和点Q的运动可知，，
当点Q在上时，即时，，
过点P作交于，
，
，
，
当点Q在上时，即时，
四边形是平行四边形，
，
，
由上可知，当点Q到达点C时，，
即当时，，
故答案为：．
14．（2024·福建福州一模）如图（1），点D为等边三角形的边的延长线上一点，且，点E在线段上运动，点F在的延长线上运动，连接恒为，设的长为x，的长为y，且y与x之间的函数关系的图象如图（2）所示（当点E与点C重合时，不妨设），已知点Q为该图象的最高点，则a的值为 ．
【答案】2
【详解】解：根据函数图象可知：
设函数解析式为，
将代入，得，
所以函数解析式为．
点为该图象的最高点
抛物线与轴的另一个交点为，
，
的长为，
，
，
三角形为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
即
．
故答案为2．
15．（2023·江苏连云港·二模）如图①，动点P从矩形的顶点A出发，以的速度沿折线向终点C运动；同时，一动点Q从点D出发以的速度沿向终点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E为的中点，连接,，记的面积为S，其函数图象为折线和曲线（图②），已知，，点G的坐标为．
(1)点P与点Q的速度之比的值为 ；的值为 ；
(2)如果．
①求线段所在直线的函数表达式；
②求所在曲线的函数表达式；
③是否存在某个时刻t，使得？若存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【详解】（1）∵，，
∴，
由图象可知：时，Q与E重合，时，P与B重合，时，P与C重合，
∴Q的速度，P的速度，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵P从A到B用了5秒，从B到C用了3秒，
∴，，
∴，
∴的值为，
故答案为：，；
（2）①当点P在上时，，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，，
∴；
②∵所在曲线过x轴上两点和，
∴设曲线的函数表达式为，，
把代入，得，，
解得，，
∴；
③存在，理由：
设直线的表达式为，，
把，代入，
得，，
解得，，
∴，
∵，
∴当时，，
解得，，
∴；
当时，，
解得，，
∴；
当时，，
令，
解得，，或，
∴，
综上，或．
第一步：
根据运动判断图象，关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节点；
第二步：
找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；
第三步：
根据选项做出选择；
第一步：
找准变量；
第二步：
抓住图象中点转折点和拐点，几何图中的转折点往往是函数图中的拐点；
第三步：
数据分析，结合几何与函数图形的数据得出相应结论；
第四步：
根据题意解答；
第一步：
一变一不变，图象是直线；
第二步：
两个都变图象是曲线；
第三步：
同增同减口向上；
第四步：
一增一减口向下；