2024年湖北省随州市随县中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2024年湖北省随州市随县中考数学适应性试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−34的绝对值是
( )
A. −34B. 34C. −43D. 43
2.太阳半径约696000千米，则696000千米用科学记数法可表示为( )
A. 0.696×106米B. 6.96×108米C. 0.696×107米D. 6.96×105米
3.下列计算中，结果是a7的是( )
A. a3−a4B. a3⋅a4C. a3+a4D. a3÷a4
4.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5.下列语句所描述的事件是随机事件的是( )
A. 任意画一个四边形，其内角和为180°B. 经过任意两点画一条直线
C. 任意画一个菱形，是中心对称图形D. 过平面内任意三点画一个圆
6.如图，AB/​/CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA.若∠CAE=30°，则∠BAF=( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
7.如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC=40°时，∠A的度数是( )
A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°
8.如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是( )
A. 48B. 56C. 63D. 74
9.如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x=52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是( )
A. 点B坐标为(5,4)B. AB=ADC. a=−16D. OC⋅OD=16
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简( 2−1)0+(12)−2− 9+3−27=______．
12.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)，根据图中数据计算，这个几何体的表面积为______cm2．
13.如图，一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=13，则k的值为______．
14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G，B为圆心，以大于12GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
(1)线段CD与CE的大小关系是______；
(2)过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC=12，BC=5，则tan∠DBF的值为______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
求满足不等式组−2x+6≤8①3x−4解：解不等式①，得______，
解不等式②，得______，
则不等式组的解集为______，
所以不等式组的整数解为______．
17.(本小题6分)
已知x≠y，y=−x+8，求代数式x2x−y+y2y−x的值．
18.(本小题6分)
如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB//DE，AC/​/DF，BE=CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．
19.(本小题8分)
图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70)．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC=AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AB=10，tanB=43，求⊙O的半径．
21.(本小题10分)
某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=−2x+120．
(1)第40天，该厂生产该产品的利润是_____元；
(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
22.(本小题11分)
定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
(1)如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
运用：
(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，求DF的长．
23.(本小题12分)
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为(−1,0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
(3)当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数，属于基础题．
根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
【解答】
解：|−34|=34，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查科学记数法−表示绝对值较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法.根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．
【解答】
解：696000千米=696000000米=6.96×108米，
故选B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
根据同底数幂的乘、除法法则、合并同类项法则计算，判断即可．
本题考查的是同底数幂的乘、除法、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
【解答】
解：A、a3与a4不能合并；
B、a3⋅a4=a7，
C、a3与a4不能合并；
D、a3÷a4=1a；
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件；
B、经过任意点画一条直线是必然事件；
C、任意画一个菱形，是中心对称图形是必然事件；
D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】D
【解析】解：∵EC=EA.∠CAE=30°，
∴∠C=30°，
∴∠AED=30°+30°=60°．
∵AB/​/CD，
∴∠BAF=∠AED=60°．
故选：D．
先根据EC=EA.∠CAE=30°得出∠C=30°，再由三角形外角的性质得出∠AED的度数，利用平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角定理可得到∠A的度数．
【解答】
解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°−40°−40°=100°，
∴∠A=12∠BOC=50°．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m=7，
第一个方格中：3=1×2+1，
第二个方格中：15=3×4+3，
第三个方格中：35=5×6+5，
∴第四个方格中：n=7×8+7=63．
故选：C．
首先根据上面的数值变化规律求出m的值为7，然后根据每隔方格中数的规律求n即可，规律为：每个方格中的上面的数乘以下面左侧的数再加上上面的数得下面右侧的数．
本题主要考查了通过数值的变化总结规律，解题的关键在于通过每个方格上面的数的变化规律求m．
9.【答案】A
【解析】【分析】
根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2时，根据S△APQ=12AQ⋅AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据S△APQ=S正方形ABCD−S△CP′Q′−S△ABQ′−S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
【解答】
解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y=S△APQ=12AQ⋅AP=12x2；
②当2≤x≤4时，
y=S△AP′Q′
=S正方形ABCD−S△CP′Q′−S△ABQ′−S△AP′D，
=2×2−12(4−x)2−12×2×(x−2)−12×2×(x−2)
=−12x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，第一段图象开口向上，第二段开口向下，只有A选项图象符合．
故选：A．
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，
∴A(0,4)，
∵对称轴为直线x=52，AB/​/x轴，
∴B(5,4)．
故A无误；
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
则BE=4，AB=5，
∵AB/​/x轴，
∴∠BAC=∠ACO，
∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
∴∠ACO=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB，
∴BC=AB=5，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC=3，
∴C(8,0)，
∵对称轴为直线x=52，
∴D(−3,0)
∵在Rt△ADO中，OA=4，OD=3，
∴AD=5，
∴AB=AD，
故B无误；
设y=ax2+bx+4=a(x+3)(x−8)，
将A(0,4)代入得：4=a(0+3)(0−8)，
∴a=−16，
故C无误；
∵OC=8，OD=3，
∴OC⋅OD=24，
故D错误．
综上，错误的只有D．
故选：D．
由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC⋅OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由双根式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：原式=1+4−3−3
=−1．
故答案为：−1．
直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根、立方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】16π
【解析】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，
故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π(cm2).
故答案为：16π．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
13.【答案】3
【解析】解：设点A的坐标为(3a,a)，
∵一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A、B两点，
∴a=3a−2，得a=1，
∴1=k3，得k=3，
故答案为：3．
根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A、B两点，可以求得a的值，进而求得k的值，本题得以解决．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】CD=CE 152
【解析】解：(1)由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1=∠2=∠3，
∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°，
∴∠CEB=∠CDE，
∴CD=CE，
(2)在△DBC和△DBF中，
∠2=∠1∠BCD=∠BFDBD=BD，
∴△BDC≌△BDF(AAS)，
∴CD=DF，BC=BF=5，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= AC2+BC2= 122+52=13，
设EC=CD=DF=x，
在Rt△ADF中，则有(12+x)2=x2+182，
∴x=152，
∴CE=152，
故答案为：152．
首先证明CE=CD=DF，BC=BF=5，利用勾股定理求出AB，设CE=CD=DF=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】 32
【解析】【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=12AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据勾股定理求出AN，计算即可．
【解答】
解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME=EB，又AD=DB，
∴DE=12AM，DE/​/AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴CN=12AC=12，AN= AC2−CN2= 12−122= 32，
∴AM= 3，
∴DE= 32，
故答案为 32．
16.【答案】x≥−1 x<2 −1≤x<2 −1，0，1
【解析】解：解不等式①，得x≥−1，
解不等式②，得x<2，
则不等式组的解集为−1≤x<2，
所以不等式组的整数解为−1，0，1．
故答案为：x≥−1，x<2，−1≤x<2，−1，0，1．
首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17.【答案】解：∵x≠y，y=−x+8，
∴x+y=8，
原式=x2x−y−y2x−y=x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y=8．
【解析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：∵AB//DE，AC/​/DF，
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠DEFBC=EF∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AB=DE．
又∵AB//DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
【解析】证出△ABC≌△DEF(ASA)，得出AB=DE，再结合AB//DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．
本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的性质证出AB=DE是解题的关键．
19.【答案】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB=25cm，DE=50cm，
∴sin37°=GBAB，cs37°=GAAB，
∴GB≈25×0.60=15cm，GA≈25×0.80=20cm，
∴BF=50−15=35cm，
∵∠ABC=72°，∠D′AB=37°，
∴∠GBA=53°，∠CBF=55°，
∴∠BCF=35°，
∵tan35°=BFCF，
∴CF≈350.70=50cm，
∴FE=50+130=180cm，
∴GD=FE=180cm，
∴AD=180−20=160cm，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
20.【答案】解：(1)如图，连接OD，

∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，
在△ACO和△ADO中，
AO=AOAC=ADOC=OD，
∴△ACO≌△ADO(SSS)，
∴∠ADO=∠ACO=90°，
∴OD⊥AB，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)∵tanB=43=ACBC，
∴设AC=4x，BC=3x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴16x2+9x2=100，
∴x=2，
∴BC=6，
∵AC=AD=8，AB=10，
∴BD=2，
∵OB2=OD2+BD2，
∴(6−OC)2=OC2+4，
∴OC=83，
故⊙O的半径为83．
【解析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；
(2)由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解．
本题是考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
21.【答案】(1)1600.
(2)解①设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，把(0,70)，(30,40)代入得
b=7030k+b=40，解得b=70k=−1
∴直线AB的解析式为y=−x+70
(Ⅰ)当0w=[80−(−x+70)](−2x+120)
=−2x2+100x+1200
=−2(x−25)2+2450
∴当x=25时，w最大值=2450
(Ⅱ)当30w=(80−40)×(−2x+120)=−80x+4800，
∵w随x的增大而减小，
∴当x=31时，w最大值=2320，
∴w=−2x2+100x+1200,(0第25天的利润最大，最大利润为2450元．
②(Ⅰ)当0解得x1=20，x2=30．
∵抛物线w=−2(x−25)2+2450开口向下，
由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400
此时，当天利润不低于2400元的天数为：30−20+1=11天
(Ⅱ)当30由①可知当天利润均低于2400元，
综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
(1)由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z=−2×40+120=40，则可求得第40天的利润．
(2)利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】
解：(1)由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z=−2×40+120=40，
则第40天的利润为：(80−40)×40=1600元，
故答案为1600．
(2)见答案．
22.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AD=CD，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；
(2)AD平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，
则∠AEB=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
又∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADF，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；
(3)如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
又∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD=12∠EAD，
由(2)知，AC平分∠BCD，
∴∠FCA=12∠BCD，
∴∠FCA=∠FAD，
又∠AFC=∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴AFDF=CFAF，
即5DF=DF+105，
∴DF=5 2−5．
【解析】(1)由圆内接四边形互补可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再证AD=CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；
(2)过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根据角平分线的判定可得出结论；
(3)连接AC，先证∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长．
本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．
23.【答案】解：(1)二次函数表达式为：y=a(x−1)2+4，
将点B的坐标代入上式得：0=4a+4，解得：a=−1，
故函数表达式为：y=−x2+2x+3…①；
(2)设点M的坐标为(x,−x2+2x+3)，则点N(2−x,−x2+2x+3)，
则MN=x−2+x=2x−2，GM=−x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2x−2)+2(−x2+2x+3)=−2x2+8x+2，
∵−2<0，故当x=−b2a=2，C有最大值，最大值为10，
此时x=2，点N(0,3)与点D重合；
(3)△PNC的面积是矩形MNHG面积的916，
则S△PNC=916×MN×GM=916×2×3=278，
连接DC，在CD的上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH=GH，
过点P作PK⊥CD于点K，
将C(3,0)、D(0,3)坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y=−x+3，
OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=45°=∠PHK，CD=3 2，
设点P(x,−x2+2x+3)，则点H(x,−x+3)，
S△PNC=278=12×PK×CD=12×PH×sin45°×3 2，
解得：PH=94=HG，
则PH=−x2+2x+3+x−3=94，
解得：x=32，
故点P(32,154)，
直线n的表达式为：y=−x+3−94=−x+34…②，
联立①②并解得：x=3±3 22，
即点P′、P″的横坐标分别为3+3 22或3−3 22；
故点P的横坐标为：32或3+3 22或3−3 22．
【解析】(1)二次函数表达式为：y=a(x−1)2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
(2)矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2x−2)+2(−x2+2x+3)=−2x2+8x+2，即可求解；
(3)S△PNC=278=12×PK×CD=12×PH×sin45°×3 2，解得：PH=94=HG，即可求解．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．