2024年山东省德州市平原县、宁津县中考数学一练试卷（含解析）

这是一份2024年山东省德州市平原县、宁津县中考数学一练试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，负数的是( )
A. |−2023|B. +(−2024)C. 2024D. −(−2024)
2.窗棂即窗格(窗里面的横的或竖的格)是中国传统木构建筑的框架结构设计．如图表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000s处理器，这款处理器是华为采用5nm制程技术的手机芯片，1nm=0.000000001m，其中0.000000005m用科学记数法表示为( )
A. 5×109mB. 0.5×10−10mC. 5×10−8mD. 5×10−9m
4.右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
5.蒲江丑柑又名“不知火”，具有多肉易剥皮、好吃不上火的优势.某超市水果销售部为了提高营业员的积极性(使一半左右营业员的月销售额都能达标)，实行“每天定额售量，超出有奖”的措施.如果你是管理者，你选择确定“定额”的统计量为( )
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
6.下列计算正确的是( )
A. (a−b)2=a2+b2B. a3+3a3=4a6
C. x2y÷1y=x2(y≠0)D. (−3x2)2=9x4
7.已知关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是 2+1、 2−1，则( )
A. b=2 2,c=1B. b=2 2，c=−1
C. b=−2 2，c=−1D. b=−2 2,c=1
8.如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，D是⊙O上一点，连接BD、CD.若∠BDC=60°，AB=5，则⊙O的半径长为( )
A. 5 5
B. 5 33
C. 5
D. 52
9.新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能.小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是( )
A. 600kmB. 500kmC. 450kmD. 400km
10.如图，OB交双曲线y=kx于点A，且OB：OA=5：3，AC/​/x轴，BC//y轴，若△ABC的面积是8，则k的值是( )
A. 18
B. 36
C. 12
D. 2009
11.活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为 3，满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形)，则满足已知条件的三角形的第三边长为( )
A. 2 3B. 2 3−3C. 2 3或 3D. 2 3或2 3−3
12.若函数图象上存在点P(a,b)满足a+b=m(a>0，且m为常数)，则称点P为这个函数的“m优和点”.例如：函数图象上存在点P(t,1−t)，因为t+1−t=1，所以我们称点P为这个函数的“1优和点”.若二次函数y=x2+(k−3)x+5的“k优和点”有且仅有一个，则k的取值范围为( )
A. k=±4B. k=−4或k>3C. k=−4或k>5D. k=±4或k>5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.当x=1时，二次根式 10−x的值为______．
14.小明和小强都想报名参加学校周五下午的拓展课，小明想选择书法、篮球与合唱中的一门课，小强想选择篮球和围棋中的一门课，则两人同时选择篮球课的概率是______．
15.将△ABC按如图所示翻折，DE为折痕，若∠A+∠B=130°，则∠1+∠2= ______°.
16.如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC=12，则AB的长为______．
17.在平面直角坐标系中，M(−2,1)，N(3,4)，点P(a,0)是x轴上的动点.当PM+PN取得最小值时，a= ______．
18.如图，将抛物线y=2(x+1)2+1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线y=x交于点M，则点M的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)化简：(x2+4x−4)÷x2−4x2+2x；
(2)解不等式组：3x<5x+6x+16≥x−12．
20.(本小题10分)
为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔.报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分(满分100分)，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图(每组含最小值，不含最大值)如图．
(1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
21.(本小题10分)
如图，CD是湖心岛一座东西走向的仿古建筑，某中学的一个兴趣小组刚好来到笔直的南北走向的湖岸步行道，他们在A处测仿古建筑的一端C在北偏东30°方向上，继续行驶50米后到达B处，测得桥头D在北偏东45°方向上.已知仿古建筑CD长30米，求仿古建筑一端C到湖岸l的距离.(结果保留根号)
22.(本小题12分)
为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定.某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收a100元的附加费用.据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
(1)求出该市规定标准用水量a的值；
(2)写出交费总数y(元)与用水量x(吨)的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
23.(本小题12分)
陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图(1)所示的以AB为直径的半圆O，MN为台面截线，半圆O与MN相切于点P，连结OP与CD相交于点E.水面截线CD=6 3cm，MN/​/CD，AB=12cm．
(1)如图(1)求水深EP；
(2)将图(1)中的老碗先沿台面MN向左作无滑动的滚动到如图(2)的位置，使得A、C重合，求此时最高点B和最低点P之间的距离BP的长；
(3)将碗从(2)中的位置开始向右边滚动到图(3)所示时停止，若此时∠BOP=75°，求滚动过程中圆心O运动的路径长．
24.(本小题12分)
已知抛物线C1：y=ax2+2ax+a−23．
(1)写出抛物线C1的对称轴：______．
(2)将抛物线C1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，且抛物线C2经过点A(−2,−2)和点B(点B在点A的左侧)，若△ABO的面积为4，求点B的坐标．
(3)在(2)的条件下，直线l1：y=kx−2与抛物线C2交于点M，N，分别过点M，N的两条直线l2，l3交于点P，且l2，l3与y轴不平行，当直线l2，l3与抛物线C2均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上．
25.(本小题14分)
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P.则称△ABC为“中垂三角形”.设BC=a，AC=b，AB=c．

(1)①如图1，当∠ABE=45°，c=4 2时，PF= ______，BF= ______；
②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值．
(2)请猜想a2，b2和c2三者之间的数量关系，并结合图3写出证明过程．
(3)如图4，在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，求MG2+MH2的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.|−2023|=2023>0，则A不符合题意；
B.+(−2024)=−2024，则B符合题意；
C.2024是正数，则C不符合题意；
D.−(−2024)=2024是正数，则D不符合题意；
故选：B．
小于0的数即为负数，据此即可求得答案．
本题考查负数的识别及绝对值、相反数的化简，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】解：0.000000005m=5×10−9m，
故选：D．
绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0)．
4.【答案】C
【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
．
故选：C．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5.【答案】D
【解析】解：为了提高营业员的积极性，使一半左右营业员的月销售额都能达标，选择确定“定额”的统计量为中位数，
故选：D．
根据中位数的概念解答即可．
本题考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
6.【答案】D
【解析】解：A、原式=a2−2ab+b2，错误；
B、原式=4a3，错误；
C、原式=x2y⋅y=x2y2，错误；
D、原式=9x4，正确．
故选：D．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了分式的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：解法一：设x1，x2为方程x2+bx+c=0的两根，
∵关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是 2+1、 2−1，
∴−b=x1+x2= 2+1+ 2−1=2 2，c=x1x2=( 2+1)( 2−1)=1，
即b=−2 2，c=1．
解法二：∵关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是 2+1、 2−1，
∴( 2+1)2+( 2+1)b+c=0( 2−1)2+( 2−1)b+c=0，解得b=−2 2c=1．
解法三：∵关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是 2+1、 2−1，
∴该方程可为(x− 2−1)(x− 2+1)=0，
整理得：x2−2 2x+1=0，
∴b=−2 2，c=1．
故选：D．
解法一：直接利用根于系数的关系即可求解．
解法二：将两根分别代入方程中，得到关于b，c的二元一次方程组，求解即可．
解法三：根据题意可设该方程为(x− 2−1)(x− 2+1)=0，化简即可得到答案．
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
8.【答案】B
【解析】解：连接OC，OB，OA，
∵∠BDC=60°，
∴∠BOC=2∠BDC=120°，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
∴∠BAC=60°，
∴∠OAB=12∠BAC=30°，
∵AB=5，
∴OB=AB⋅tan30°=5× 33=5 33，
故选：B．
连接OC，OB，OA，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BDC=120°，根据切线的性质得到∠ACO=∠ABO=90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：设两台汽车的续航里程是x千米，
由题意可得，40×9x=60×0.6x+0.54，
解得：x=600，
故选：A．
设两台汽车的续航里程是x千米，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元列等式求解即可得到答案．
本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解．
10.【答案】B
【解析】解：作AD⊥x轴，垂足为D，
∵OB：OA=5：3，
∴ABAO=23，
∴∠ADO=∠BCA=90°，∠AOD=∠BAC，
∴△AOD∽△BAC，
∴S△ABCS△AOD=(ABOA)2=49，
∴S△AOD=94S△ABC=94×8=18，
∴k=2S△AOD=2×18=36．
故选：B．
作AD⊥x轴，垂足为D，易得△AOD∽△BAC，利用面积比是相似比的平方求出S△AOD=94S△ABC=94×8=18，继而求出k值即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握相似三角形性质是解答本题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：如图，CD=CB，作CH⊥AB于H，
∴DH=BH，
∵∠A=30°，
∴CH=12AC=32，AH= AC2−CH2= 9−94=3 32，
在Rt△CBH中，由勾股定理得BH= BC2−CH2= 3−94= 32，
∴AB=AH+BH=3 32+ 32=2 3，AD=AH−DH=3 32− 32= 3，
故选：C．
根据题意知，CD=CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH，AH的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出BH的长是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：设这个二次函数的“k优和点”P坐标为(a,k−a)，将点P坐标代入可得：
a2+(k−3)a+5=k−a；
整理得：(a−1)2+k(a−1)+4=0，(a−1>−1)；
∵二次函数y=x2+(k−3)x+5的“k优和点”有且仅有一个，
∴关于(a−1)的二次方程：(a−1)2+k(a−1)+4=0(a−1>−1)，要有唯一解，
∴Δ=(k−2)2−4(5−k)=0，且−k2>−1，解得：k=±4，切k<2，
∴k=−4；
由(a−1)2+k(a−1)+4=0，(显然a=1时，等式不成立)，可得k(a−1)=−[(a−1)2+4]，即k=−[(a−1)+4(a−1)]>5(a−1>−1)，
∴k>5；
综上，k的取值范围为k=−4或k>5．
故选：C．
设这个二次函数的“k优和点”P坐标为(a,k−a)，将点P坐标代入二次函数，根据题意联立关于a的二次方程，再求值即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“k优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
13.【答案】3
【解析】解：当x=1时，原式= 10−x= 10−1= 9=3，
故答案为：3．
把x=1代入原式化简即可．
本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．
14.【答案】16
【解析】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两人同时选择篮球课的结果有1种，
∴两人同时选择篮球课的概率为16．
故答案为：16．
列表可得出所有等可能的结果数以及两人同时选择篮球课的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15.【答案】100
【解析】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C=180°，
∴∠A+∠B=∠CDE+∠CED，
∵∠A+∠B=130°，
∴∠CDE+∠CED=130°，
∴∠BED+∠ADE=360°−130°=230°，
由折叠的性质得，∠BED=∠B′ED，∠ADE=∠A′DE，
∴∠B′ED+∠A′DE=230°，
即∠1+∠CDE+∠2+∠CED=230°，
∴∠1+∠2=230°−130°=100°，
故答案为：100．
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=∠CDE+∠CED=180°−∠C，再根据邻补角的性质得出∠BED+∠ADE的度数，由折叠的性质得到∠BED=∠B′ED，∠ADE=∠A′DE，从而求出∠1+∠2的度数．
本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，补角的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
16.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE和△ECF中，
∠B=∠C∠BAE=∠FECAE=EF，
∴△ABE≌△ECF(AAS)，
∴AB=CE，BE=CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF=12CD，
∴BE=CF=12AB，
∵BE+CE=BC=12，
∴12AB+AB=12，
∴AB=8，
故答案为：8．
利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF(AAS)，得出：AB=CE，BE=CF，由点F是CD的中点，可得BE=CF=12CD=12AB，再由BC=12，可得12AB+AB=12，即可求得答案．
本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
17.【答案】−1
【解析】解：取M(−2,1)关于x轴的对称点M′(−2,−1)，连接M′N交x轴于点P，此时PM+PN取得最小值，如图，
设直线M′N的解析式为：y=kx+b，
将M′(−2,−1)，N(3,4)代入，
得−2k+b=−13k+b=4，
解得k=1b=1，
∴直线M′N的解析式为：y=x+1，
当y=0时，0=x+1，
解得x=−1，
∴a=−1．
故答案为：−1．
确定点M关于x轴的对称点M′的坐标，利用待定系数法求出直线M′N的解析式，利用解析式即可求出当PM+PN取得最小值时a的值．
本题考查轴对称−最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法，将军饮马模型是解题的关键．
18.【答案】(3 22,3 22)
【解析】解：直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0，
设抛物线y=2(x+1)2+1与y轴的交点为M′，
∵抛物线y=2(x+1)2+1，
∴x=0时，y=3，
∴M′(0,3)，
设点M(m,m)，
由题意得：OM=OM′=3，
∴m2+m2=32，
∴m=3 22，
∴点M的坐标为(3 22,3 22).
故答案为：(3 22,3 22).
直线y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0，求得抛物线与y轴的交点M′，M′绕原点O顺时针旋转45°得到M，由OM=OM′，即可求解．
本题考查的是二次函数图象与几何变换，旋转的选择、勾股定理的应用，利用逆向思维，确定对应点M、M′的关系，是本题的突破点．
19.【答案】解：(1)(x2+4x−4)÷x2−4x2+2x
=x2+4−4xx⋅x2+2xx2−4
=(x−2)2x⋅x(x+2)(x+2)(x−2)
=x−2；
(2)3x<5x+6①x+16≥x−12②，
解不等式①，得x>−3，
解不等式②，得x≤2，
所以不等式组的解集是−3【解析】(1)根据分式的混合运算法则计算即可；
(2)分别解不等式①、②，找其公共部分即可．
本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则及步骤是解题的关键．
20.【答案】解：(1)69；69；70；
(2)86×4+84×4+70×24+4+2=82(分)，
答：小涵的总评成绩为82分；
(3)不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
【解析】解：(1)七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74，
所以这组数据的中位数是69(分)，众数是69(分)，平均数是67+68+69+69+71+72+747=70(分)；
故答案为：69；69；70；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
(2)根据加权平均数公式计算即可；
(3)根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
本题考查了频数(率)分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．
21.【答案】解：如图．延长DC交直线l于H，

设CH=x米，根据题意得，∠DHA=90°，
在Rt△AHC中，∠A=30°,tan30°=CHAH，
∴AH= 3x米，
∵AB=50米，
∴HB=( 3x−50)米，
在Rt△BHD中，∠HBD=45°，
∴HB=HD，
∵HD=(x+30)米，
∴ 3x−50=x+30，
解得x=40( 3+1)米，
答：桥头C到公路l的距离为40( 3+1)米．
【解析】延长DC交直线l于H，设CH=x米，根据题意得，∠DHA=90°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用，掌握方向角是关键．
22.【答案】解：(1)∵95×1.6=152，140×1.6=224<264，
∴1.6a+(140−a)×(1.6+a100)=264，
解得a1=100，a2=40(舍去)，
答：该市规定标准用水量a的值为100；
(2)由(1)可得，
当0≤x≤100时，y=1.6a，
当x>100时，y=100×1.6+(x−100)×(1.6+100100)=2.6x−100，
即交费总数y(元)与用水量x(吨)的函数关系式是y=1.6x(0≤x≤100)2.6x−100(x>100)；
当x=150时，y=2.6×150−100=290，
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据，可以判断出a的取值范围，然后即可列出关于a的方程，从而可以求得a的值；
(2)根据题意和(1)中的结果，可以写出交费总数y(元)与用水量x(吨)的函数关系式，然后将x=150代入相应的函数关系式，即可得到当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元．
本题考查一元二次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
23.【答案】解：(1)连接OC，

∵半圆O与MN相切于点P，
∴OP⊥CD，
∵CD=6 3cm，
∴CE=12CD=3 3cm，
在Rt△OCE中，由勾股定理，可得OE= 62−(3 3)2=3cm，
∴EP=OP−OE=6−3=3cm；
(2)过B点作AD的平行线，与PO的延长线相交于点F．

∵AD/​/BF，
∴∠OAE=∠OBF，
在△AOE和△BOF中，
∠OAE=∠OBFOA=OB∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴OE=OF，
由(1)可得OE=3cm，CE=3 3cm，
∴OE=OF=3cm，CE=AE=BF=3 3cm．
由勾股定理可得，BP= 92+(3 3)2=6 3cm；
(3)由(1)可知OE=3cm，OC=6cm，

在Rt△COE中，∠COE=60°，
∵∠BOP=75°，
∴∠AOC=45°，
由题意可得圆心O运动的路径长为AC的长度，
∴lAC=45180π×6=32π(cm)．
【解析】(1)连接OC，由切线的性质及垂径定理得出CE的长，由勾股定理求出OE的长，则可得出答案；
(2)过B点作AD的平行线，与PO的延长线相交于点F.证明△AOE≌△BOF(ASA)，得出OE=OF，由勾股定理得出答案；
(3)由弧长公式可得出答案．
本题考查了切线的性质，垂径定理，弧长公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】x=−1
【解析】解：(1)抛物线C1的对称轴为：x=−2a2a=−1．
故答案为：x=−1．
故答案为：x=−1．
(2)∵抛物线C1平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，
∴可设抛物线C2的解析式为：y=ax2
∵点A(−2,−2)有抛物线C2上，
∴−2=a⋅(−2)2，
解得：a=−12．
∴抛物线C2的解析式为：y=−12x2．
∵点B在抛物线C2上，且在点A的左侧，
∴设点B的坐标为(t,−12t2)且(t<−2)，
如图，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为点M、N．
∵S△ABO=S△OBN−S△OAM−S梯形ABNM
=12×(−t)×(12t2)−12×2×2−12×(2+12t2)×(−2−t)
=−14t3−2+2+t+12t2+14t3
=12t2+t，
又S△ABO=4，
∴12t2+t=4，
解得：t+1=±3，
∴t=−4(t=2不合题意，舍去)，则−12t2=−12×(−4)2=−8，
∴B(−4,−8)．
(3)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程组：
y=−12x2y=kx−2，
整理得：x2+2kx−4=0，
∴x1+x2=−2k，x1x2=−4．
设过点M的直线解析式为y=mx+n，联立得方程组y=−12x2y=mx+n，
整理得x2+2mx+2n=0.①
∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点，
∴Δ=4m2−8n=0，
∴n=12m2．
∴由①式可得：x12+2mx1+2×12m2=0，
解得：m=−x1．
∴n=12x12．
∴过M点的直线l2的解析式为y=−x1x+12x12．
用以上同样的方法可以求得：过N点的直线l3的解析式为y=−x2x+12x22，
联立上两式可得方程组y=−x1x+12x12y=−x2x+12x22，
解得x=x1+x22y=−12x1x2，
∵x1+x2=−k，x1x2=−4．
∴P(−k2,2)
∴点P在定直线y=2上．(如图)
(1)根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．
(2)根据抛物线C2的顶点坐标在原点上可设其解析式为y=ax2，然后将点A的坐标代入求得C2的解析式，于是可设B的坐标为(t,−12t2)且(t<−2)，过点A、B分别作x轴的垂线，利用S△ABO=S△OBN−S△OAM−S梯形ABNM=4可求得t的值，于是可求得点B的坐标．
(3)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立抛物线与直线l1的方程可得出x1+x2=−k，x1x2=−4．
再利用直线l2、直线l3分别与抛物线相切可求得直线l2、直线l3的解析式，再联立组成方程组可求得交点P的纵坐标为一定值，于是可说明点P在一条定直线上．
本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．
25.【答案】2 2 5
【解析】解：(1)①如图1，连接EF，则EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AB=2 2，
∵∠ABE=45°，AF⊥BE，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF//AB，
∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=4，EP=FP=2，
∴AE=BF= 22+42=2 5，
故答案为：2，2 5；
②如图2，连接EF，则EF是△ABC的中位线．
∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，
∴AP=2，BP= 3AP=2 3，
∵EF//AB，EF=12AB=2，
∴PF=12EF=1，PE= 3PF= 3，
∴AE= AP2+PE2= 7，BF= BP2+PF2= 13，
∴BC=a=2BF=2 13，b=AC=2AE=2 7；
(2)a2+b2=5c2，理由如下：
如图3，连接EF，
设AP=m，BP=n，
则c2=AB2=m2+n2，
∵EF//AB，EF=AB，
∴PE=12BP=12n，PF=12AP=12m，
∴AE2=AP2+PE2=m2+14n2，BF2=PF2+BP2=14m2+n2，
∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2，a2=BC2=4BF2=4n2+m2，
∴a2+b2=5(m2+n2)=5c2．
(3)连接EF，
∵E，F分别为线段AO，DO的中点，
∴AE=OE=13EC，EF=12BC=12AD，EF/​/BC/​/AD，
∴BE=EM，FM=CF，
∵AG/​/BC，
∴AG=13BC=13AD，
同理HD=13AD，
∴GH=13AD，
∴GH=23EF，
∵GH/​/BC，EF/​/BC，
∴HG//EF，
∴MG=23ME=13MB，
同理：MH=13MC，
则MG2+MH2=19(MB2+MC2)=19×5×BC2=19×5×32=5．
(1)①先判断△ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后计算即可；
②连接EF，则EF是△ABC的中位线．由直角三角形的性质得出AP=2，BP= 3AP=2 3，由勾股定理可得出答案；
(2)先设AP=m，BP=n，表示出线段PE，PF，最后利用勾股定理即可．
(3)证出MG=23ME=13MB，MH=13MC，则MG2+MH2=19(MB2+MC2)，即可求解．
此题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理、菱形的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解本题的关键．选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
月份
用水量(吨)
交费总数(元)
7
140
264
8
95
152
篮球
围棋
书法
(书法，篮球)
(书法，围棋)
篮球
(篮球，篮球)
(篮球，围棋)
合唱
(合唱，篮球)
(合唱，围棋)