2023年山东省德州市平原县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省德州市平原县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若方程有两个不相等的实数根，则的最大整数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，把一张长方形纸片沿折叠，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某学校实践基地加大农场建设，为学生提供更多的劳动场所该实践基地某种蔬菜年的年产量为千克，年的年产量为千克设该种蔬菜年产量的平均增长率为，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  从下列个函数：；；；中任取一个，函数值随自变量的增大而增大的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，弦，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  正比例函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，以为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，与交于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  【新定义】
函数的“向心值”：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．
【问题解决】
抛物线与直线的“向心值”为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  因式分解： ______ ．

14.  一次函数的图象过点，且随的增大而增大，则的值为        ．

15.  底面半径为，母线长为的圆锥，则这个圆锥的侧面积为______ ．

16.  如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为        ．

17.  如图，在菱形中，，，对角线交于点，，分别是，的中点，则线段的长度为        ．

18.  如图，直线的解析式为交轴于点，交轴于点，正方形的顶点，，，，从左至右依次在轴的正半轴上，顶点，，，，在直线上，顶点，，，，依次在轴、、、上，则点的纵坐标为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．

20.  本小题分
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：
阅读时间在范围内的数据：
，，，，，，，
不完整的统计表：

结合以上信息回答下列问题：
统计表中的        ；
统计图中组对应扇形的圆心角为        度；
阅读时间在范围内的数据的众数是        ；调查的名同学课外阅读时间的中位数是        ；
根据调查结果，请你估计全校名同学课外阅读时间不少于的人数．

21.  本小题分
便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案．

请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：
该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是        ．
A.三角形具有稳定性
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图所示的形变若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度参考数据：，，

22.  本小题分
如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
求证：是的切线；
已知，，求的长．

23.  本小题分
第二十二届世界杯足球赛于年月日至月日在卡塔尔境内举行、某网络经销商购进了一批以足球世界杯为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件元根据市场调查：在一段时间内，销售单价是元时，每日销售量是件；销售单价每涨元，每日文化衫就会少售出件．
不妨设该批文化衫的销售单价为元，请你分别用的代数式来表示销售量件和销售该批文化衫获得的利润元．
在问条件下，若经销商获得了元销售利润，则该文化衫单价应为多少元？
在问条件下，若经销商规定该文化衫销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，则该经销商销售该文化衫获得的最大利润是多少？

24.  本小题分
综合与实践
九年级班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．

操作探究：
如图，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则 ______ 若是的中点，连接，则与的数量关系是______ ．
迁移探究：
如图，中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
拓展应用：
如图，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接当时，求的长．

25.  本小题分
如图，一组抛物线为不大于的正整数的顶点为，过点作轴的垂线，垂足为，以为边长向右作正方形当时，抛物线为的顶点为，此时的正方形为，依此类推．
当时，求抛物线的的顶点为和的坐标；
求的坐标用含的代数式表示；
若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，求的值；
若抛物线为不大于的正整数的其中一条抛物线经过点，写出所有满足条件的正方形的边长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
所给的各数中，比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算分别判断即可．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的最大整数是．
故选：．
根据方程的系数，结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
根据折叠的性质得，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，根据折叠的性质求出，根据平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用年的年产量年的年产量该种蔬菜年产量的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：中随则增大而增大．
随增大而增大．
随增大而减小．
随增大而增大．
函数值随增大而增大的概率为．
故选：．
分别判断函数的增减性求解．
本题考查函数的增减性及概率，解题关键是由函数解析式及取值范围判断函数增减性．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，弦，
，
，
，
故选：．
根据垂径定理得出，根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将点代入，得．
解得．
故．
将其代入，得．
解得．
所以关于的不等式为．
解得．
故选：．
将点的坐标代入正比例函数解析式求得，则；将点的坐标代入一次函数解析式求得，所以解关于的不等式即可求得答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，
连接，由作图知，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，，连接，由作图知，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
抛物线在直线上方，
，
该函数最小值为．
故选：．
根据“向心值”的定义，通过求解．
本题考查二次函数的性质和新定义，解题关键是掌握求“向心值”的方法，并不是抛物线顶点到直线竖直距离最小．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

则，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上，
，，
，
，
，
当点运动到与半圆的交点处时最小，此时．
故选：．
过点作于点，根据正方形的性质利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，进而推出，则点在以为直径的半圆上，根据勾股定理求出，根据当点运动到与半圆的交点处时最小，求解即可．
此题考查了正方形的性质，全等三角形 的判定和性质，勾股定理．熟记正方形的四个角都是、四条边都相等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
公式，根据以上公式分解因式即可．
本题考查了分解因式，能熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键，分解因式的方法有提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过点，
，
解得：，
又随的增大而增大，
．
故答案为：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，由随的增大而增大，利用一次函数的性质，即可确定的值．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，母线长为，
这个圆锥的侧面积为
故答案为：．
根据扇形的面积弧长母线得出圆锥的侧面积，再求出答案即可．
本题考查了圆锥的计算，能熟记扇形的面积弧长母线是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图易得点坐标为，
为的中点，
，旋转之后，，
过作轴，垂足为，
，
，，
点坐标为，
将代入反比例函数，
得，
可得．
故答案为：．
先判断出的坐标，根据旋转的特点，求出的坐标即可求解．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出的坐标是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过作于点，
四边形是菱形，，，
，
，，，
，
，
、分别是、中点，
，，
，是的中位线，
，
，
故答案为：．
过作于点，由菱形的性质得，，，再求出，证是的中位线，得，然后由勾股定理求出的长即可．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
在上，
在上，
，
，
，
．
时，，
，
，
，
即的纵坐标是，
以此类推，
的纵坐标地是，
的纵坐标是．
故答案为：．
根据是和的交点，进而求得的坐标，再归纳出的纵坐标，最后求出答案即可．
本题考查的是一次函数的应用以及点的坐标规律，解题的关键是找到前几个点的坐标规律．
 

19.【答案】解：原式

，
解不等式组：，
得：，
所以，不等式组的整数解为．
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，为不等式组的整数解和分式可以确定的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】；
；
   ，；
名，
答：估计全校名同学课外阅读时间不少于的人数大约为名． 

【解析】解：由题意得，，
．
故答案为：；
统计图中组对应扇形的圆心角为，
故答案为：；
由题意可知，阅读时间在范围内的数据的众数是，调查的名同学课外阅读时间的中位数是．
故答案为：；；
见答案
用样本容量乘可得的值，再用样本容量分别减去其他等级的频数可得的值；
用乘等级所占比例即可；
分别根据众数和中位数的定义解答即可；
用乘样本中课外阅读时间不少于的人数所占比例即可．
本题考查了频数分布表、中位数、众数、扇形统计图以及用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：；
如图：

根据题意知，，是的中点，
，
，
，
设，则，
在中，
，
，即，
解得，
，
此时水桶下降的高度为．
根据三角形的稳定性解答即可；
设，在中，，代入数据可解得答案．
本题考查解直角三角形的应用，涉及三角形稳定性，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
 

22.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
的长是． 

【解析】连接，由是的直径得，即可证明≌，得，则，由，得，即可证明是的切线；
由，，，由，求得，再证明∽，得，即可求得．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定定理、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：销售量；
销售该文化衫获得利润；
根据题意得出：，解得：，，
答：文化衫销售单价为元或元时，可获得元销售利润．
，
解得：，

，
，对称轴是直线，
当时，随增大而增大．
当时，的最大值为，
答：商场销售该品牌文化衫获得的最大利润为元． 

【解析】销售量等于减去，化简即可；
根据题意列方程即可得到结论；
由题意得出，从而得的一个范围，将利润函数写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，会根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键
 

24.【答案】   

【解析】解：为等边三角形，将绕点旋转，得到，
，
，，
，
；
是的中点，是的中点，
，
故答案为：；；
由旋转的性质，可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中点，
，
；
分以下两种情况进行讨论：
如图当点在下方时，

根据题意，得为等腰直角三角形，
．
，
，
，是的中点，
，
；
如图，当点在上方时，

同理，可得，．
综上所述，的长为或．
由等边三角形和旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理和三角形中位线定理即可解决问题；
由旋转的性质证明是等腰直角三角形，进而可以解决问题；
分以下两种情况进行讨论：如图当点在下方时，如图，当点在上方时，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，利用分类讨论思想是解本题的关键．
 

25.【答案】解：当时，求抛物线的，
抛物线的顶点为，
，，
四边形是正方形，
，，
，
点的坐标为；
，
抛物线的顶点为，
，
四边形是正方形，
，，
，
；
由知：，，，，
以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且，，
，
，
即，
解得：或不符合题意，舍去，
的值为；
顶点，，，在直线上，
由知，设点所在的抛物线顶点坐标为．
该抛物线解析式为，将的坐标代入，得：，
整理得：，
为不大于的正整数，
．
、是正整数，且，，
，或．
满足条件的正方形边长是，或． 

【解析】由，可得顶点为，再利用正方形性质即可求得点的坐标为；
由，可得抛物线的顶点为，再利用正方形性质即可求得；
先根据以点，，为顶点的三角形是直角三角形，判断得出，利用勾股定理得，解方程即可得出答案；
根据题意可设点所在的抛物线顶点坐标为，可得，点所在的抛物线解析式为，则把点的坐标代入抛物线解析式即可求得然后由、的取值范围来求点的坐标，即该正方形的边长．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点坐标公式以及正方形的性质．解答题时，要注意的取值范围．