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湖南省永州市东安县2024年中考数学一模试卷
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这是一份湖南省永州市东安县2024年中考数学一模试卷，共9页。
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）(共10题；共30分)
1. 的值为（ ）
2. 如图是一种零件的实物图，则它的左视图是（ ）
3. 已知线段a，b，c，d成比例，且 ， 则线段的长为（ ）
4. 若点 ， 点在反比例函数的图乐上，且 ， 则（ ）
5. 如图是由5个小正方形连接而成的图形，它需再添加一个小正方形，折叠后才能围成一个正方体．图中的黑色小正方形分別由四位同学补画，其中正确的是（ ）
6. 一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也迋之改变，与满足关系式 ， 它的图象如图所示，则该气体的质量为（ ）
7. 如图，在矩形ABCD中，于点 ， 若 ， 则DE的长度为（ ）
8. 如图是某驿站配置的椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆AB，且 ， 连杆AB与底座BC的夹角为 ， 则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（ ）
9. 如图，在中，以BC边为直径作交AC于点 ， 过点作的切线交AB于点 ． 若为AC的中点， ， 则的值为（ ）
10. 如图，矩形ABCD的边AD在轴上，点的坐标为 ， 将矩形绕点逆时针旋转得到矩形AEFG，此时，点的对应点与点的对应点均落在轴上，则点的坐标为（ ）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）(共5题；共15分)
11. 如图，在中， ， 则AC的长为____________________．
12. 如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影 ． 已知灯泡距离地面 ， 灯泡距离纸片 ， 则阴影与纸片的面积比为____________________．
13. 数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG=30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG=45°，已知测倾器的高度为1.6米，C，B，D在一条直线上．则车辆限高杆的高度为____________________米．（结果（留根号）
14. 如图，在中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，EF，CF分别交对角线BD于点G，H，I，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为____________________．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点 ， 与BC相交于点 ， 若点的坐标为的面积是 ， 则的值为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题（共8小题、共75分．解答应写出过程）(共8题；共75分)
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是 ， 结合平面直角坐标系解答下列问题．
（1） 画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C'，并写出点B的坐标；
（2） 以点为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为 ， 且不在同一象限．
17. 如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（6，-3-2n），点 ， 与轴交干点 ．
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式；
（2） 点是点关于铀的对称点，求的面积；
（3） 直挍写出不等式的解集．
18. 如图，在中，是AB上一点，连接CD，点在CD上，连接BE，已知 ， 且 ．
（1） 求证：；
（2） 若 ， 求CE的长.
19. 如图，AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点处测得灯塔位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点处，在处测得灯塔位于南编东方向，已知灯塔距离海岸的距离BC是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD.（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cs54°≈0.59，tan54°≈1.38，)
20. 如图，AB是的直径，BC是的切线，以AO，OC为邻边作 ， 边AD交于点 ， 连接EC.
（1） 求证：EC是的切线；
（2） 若 ， 求的值．
21. 请阅读下列材料，完成相应的任务：
（1）
（2）
（3）
22. 某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：
（1） ①x与的几组对应值如下表，请补全表格；
②在下图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
（2） 我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象．
（3） 若一次函数的图象与函数的图象交于A，B两点，连接OA，OB，求的面积．
23. 在和中， ， 点是AB的中点，连接AE，DF，将绕着点旋转一周，试判断AE和DF的关系.
（1） 【探索发现】
如图①，当点E在AC上时，AE和DF的数量关系为____________________、直线AE和直线DF相交所成的锐角的度数为____________________；
（2） 【验证猜想】
如图②，当点不在AC上时，(1)中的关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请写出新关系，并说明理由；
（3） 【拓展应用】
若CD=5，BC=13，将△CDE绕着点C旋转一周的过程中，当D，E，B三点共线时，直接写出DF的长.A .
B .
C . 1
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D . 不能确定
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 1
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B . 2
C . 3
D .
A .
B .
C .
D .
著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．
比如有这样一个题目：设有两只电阻，分到为和 ， 问并联后的电阻值是多少?
我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点A，B，分别过点A，B作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取 ， 且点C，D位于直线的同侧，连接AD，BC，交于点 ， 过点作直线 ， 则线段EF的长度就是并联后的电阻值 ．
证明： ，
，
又 ，
依据1），
（依据2）．
同理可得： ，
-4
-3
-2
1
2
3
3
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6
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*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）(共10题；共30分)
1. 的值为（ ）
2. 如图是一种零件的实物图，则它的左视图是（ ）
3. 已知线段a，b，c，d成比例，且 ， 则线段的长为（ ）
4. 若点 ， 点在反比例函数的图乐上，且 ， 则（ ）
5. 如图是由5个小正方形连接而成的图形，它需再添加一个小正方形，折叠后才能围成一个正方体．图中的黑色小正方形分別由四位同学补画，其中正确的是（ ）
6. 一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也迋之改变，与满足关系式 ， 它的图象如图所示，则该气体的质量为（ ）
7. 如图，在矩形ABCD中，于点 ， 若 ， 则DE的长度为（ ）
8. 如图是某驿站配置的椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆AB，且 ， 连杆AB与底座BC的夹角为 ， 则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（ ）
9. 如图，在中，以BC边为直径作交AC于点 ， 过点作的切线交AB于点 ． 若为AC的中点， ， 则的值为（ ）
10. 如图，矩形ABCD的边AD在轴上，点的坐标为 ， 将矩形绕点逆时针旋转得到矩形AEFG，此时，点的对应点与点的对应点均落在轴上，则点的坐标为（ ）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）(共5题；共15分)
11. 如图，在中， ， 则AC的长为____________________．
12. 如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影 ． 已知灯泡距离地面 ， 灯泡距离纸片 ， 则阴影与纸片的面积比为____________________．
13. 数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG=30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG=45°，已知测倾器的高度为1.6米，C，B，D在一条直线上．则车辆限高杆的高度为____________________米．（结果（留根号）
14. 如图，在中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，EF，CF分别交对角线BD于点G，H，I，若的面积为6，则图中阴影部分的面积为____________________．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点 ， 与BC相交于点 ， 若点的坐标为的面积是 ， 则的值为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题（共8小题、共75分．解答应写出过程）(共8题；共75分)
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是 ， 结合平面直角坐标系解答下列问题．
（1） 画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C'，并写出点B的坐标；
（2） 以点为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为 ， 且不在同一象限．
17. 如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（6，-3-2n），点 ， 与轴交干点 ．
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式；
（2） 点是点关于铀的对称点，求的面积；
（3） 直挍写出不等式的解集．
18. 如图，在中，是AB上一点，连接CD，点在CD上，连接BE，已知 ， 且 ．
（1） 求证：；
（2） 若 ， 求CE的长.
19. 如图，AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点处测得灯塔位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点处，在处测得灯塔位于南编东方向，已知灯塔距离海岸的距离BC是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD.（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cs54°≈0.59，tan54°≈1.38，)
20. 如图，AB是的直径，BC是的切线，以AO，OC为邻边作 ， 边AD交于点 ， 连接EC.
（1） 求证：EC是的切线；
（2） 若 ， 求的值．
21. 请阅读下列材料，完成相应的任务：
（1）
（2）
（3）
22. 某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：
（1） ①x与的几组对应值如下表，请补全表格；
②在下图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
（2） 我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象．
（3） 若一次函数的图象与函数的图象交于A，B两点，连接OA，OB，求的面积．
23. 在和中， ， 点是AB的中点，连接AE，DF，将绕着点旋转一周，试判断AE和DF的关系.
（1） 【探索发现】
如图①，当点E在AC上时，AE和DF的数量关系为____________________、直线AE和直线DF相交所成的锐角的度数为____________________；
（2） 【验证猜想】
如图②，当点不在AC上时，(1)中的关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请写出新关系，并说明理由；
（3） 【拓展应用】
若CD=5，BC=13，将△CDE绕着点C旋转一周的过程中，当D，E，B三点共线时，直接写出DF的长.A .
B .
C . 1
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D . 不能确定
A .
B .
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A .
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C .
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A . 1
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D .
A .
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C .
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B . 2
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A .
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著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．
比如有这样一个题目：设有两只电阻，分到为和 ， 问并联后的电阻值是多少?
我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点A，B，分别过点A，B作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取 ， 且点C，D位于直线的同侧，连接AD，BC，交于点 ， 过点作直线 ， 则线段EF的长度就是并联后的电阻值 ．
证明： ，
，
又 ，
依据1），
（依据2）．
同理可得： ，
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