2023年湖南省永州市祁阳市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省永州市祁阳市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “金波泛浪踏清风，油菜花香引蝶舞”月日，祁阳市中小学生“爱悦读”二十四节气“春分”读书活动之“油菜花里最美的声音”成功举行，为深推全民阅读，建设书香祁阳贡献了智慧和力量下面四幅作品，分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  北京时间年月日时分，神舟号航天员打开“家门”，热情欢迎神舟号航天员入驻“天宫”，后续两个航天员乘组将在我国空间站完成首次在轨轮换中国空间站轨道高度约为，这个数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 已知一组数据：，，，，该组数据的众数是，中位数是
B. 要了解一批烟花的燃放时间，应采用全面调查的方法
C. 甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D. 打开电视机，正在播放“永州新闻”是必然事件

6.  一元一次不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  “行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时秒通过，其中通过的速度是通过的倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为米秒，则根据题意列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是的直径，弦于点，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，等边、等边的边长分别为和开始时点与点重合，在上，在上，沿向右平移，当点到达点时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为，移动的距离为，则与的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  函数的自变量的取值范围是______．

13.  某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中体育课外活动占，期末考试成绩占，小彤的这两项成绩依次是，则小彤这学期的体育成绩是______ ．

14.  如图，将三角形翻折，使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，如果，那么 ______ 度

15.  若，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值为        ．

16.  如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点则的值为______ ．

17.  已知圆锥的主视图是底边长为，底边上的高为的等腰三角形，则这个圆锥的侧面积是______ 结果保留

18.  如图，以的三条边为边长，向三角形外分别作正方形，连接，其中，，则长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______ 度，并将条形统计图补充完整．
如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______ 人
此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．

22.  本小题分
如图，矩形中，点，分别在边，上，且．
求证：；
若四边形是菱形，，，求的长度．

23.  本小题分

某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．

求篮球和足球的单价分别是多少元；

学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么有哪几种购买方案？

24.  本小题分
某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在处的求救者后，发现在处正上方处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点与居民楼的水平距离是米，且在点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角，第二次施救时云梯与水平线的夹角，求、两点间的距离结果精确到米【参考数据：；，】

25.  本小题分
如图，中，，以为直径作，交于点，点为上一点，且连接并延长交的延长线于点．
求证：是的切线．
若，连接．
求图中阴影部分的面积；
求的长．

26.  本小题分
如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点直线经过，两点．
求抛物线及直线的函数表达式；
点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点为直角顶点的，且满足若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
利用倒数的定义判断．
本题考查了倒数，解题的关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，正确，符合题意．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可解答．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项、幂的乘方运算、完全平方公式等知识，正确把握相关法则和公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、一组数据，，，的众数是，中位数是，正确，符合题意；
B、要了解一批烟花的燃放时间，适合抽样调查，原说法错误，不符合题意；
C、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，因甲的方差小于乙的方差，所以甲的跳远成绩比乙稳定，原说法错误，不符合题意；
D、打开电视机，正在播放“永州新闻”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
故选：．
利用众数、中位数的定义、调查方式的选择、方差的意义及随机事件的概念分别判断后即可确定正确的选项．
本题主要考查的是随机事件，涉及到众数、中位数的定义、调查方式的选择、方差的意义及随机事件，掌握它们的概念和特点是解决此题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：
解不等式得，；
解不等式得，；
所以，不等式组的解集为：，在数轴上表示为：

故选：．
求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得，，
，，
，
，
故选：．
根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：米，
米．
小刚通过的速度为米秒，通过的速度是通过的倍，
小刚通过的速度为米秒．
又小刚共用时秒通过，
．
故选：．
由通过的速度是通过的倍可得出小刚通过的速度为米秒，利用时间路程速度，结合小刚共用时秒通过，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分成方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出，求出是解题的关键．由垂径定理知，点是的中点，有，可得，则，利用圆周角定理即可求解．
【解答】
解：连接，
是的直径，弦于点，
，
，
，
，
，
．  

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，当和重合时，，

当移动的距离为时，在内，，
当在的右边时，如图所示，设移动过程中与交于点，过点坐垂直于，垂足为，

根据题意得，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
当时，是一个关于的二次函数，且开口向上，
当时，，当时，，
故选：．
当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案．
本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得到：，
解得．
故答案为：．
一般地从两个角度考虑：分式的分母不为；偶次根式被开方数大于或等于；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
本题考查了函数式有意义的的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于混淆．
 

13.【答案】 

【解析】解：小彤这学期的体育成绩是，
故答案为：．
将小彤体育课外活动、期末考试的成绩分别乘以对应的百分比，再求和即可．
本题主要考查加权平均数，加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
将三角形翻折，使得点与点重合，折痕交边于点，交边于点，
，
故答案为：．
根据求出，根据翻折变换的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理和翻折变换，能根据翻折变换的性质得出是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
由根与系数的关系得到，，将代数式变形代入计算即可．
此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，

一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，
把代入，可得：，
点的坐标为，
，，
又，
，
，
，
，
的值为．
故答案为：．
过点作轴的垂线，垂足为，根据题意，把代入，得出的值，进而得出点的坐标，再根据锐角三角函数，即可得出答案．
本题考查了坐标与图形、一次函数与反比例函数的交点问题、锐角三角函数，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：依题意底面周长是，底面积是：．
母线长是：，
则圆锥的侧面积是：．
故答案是：．
首先根据题意，求得底面的周长、利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式即可求得圆锥的侧面积．
本题考查三视图，圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：连结，如图，

四边形和四边形是正方形，
，，，
，
；
又，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
在和中，
，
≌，
，
的长为，
故答案为：．
连结，得，再证明、、三点在同一条直线上，则，根据勾股定理求得，再证明≌，得．
此题重点考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先利用乘方、绝对值的意义、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和特殊角的三角函数值是解决问题的关键
 

20.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
全年级总人数为人，
“良好”的人数为人，
将条形统计图补充完整，如图所示：

参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：人，
故答案为：；
画树状图，如图所示：

共有个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个，
选中的两名同学恰好是甲、丁．
由乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；
根据比赛成绩良好的占比乘以即可求解；
画出树状图，由概率公式即可得出答案．
本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息．
 

22.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，

四边形是菱形，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得，，
，
解得，，
即． 

【解析】根据矩形的性质可知，，已知，可证得≌，根据全等三角形的性质可得；
根据菱形的性质可知，设，则，根据勾股定理求出即可．
本题考查了矩形的性质以及菱形的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等．
 

23.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
设采购篮球个，则采购足球为个，
要求篮球不少于个，且总费用不超过元，
，
解得，
为整数，
的值可为，，，，
共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个． 

【解析】根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
 

24.【答案】由题意，得，，，
，
，
，
在中，，，
，
，
答：、两点间的距离约为米． 

【解析】直接根据题意得出，的长，再利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，

在与中，
，
≌
，
，
是的半径，
是的切线；
连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，，
，，
阴影部分的面积，
，，
，
，，
∽，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
或舍去，
． 

【解析】连接，如图，证明≌得到，然后根据切线的判定定理可判断为的切线；
证明是的中位线，得到的长和，利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求解；
证明∽，根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到结果．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，扇形的面积公式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握直线与圆的位置关系，扇形的面积公式，相似三角形的判定与性质并正确的作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：由点的坐标知，，
，故点的坐标为，
将点、、代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
将点、代入一次函数表达式得：，解得，
故直线的表达式为；
点、关于抛物线的对称轴对称，
如图，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，的值最小，

理由：由函数的对称性知，，
则为最小，
由知，抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为，
当时，，故点，
由点、的坐标知，，
则，
即点的坐标为、的最小值为；
存在，理由如下：
设点的坐标为、点的坐标为，
当点在点的左侧时，
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
则，，，，

由题意得：，
，
，
，
又，
∽，

，，
，，
解得，
点是抛物线上对称轴右侧一点，
，
故，
当时，，
故点的坐标为；
当点在点的右侧时，

分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为、，
则，，、，
同理可得：∽，

，，
即，
解得，
点是抛物线上对称轴右侧一点，
，
故，
当时，，
故点的坐标为，
点的坐标为或 

【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，
用待定系数法即可求解；
点、关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交于点，则点为所求点，此时，的值最小，进而求解；
当点在点的左侧时，证明∽，则，进而求解；当点在点的右侧时，同理可解．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法，与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．