数学：河北省保定市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试试题（解析版）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册和集合与常用逻辑用语.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意得，，
则.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，则所求切线切点坐标为，
，有，则所求切线斜率为，
所求的切线方程为，即.
故选：B
4. 已知由样本数据组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量x，y之间的相关系数为，，，则经验回归直线经过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第一、三、四象限
【答案】B
【解析】由相关系数为，知，负相关，所以又，，
即点在经验回归直线上，且在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限.
故选：B.
5. 已知函数，其导函数为，集合若AB，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，解得，故，
又，且AB，
所以，解得.
故选：A.
6. 已知函数，则“有极值”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，若有极值，则有两个不相等的实数根，
，解得；
反之，时，有两个不相等的实数根，有极值.
所以“有极值”是“”的充要条件.
故选：C.
7. 有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（ ）
A. 32B. 36C. 48D. 56
【答案】B
【解析】周六分配一名精通日语的志愿者有种不同方法，
周六分配两名精通日语的志愿者有种不同方法，
所以分配方法的总数为36.
故选：B
8. 一次知识竞赛中，共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：
答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获奖.已知参赛人甲答对题的概率为，答对题的概率均为，答对E题的概率为，则甲能获奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若从，，中只选择了一题，
则甲能获奖的概率；
若从，，中选择了两题，则甲能获奖的概率；
若从，，中选择了三题，则甲能获奖的概率.
故甲能获奖的概率.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B.
C.
D. 除以10的余数为9
【答案】BC
【解析】的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；
令，可得，令，，
则，故B正确；
，故C正确；
，
故除以10的余数为1，故D错误.
故选：BC.
10. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为0.1，收到0的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.3，收到1的概率为0.7.下列说法正确的是（ ）
A. 假设发送信号0和1是等可能的，收到0的概率为0.6
B. 假设发送信号0和1是等可能的，收到11的概率为0.16
C. 若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为0.147
D. 假设发送信号0和1是等可能的，已知收到的信号是11，则发送的信号也是11的概率为
【答案】ABD
【解析】对于A，收到0的概率为，故A正确；
对于B，收到1的概率为，
所以收到11的概率为，故B正确；
对于C，若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为，故C错误；
对于D，设收到的信号是11为事件，发送的信号是11为事件，则，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在，使得在上单调递减
B. 对任意，在上单调递增
C. 对任意，在上恒成立
D. 存在，使得在上恒成立
【答案】BCD
【解析】，因为，
所以不存在，使得在上单调递减，故A错误；
，因为，，所以，
即，故B正确；
当，时，，
设，，则，
所以在上单调递增，所以，即，故C正确；
当时，令，
则，令，
则，又，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设随机变量，若，则______，______.
【答案】① ②5
【解析】，
则，因为，所以，
故，.
故答案为：；.
13. 用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.
【答案】72
【解析】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法，
当1和5区域同色时，有种涂法；
当1和5区域不同色时，有种涂法；
综上所述：共有种涂法.
故答案为：72.
14. 已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是____
______.
【答案】
【解析】由，可得.
令，则，，
所以的图象关于直线对称.
当时，，所以，
又在上连续，所以在上单调递增，且在上单调递减，
由，可得，
即，
所以，解得.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
（1）计算样本平均数和样本方差；
（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
解：（1）解根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得：
数据的平均为，
数据的方差为.
（2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布，
设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，
成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，
则，，，.
因为，所以.
因为，
所以，
因为，所以.
综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
16. 某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术升级有关？
（2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率.
附：.
解：（1）零假设为：产品的合格率与技术升级无关，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为产品的合格率与技术升级有关.
（2）升级前后合格品的比例为，
故抽取的9件中有4件属于升级前生产的，有5件属于升级后生产的，
当，时，，
当，时，，
则的概率.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
解：（1）由题意知函数的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，时，，
则不一定成立，故不满足题意.
当时，
.
令，则，，
所以上单调递减，在上单调递增，
而
所以时，，且.
所以的解集为，
所以，
即，故的取值范围为.
18. 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
（1）求的分布列与期望；
（2）证明为等比数列，并求关于的表达式.
解：（1）的可能取值为2，3，4.
，
，
，
则的分布列为
故.
（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，
则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；
②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，
此时红球的个数为.
故，
，
则，所以是公比为的等比数列.
故，
即
19. 若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数.
（1）判断函数与是否为亲密函数，并说明理由；
（2）若与互为亲密函数，求的取值范围.
附：.
解：（1）与互为亲密函数，理由如下，
记是函数的零点，是函数的零点.
因为在上单调递增，且，，
所以.
因为，所以当时，.
又，，解得；，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
由，因为，，
所以，
所以，故与互为亲密函数
（2），解得，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，故有唯一的零点1，
因为与互为亲密函数，
所以在上有解.
由，可得.
因为，所以，令，则，设，
，时，；时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
，，，则，
故的取值范围为.
分值
10
20
20
20
30
合格品
不合格品
合计
升级前
120
80
200
升级后
150
50
200
合计
270
130
400
01
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2
3
4