2023-2024学年北师大版数学八年级下册期末模拟试卷一

这是一份2023-2024学年北师大版数学八年级下册期末模拟试卷一，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共30分）
1．要使分式1x+3有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x>-3B．x<-3C．x≠-3D．x=-3
2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6a2b2=3ab⋅2abB．(x+1)(x-1)=x2-1
C．x2-4x+4=(x-2)2D．x2-x-4=x(x-1)-2
3．在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，若∠B=56°，则∠C的度数是（ ）
A．56°B．65°C．114°D．124°
4．下列判断不正确的是（ ）
A．若a>b，则-4a<-4bB．若2a>3a，则a<0
C．若a>b，则ac2>bc2D．若ac2>bc2，则a>b
5．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A'B'C'D'．若点A、B、A'的坐标分别为（-3，5），（-4，3），（3，3），则点B'的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（2，1）C．（1，4）D．（4，1）
6．下列可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4a2-4a-1B．4a2＋2a＋1C．1-4a＋4a2D．2a2＋4a＋1
7．计算 xa+1⋅a2-12x 的结果正确的是（ ）
A．a-12B．a+12C．a-12xD．a+12a+2
8． 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1等.将一元一次方程x+12-1=x3去分母，得（ ）
A．3(x+1)-6=2xB．3(x+1)-1=2x
C．3x+1-1=2xD．2(x+1)-6=3x
9．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．28B．26C．24D．20
10． 若关于x的分式方程2x-1+mx(x-1)(x+2)=1x+2有增根，则m的值为（ ）
A．1.5B．-6C．1或-2D．1.5或-6
二、填空题（每题3分，共18分）
11．因式分解：3a2-12= .
12．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于 度．
13． 已知关于x的分式方程xx-1-2=k1-x的解为非负数，则k的取值范围为 ．
14． 如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是 ．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
16．如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC=18cm，BC=16cm，则△BCE的周长为 cm．
三、解答题（共9题，共72分）
17．解不等式组3x+2<2(x+2)①,x-12≤2x-13②,并把解集在数轴上表示出来．
18．先化简再求值：(a+2-5a-2)÷a2+6a+9a-2，其a从-2，2，-3，3中选一个合适的数代入求值．
19．
（1）先化简：(1-1m-1)÷m2-4m+4m2-m，再从-1≤m≤2中选合适的整数代入求值.
（2）解分式方程：x+1x+1x-2=1.
20． 若关于x的方程x-2ax-3+2a3-x=2的解为非负数，求a的取值范围．
21．如图，在△ABC中，DE为BC边上的垂直平分线，与∠BAC的平分线交于点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，作EG⊥AC于点G.
（1）求证：BF=CG.
（2）若AB=6，AC=15，求CG的长.
22．如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥BF，AB=16，BF=12，AC=24.求线段EF的长.
23．先阅读下面的材料，再解决问题：
因式分解多项式：am+an+bm+bn，
先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b：
得：a（m+n）+b（m+n）
再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．
于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；
（2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状．
24． 普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．深圳某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
（1）A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
（2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内，若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
25． 将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中∠B=30°，∠D=45°．保持三角尺ABC固定不动，将三角尺CDE绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题：
（1）如图2，当α=210°时，求证：AB∥EC；
（2）当0°<α<180°时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数．
答案解析部分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．要使分式1x+3有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x>-3B．x<-3C．x≠-3D．x=-3
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式1x+3有意义
∴x+3≠0
∴x≠-3
故答案为：C.
【分析】分式有意义要满足分母部分不为0，解不等式即可.
2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6a2b2=3ab⋅2abB．(x+1)(x-1)=x2-1
C．x2-4x+4=(x-2)2D．x2-x-4=x(x-1)-2
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：
A：6a2b2=3ab⋅2ab，错误，不合题意；
B：(x+1)(x-1)=x2-1，是多项式乘多项式。选项错误，不合题意；
C：x2-4x+4=(x-2)2，正确，符合题意；
D：x2-x-4=x(x-1)-2，错误，不合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查多项式的因式分解。 把一个多项式在一个范围化为几个整式积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。进行因式分解时，常用以下口诀： 先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
3．在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，若∠B=56°，则∠C的度数是（ ）
A．56°B．65°C．114°D．124°
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°-∠B＝180°-56°＝124°
故答案为：D
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，则∠B+∠C＝180°，即可得出结论
4．下列判断不正确的是（ ）
A．若a>b，则-4a<-4bB．若2a>3a，则a<0
C．若a>b，则ac2>bc2D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若a>b，则 -4a<-4b，故本选项正确；
B、若2a>3a，则 a<0，故本选项正确；
C、若a>b，c=0，则 ac2=bc2 ，故本选项错误；
D、若ac2>bc2，则 a>b，故本选项正确.
故答案为：C.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
5．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A'B'C'D'．若点A、B、A'的坐标分别为（-3，5），（-4，3），（3，3），则点B'的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（2，1）C．（1，4）D．（4，1）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A'B'C'D'，且A（-3，5），A'（3，3），
∴平移方式是：将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A'B'C'D'，
又∵B（-4，3），
∴B'（2，1）.
故答案为：B.
【分析】观察A与A'的坐标得到平移方式：将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A'B'C'D'，进而根据点的坐标与图形平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”，即可得到点B'的坐标.
6．下列可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4a2-4a-1B．4a2＋2a＋1C．1-4a＋4a2D．2a2＋4a＋1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、4a2-4a-1不能用完全平方公式因式分解，错误；
B、4a2＋2a＋1不能用完全平方公式因式分解，错误；
C、1-4a＋4a2=（1-2a）2，能用完全平方公式因式分解，正确；
D、2a2＋4a＋1不能用完全平方公式因式分解，错误.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的完全平方公式法：a2±2ab+b2=（a±b）2，对各选项进行判断即可.
7．计算 xa+1⋅a2-12x 的结果正确的是（ ）
A．a-12B．a+12C．a-12xD．a+12a+2
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】 xa+1⋅a2-12x = xa+1⋅（a+1)(a-1)2x = a-12 .
故答案为：A.
【分析】利用分式的乘除法的性质化简即可。
8． 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1等.将一元一次方程x+12-1=x3去分母，得（ ）
A．3(x+1)-6=2xB．3(x+1)-1=2x
C．3x+1-1=2xD．2(x+1)-6=3x
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】∵x+12-1=x3，
∴3（x+1）-6=2x，
故答案为：A.
【分析】分式方程两边同时乘以6即可得到答案.
9．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．28B．26C．24D．20
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】在平行四边形ABCD中，
2（AD+CD）=36，
∴AD+CD=18，
易证△AOE≌△COF，
∴AE=CF，OE=OF=3，
∴EF=6
∴CF+CD+ED+EF
=AE+ED+EF+CD
=AD+CD+EF
=18+6
=24
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍，由 平行四边形ABCD的周长为36 得出AD+CD=18，然后证出△AOE≌△COF，根据全等三角形对应边相等得出AE=CF，OE=OF=3，最后根据四边形周长的计算方法及线段的和差、等量代换即可算出答案。
10． 若关于x的分式方程2x-1+mx(x-1)(x+2)=1x+2有增根，则m的值为（ ）
A．1.5B．-6C．1或-2D．1.5或-6
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：2x-1+mx(x-1)(x+2)=1x+2，
方程两边同乘以(x-1)(x+2)，得2(x+2)+mx=x-1，即(m+1)x=-5，
∵关于x的分式方程2x-1+mx(x-1)(x+2)=1x+2有增根，
∴x-1=0或x+2=0，即x=1或x=-2，
（1）当x=1时，则m+1=-5，解得m=-6，
（2）当x=-2时，则-2(m+1)=-5，解得m=1.5，
综上，m的值为1.5或-6，
故答案为：D．
【分析】先把分式方程化成整式方程，再确定分式方程的增根，最后把增根代入整式方程求出m的值。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．因式分解：3a2-12= .
【答案】3（a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2-12=3(a2-4)=3(a+2)(a-2).
故答案为：3（a+2）（a-2）.
【分析】观察多项式可知：每一项含有公因式3，提公因式3后，括号内的因式符合平方差公式特征，于是再用平方差公式分解因式即可.
12．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于 度．
【答案】72
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，根据题意，得：
（n-2）×180°=540°，
∴n=5，
∴这个多边形的每一个外角为：360°÷5=72°。
故第1空答案为：72°。
【分析】首先根据多边形内角和定理求出正多边形的边数，然后再根据多边形的外角和恒等于360°，求出正多边形的每一个外角即可。
13． 已知关于x的分式方程xx-1-2=k1-x的解为非负数，则k的取值范围为 ．
【答案】k≥-2且k≠-1
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：关于x的分式方程xx-1-2=k1-x化为整式方程得，
x-2(x-1)=-k，
解得x=k+2，
由于分式方程的解为非负数，即k+2≥0，
所以k≥-2，
而x=1是分式方程的增根，当x=1时，k=-1，
因此k的取值范围为k≥-2且k≠-1，
故答案为：k≥-2且k≠-1．
【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程的增根，综合求解即可。
14． 如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形AFCE是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是 ．
【答案】BF=DE（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加：BF=DE，
理由如下：连接AC交BD于点O，
∵ 四边形AFCE是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BF=DE，
∴BO-BF=DO-DE
即OE=OF，
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
故答案为：BF=DE（答案不唯一）.
【分析】连接AC交BD于点O，添加BF=DE，结合平行四边形的性质可推出OE=OF，再利用对角线互相平分可证四边形AFCE是平行四边形.
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
【答案】62
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AF，
∵G， H分别为AE，EF的中点，
∴GH∥AF，GH=12AF，
要使GH最小，只要AF最小，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵GH的最小值为3，
∴AF=6，
∵∠B= 45°，
∴∠BAF= 45°，
∴BF= AF= 6，
∴AB=AF2+BF2=62，
∵四边形ABCD是菱形，
∴. BC=AB=62；
故答案为：62.
【分析】连接AF，利用中位线的性质GH =二AF，要使GH最小，只要AF最小，当AF⊥BC时，AF最小为6，由∠B = 45° 确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF= 6，由勾股定理得：AB2=BF2+AF2求出BC即可.
16．如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC=18cm，BC=16cm，则△BCE的周长为 cm．
【答案】34
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵AC=18cm，BC=16cm，
∴△BCE的周长是BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=34cm，
故答案为34．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AE=BE，求出三角形BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．
三、解答题（共9题，共72分）
17．解不等式组3x+2<2(x+2)①,x-12≤2x-13②,并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：由①得x<2，由②得x≥-1，所以不等式组的解集为-1≤x<2．
解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后把解集在数轴上表示出来即可．
18．先化简再求值：(a+2-5a-2)÷a2+6a+9a-2，其a从-2，2，-3，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式=[(a+2)(a-2)a-2-5a-2]⋅a-2(a+3)2
=a2-4-5a-2⋅a-2(a+3)2
=(a+3)(a-3)a-2⋅a-2(a+3)2
=a-3a+3，
由题意可得，a≠2和-3，
当a=3时，原式=3-33+3=0，
当a=-2时，原式=-5．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再求出a的值，最后代入计算求解即可。
19．
（1）先化简：(1-1m-1)÷m2-4m+4m2-m，再从-1≤m≤2中选合适的整数代入求值.
（2）解分式方程：x+1x+1x-2=1.
【答案】（1）解：原式=m-2m-1×m(m-1)(m-2)2
=mm-2
∵-1≤m≤2且m≠0，m≠1，m≠2
∴m=-1
将m=-1代入到mm-2中，
原式=mm-2=13
（2）解：化为整式方程得：(x+1)(x-2)+x=x(x-2)
解得：x=1
经检验，x=1是原方程的根.
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先对括号里面部分进行通分计算，再将除法转变为乘法，对分子和分母能分解因式的分别分解因式后约分，最后代入的使代数式有意义的x的值计算即可；
（2）先在方程两边同时乘以x(x-2)约去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后再检验即可得出原方程根的情况.
20． 若关于x的方程x-2ax-3+2a3-x=2的解为非负数，求a的取值范围．
【答案】解：方程两边都乘以x-3，得：x-2a-2a=2(x-3)，
解得x=6-4a，
∵分式方程的解为非负数，
∴6-4a≥0且6-4a≠3，
解得a≤32且a≠34．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为非负数建立不等式，结合分式方程的增根，综合求解即可。
21．如图，在△ABC中，DE为BC边上的垂直平分线，与∠BAC的平分线交于点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，作EG⊥AC于点G.
（1）求证：BF=CG.
（2）若AB=6，AC=15，求CG的长.
【答案】（1）证明：如图，连接BE、CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG，∠F=∠AGE=90°=∠EGC.
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
在Rt△BEF和Rt△CEG中
BE=CEEF=EG，
∴Rt△BEF≌Rt△CEG(HL)，
∴BF=CG.
（2）解：在Rt△AEF和Rt△AEG中，
AE=AEEF=EG，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)，
∴AF=AG，
∴AB+BF=AC-CG，
∵AB=6，AC=15，BF=CG，
∴6+CG=15-CG，
∴CG=92，
∴CG的长为92.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接BE、CE，根据角平分线的性质得EF=EG，由垂直平分线的性质得BE=CE，从而用HL可证Rt△BEF≌Rt△CEG，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEG，可得AF=AG，结合（1）的结论可得6+CG=15-CG，即可求得CG长.
22．如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥BF，AB=16，BF=12，AC=24.求线段EF的长.
【答案】（1）证明：如图所示，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∵AB=16,BF=12，
∴AF=AB2+BF2=20，
∵AC=24，
∴AE=CF=AC-AF=4，
∴EF=AF-AE=16．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）连接BD交AC于O，根据四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，OD=OB，再证明OE=OF，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）根据AB⊥BF，利用勾股定理求出AF=20，进而求出AE=4，则EF=AF-AE=16．
23．先阅读下面的材料，再解决问题：
因式分解多项式：am+an+bm+bn，
先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b：
得：a（m+n）+b（m+n）
再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．
于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．
请用上面材料中提供的方法解决问题：
（1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；
（2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状．
【答案】（1）解：ab-ac+b2-bc
=(ab-ac)+(b2-bc)
=a(b﹣c)+b(b﹣c)
=(a+b)(b﹣c)；
（2）解：由a4-b4+a2c2+b2c2=0，
得(a2﹣b2)(a2+b2)+c2(a2+b2)=0，
即(a2+b2)(a2﹣b2+c2)=0，
∵作为三角形的边长，有a2+b2＞0，
∴a2-b2+c2=0，
即a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣分组分解法
【解析】【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可；
（2）先求出 (a2+b2)(a2﹣b2+c2)=0， 再求出 a2+c2=b2， 最后判断求解即可。
24． 普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．深圳某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
（1）A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
（2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内，若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为4x元，
根据题意得：320004x-6000x=10，
解得：x=200，
经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意，
∴4x=4×200=800．
答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；
（2）解：设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进(60-m)盒B等级茶叶，
根据题意得：800m+200(60-m)≤36000
解得：m≤40，
设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则
w=(900-800)m+(250-200)(60-m)，
即w=50m+3000，
∵50>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=40时，w取得最大值，最大值为50×40+3000=5000，
此时60-m=60-40=20．
答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为4x元，根据总价÷单价等于数量及“ 用32000元购进A等级茶叶比用6000元购进B等级茶叶多10盒 ”列出分式方程，求解即可；
（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进(60-m)盒B等级茶叶，由购进A等级茶叶m盒的费用+购进B等级茶叶(60-m)盒的费用不超过36000元，列出不等式求出m的取值范围；设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，根据销售A等级茶叶m盒的利润+销售B等级茶叶(60-m)盒的利润=总利润建立出w关于m的函数解析式，继而根据所得函数的性质解答即可.
25． 将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中∠B=30°，∠D=45°．保持三角尺ABC固定不动，将三角尺CDE绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题：
（1）如图2，当α=210°时，求证：AB∥EC；
（2）当0°<α<180°时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数．
【答案】（1）证明：∵∠α=210°，
∴∠ACE=360°-90°-210°=60°，
∵∠A=60°，
∴∠A=∠ACE，
∴AB∥EC；
（2）解：①旋转过程中，当CE∥AB时，如图1所示：
则∠BCE=∠B=30°，
由旋转性质可得：∠ACD=α=∠BCE=30°；
②当DE//AB时，如图2所示，延长AC交DE于点F：
∵点D在直线AC的上方，∠A=60°，
∴∠DFC=180°-∠A=120°，
∵∠D=∠E=45°，
∴∠DCF=180°-∠DFC+∠D=15°，
∴∠ACD=α=180°-∠DCF=165°；
③当CD∥AB时，如图3所示：
则∠BCD=∠B=30°，
∴∠ACD=α=∠ACB+∠BCD=120°；
④当AC∥DE时，如图4所示：
则∠ACD=∠D=α=45°；
⑤当DE∥BC时，如图5所示：
则∠BCD=∠D=45°，
∴∠ACD=α=∠ACB+∠BCD=135°；
综上所述：α的度数为30°或45°或120°或135°或165°．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用周角的定义求出∠ACE的度数，再计算∠A的度数，从而利用平行线的判定定理得到结论.
（2）分AB//CE，AB//DE，AB//DC，AC//ED，BC//DE几种情况进行讨论，并利用平行线的性质计算α的度数.