2024年湖南长沙天心区长郡中学高三三模数学试卷（适应性）

这是一份2024年湖南长沙天心区长郡中学高三三模数学试卷（适应性），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年湖南长沙天心区长郡中学高三三模数学试卷（适应性）
一、单选题
已知复数
A.
，则
（
）．
C.
B.
D. 1
在
的展开式中，
的系数为（
）
A. 30
B. 60
C. 40
D. -60
”是“
设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若
，
，则“
”的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条
件
已知函数
A.
，
，则
C.
的图象大致是（
）
D.
B.
已知向量
A.
，且 与 的夹角为 ，
B.
，向量
C.
与
的夹角为 ，则
D.
（
）
已知点
一点 ，则点 的横坐标的取值范围是（
A. B.
为抛物线
上一点， 为 上不同于点 的一个动点，过 作
的垂线与 交于另
）
C.
D.

中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推
导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图1为俯视图，图2为立体切面图.
对应的是正四棱台中间位置的长方体，
对应四个三棱柱，
对应四个四棱锥.若这四个三棱
）
柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（
A. 20
B. 24
C. 28
D. 32
从集合
的非空子集中随机取出两个不同的集合 ， ，则在
）
的条件下，
恰有
个元素的概率为（
A.
B.
C.
D.
二、多选题
氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生 衰
变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量 随时间 (单位:年)的衰变规律满足 ，其中 表示氚
原有的质量，则（
A.
）(参考数据:
)
B. 经过
年后，样本中的氚元素会全部消失
C. 经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
D. 若 年后，样本中氚元素的含量为
，则
在前n项和为 的正项等比数列
A. B.
中，
，
，
，则（
D. 数列
为
）
C.
中的最大项
一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为
直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的

直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为 ， ， ，直角顶点到斜
面的距离为 ，其内切球的半径为 ，三个直角面的面积分别为 ，三个直角面与斜面所成的角分别
为 ， ， ，斜面的面积为 ，则（
，
，
）
A. 直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心
C.
B.
D.
三、填空题
记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a，平均数为b，则
=
．
，
已知
，函数
,当
时，函数
．
的最大值是
；若函数
的
图象上有且只有两对点关于 轴对称，则 的取值范围是
设
为实数
．
中最大的数．若，
，则
的最
小值为
四、解答题
己知函数
(1)若曲线
，其中
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 的值;
上的最大值是 ?若存在，求出 的值;若不存在，说明理由.
.
在
(2)是否存在实数 ，使得
在
如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点 在底面圆周上，
为垂足.

(1)求证：
(2)当直线
①求平面
.
与平面
与平面
所成角的正切值为2时，
夹角的余弦值；
②求点 到平面
的距离.
植物迷宫源自于西方国家，在西方国家十分盛行，发展到现在，已经是西方园林植物文化的代表之一．目前植
物迷宫的发展已经遍布世界各地，最大的、最长的、最复杂的等等迷宫形式已经成为各大以乡村或农业等为主
打的景区，吸引游客的一项重要手段．某乡镇为发展旅游业，欲打造植物迷宫，现就蔬菜迷宫、粮食迷宫两款
征询90名村民代表的意见（每人可选一款支持，也可保持中立），其中男、女村民代表的比例为
关统计数据如下：
，得到相
支持蔬菜迷宫
45
支持粮食迷宫
30
中立（两种均可）
15
人数
(1)根据村民代表的意见，利用分层随机抽样的方法抽取12名村民代表，再从这12人中随机抽取4人，记其中支
持粮食迷宫的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
(2)在90名村民代表中，蔬菜种植能手与粮食种植能手的相关统计数据如下，其中
．
为正整数，且
男村民代表
40
女村民代表
10
蔬菜种植能手
粮食种植能手
现从这90名村民代表中任选一名去参与迷宫设计讨论，记事件 为“选到的为女村民代表”，事件 为“选到
的为粮食种植能手”．若事件 与事件 相互独立，求 的值．
已知椭圆
的离心率
．
(1)若椭圆 过点
(2)若直线 ， 均过点
，求椭圆 的标准方程．
且互相垂直，直线 交椭圆 于
的中点，直线 与 轴交于点 ，设
两点，直线 交椭圆
.
于
两点，
分别为弦
和
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）记
，求数列
的前 项和
．

若
内一点 满足
，则称点 为
的布洛卡点， 为
的布洛
卡角．如图，已知
中，
，
，
，点 为的布洛卡点， 为
的布洛卡角．
(1)若
(2)若
，且满足
为锐角三角形．
，求
的大小．
（ⅰ）证明：
（ⅱ）若 平分
．
，证明：
．