2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡湘府中学高二（上）入学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡湘府中学高二（上）入学数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡湘府中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题（40分）
1．（5分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
2．（5分）已知向量，（x＞0），若，则（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且2，N为BC的中点，则（　　）

A． B．
C． D．
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，b＝3，a，则c＝（　　）
A． B．2 C．3 D．3
5．（5分）在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（　　）

A．40 B．39 C．38 D．37
7．（5分）给出如下四个命题，正确的有（　　）
A．平行于同一个平面的两条直线是平行直线
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C．若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，则α∥β
D．若平面α⊥β，α∩β＝l，过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线垂直于平面β
8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c+2b＝3a，2sinC＝3sinA，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（20分）
（多选）9．（5分）下面结论正确的是（　　）
A．若P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是互为对立事件
B．若P（AB）＝P（A） P（B），则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
（多选）10．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列说法正确的是（　　）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是（，，0）
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
（多选）11．（5分）已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β
（多选）12．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论正确的是（　　）
A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B．若，则A＝45°
C．若a2+b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形
D．若A＜B，则cosA＜cosB
三、填空题（20分）
13．（5分）已知随机事件A，B互斥，且P（A+B）＝0.8，P（A）＝0.3，则P（B）＝　 　．
14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，，且△ABC的面积为，则b＝　 　．
15．（5分）已知2，且||＝||＝2，||＝1，则向量与的夹角为 　 　．
16．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若4bS＝a（b2+c2﹣a2），则sinA+sinC的最大值是 　 　．
四、解答题（70分）
17．（10分）已知复数z1＝x﹣2i，z2＝1﹣yi，其中i是虚数单位，x，y为实数．
（1）若x＝﹣1，y＝1，求|z1﹣z2|的值；
（2）若，求x，y的值．
18．（12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），⋅⋅⋅，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在[50，60）内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．

19．（12分）已知平面向量，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）．
20．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2sinB﹣sinC＝2sinAcosC．
（1）求A；
（2）若bcsinA＝4，求a的取值范围．
21．（12分）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．
（Ⅰ）证明：AB⊥PM；
（Ⅱ）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．


2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡湘府中学高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（40分）
1．（5分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【解答】解：因为（1+ai）i＝3+i，即﹣a+i＝3+i，
由复数相等的定义可得，﹣a＝3，即a＝﹣3．
故选：C．
2．（5分）已知向量，（x＞0），若，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵向量，（x＞0），，
∴（2）•（）2•（9+4）﹣2（x2+1）+（3x﹣2）＝0，
∴x＝3或 （舍去），
则，
故选：B．
3．（5分）如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且2，N为BC的中点，则（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：连接ON，
∵N是BC的中点，∴，
∵2，∴，
∴，
故选：B．

4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，b＝3，a，则c＝（　　）
A． B．2 C．3 D．3
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，b＝3，a，
利用余弦定理：b2＝a2+c2﹣2accosB，
整理得：，
解得c＝2或（负值舍去），
所以c＝2．
故选：B．
5．（5分）在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：（），
故选：B．
6．（5分）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（　　）

A．40 B．39 C．38 D．37
【解答】解：由频率分布直方图得：
[18，36）的频率为：（0.013+0.023+0.034）×6＝0.42，
[36，42）的频率为：0.04×6＝0.24，
∴估计该地接种年龄的中位数为：3638．
故选：C．
7．（5分）给出如下四个命题，正确的有（　　）
A．平行于同一个平面的两条直线是平行直线
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C．若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，则α∥β
D．若平面α⊥β，α∩β＝l，过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线垂直于平面β
【解答】解：A．平行于同一个平面的两条直线平行，相交或异面，故A错误；
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质知，故B正确；
C．若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离都相等，α//β或相交，故C错误；
D．反例：若平面α⊥β，α∩β＝l，当过平面α内的点在交线l上作交线l的垂线，则此垂线不一定垂直于平面β，故D错误；
故选：B．
8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c+2b＝3a，2sinC＝3sinA，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由2sinC＝3sinA及正弦定理可得2c＝3a，
由c+2b＝3a，得，则，
所以．
故选：C．
二、多选题（20分）
（多选）9．（5分）下面结论正确的是（　　）
A．若P（A）+P（B）＝1，则事件A与B是互为对立事件
B．若P（AB）＝P（A） P（B），则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
【解答】解：对于A：例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，P（A）为选中a、b两个球的概率：0.5，P（B）为选中b，c两个球的概率：0.5，P（A）+P（B）＝1，但A，B不是对立事件．故A错误；
对于B，若P（AB）＝P（A） P（B），则事件A与B是相互独立事件，故B正确；
对于C，假设一个随机事件由A、B、C、D这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件中含有事件B、C、D，事件中含有事件A、C、D，则A与不互斥，故C错误；
对于D，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故D正确，
故选：BD．
（多选）10．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列说法正确的是（　　）
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是（，，0）
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
【解答】解：空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），
对于A，（2，1，0），（﹣1，2，1），∴与不是共线向量，故A错误；
对于B，（2，1，0），（，，0），故B正确；
对于C，（2，1，0），（﹣3，1，1），
∴和夹角的余弦值是：
cos，故C错误；
对于D，（2，1，0），（﹣1，2，1），
设平面ABC的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣2，5），故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β
【解答】解：m，n是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，
对于A，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则由线面平行的性质得m∥n，故A正确；
对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
对于D，若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n∥β或n⊂β，故D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，下面四个结论正确的是（　　）
A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B．若，则A＝45°
C．若a2+b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形
D．若A＜B，则cosA＜cosB
【解答】解：A．a＝2，A＝30°，设△ABC的外接圆半径是R，则2R4，解得R＝2，因此不正确；
B.，由正弦定理可得：1，∴tanA＝1，A∈（0°，180°）∴A＝45°，因此B正确；
C．∵a2+b2＜c2，则cosC0，∴C为钝角，∴△ABC一定是钝角三角形，因此C正确；
D．∵A＜B，A，B∈（0°，180°），∴cosA＞cosB，因此D不正确．
故选：BC．
三、填空题（20分）
13．（5分）已知随机事件A，B互斥，且P（A+B）＝0.8，P（A）＝0.3，则P（B）＝　0.5　．
【解答】解：∵随机事件A，B互斥，且P（A+B）＝0.8，P（A）＝0.3，
∴P（B）＝P（A+B）﹣P（A）＝0.8﹣0.3＝0.5．
故答案为：0.5．
14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，，且△ABC的面积为，则b＝　　．
【解答】解：由正弦定理可得，即csinB＝bsinC，则，解得c＝2，
又，解得a＝4，
则由余弦定理可得，则．
故答案为：2．
15．（5分）已知2，且||＝||＝2，||＝1，则向量与的夹角为 　　．
【解答】解：已知2，
则，
又||＝||＝2，||＝1，
4，
即，
则，
又，
即，
故答案为：．
16．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若4bS＝a（b2+c2﹣a2），则sinA+sinC的最大值是 　　．
【解答】解：由题设，，则，
∴，又 B为钝角即A为锐角，
∴，即，又C＝π﹣（A+B），
∴且，
而sinA+sinC＝sinA+sin（A+B）＝sinA（1+cosB）+cosAsinB＝sin2B﹣cos2B﹣cosB，
∴当时，sinA+sinC的最大值为．
故答案为：．
四、解答题（70分）
17．（10分）已知复数z1＝x﹣2i，z2＝1﹣yi，其中i是虚数单位，x，y为实数．
（1）若x＝﹣1，y＝1，求|z1﹣z2|的值；
（2）若，求x，y的值．
【解答】解：（1）∵x＝﹣1，y＝1，
∴z1＝﹣1﹣2i，z2＝1﹣i，
∴z1﹣z2＝﹣2﹣i，
∴|z1﹣z2|．
（2）∵，
∴x﹣2i＝（1﹣yi）2，即x﹣2i＝1﹣y2﹣2yi，即，解得x＝0，y＝1．
18．（12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），⋅⋅⋅，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在[50，60）内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．

【解答】解：（1）由（0.005+0.01+0.035+0.030+x）×10＝1，解得x＝0.02．
（2）这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝77．
中位数设为m，则0.05+0.2+（m﹣70）×0.035＝0.5，解得．
（3）满意度评分值在[50，60）内有100×0.005×10＝5人，其中男生3人，女生2人．记为A1，A2，A3，B1，B2，
记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A，
从5人中抽取2人有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2
所以总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，
所以 ．
19．（12分）已知平面向量，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）．
【解答】解：（1）设，
∵，
∴x＝﹣2y，
又，
∴x2+y2＝625，
∴y2＝125，
∴，
∴或，
∴或；
（2），
∴，
∴在上的投影向量为．
20．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2sinB﹣sinC＝2sinAcosC．
（1）求A；
（2）若bcsinA＝4，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
又∵2sinB﹣sinC＝2sinAcosC，
∴2（sinAcosC+cosAsinC）﹣sinC＝2sinAcosC，
∴2cosAsinC﹣sinC＝0，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠0，
∴，
∵0＜A＜π，
∴．
（2）bcsinA＝4，，
则，解得bc＝16，
由余弦定理可知，a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝b2+c2﹣2bc•cosb2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc＝16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，
故a2≥16，
∵a＞0，
∴a≥4，
在△ABC中，b+c＞a恒成立，
∵b+c，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，
故a＜8，
综上所述，a的取值范围为[4，8）．
21．（12分）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
【解答】解：（1）设事件A表示“甲家庭回答正确这道题”，事件B表示“乙家庭回答正确这道题”，
事件C表示“丙家庭回答正确这道题”，
由题意得：，
解得乙家庭回答正确这道题的概率P（B），
丙家庭回答正确这道题的概率P（C）．
（2）甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为：
P＝P（ABC）+P（）+P（AC）+P（AB）

．
22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD．
（Ⅰ）证明：AB⊥PM；
（Ⅱ）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，由已知可得，CD＝AB＝1，
CMBC＝2，∠DCM＝60°，
∴由余弦定理可得，DM2＝CD2+CM2﹣2CD×CM×cos60°
，
则CD2+DM2＝1+3＝4＝CM2，即CD⊥DM，
又PD⊥DC，PD∩DM＝D，∴CD⊥平面PDM，
而PM⊂平面PDM，∴CD⊥PM，
∵CD∥AB，∴AB⊥PM；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PDM，
又CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PDM，
且平面ABCD∩平面PDM＝DM，
∵PM⊥MD，且PM⊂平面PDM，∴PM⊥平面ABCD，
连接AM，则PM⊥MA，
在△ABM中，AB＝1，BM＝2，∠ABM＝120°，
可得，
又PA，在Rt△PMA中，求得PM，
取AD中点E，连接ME，则ME∥CD，可得ME、MD、MP两两互相垂直，
以M为坐标原点，分别以MD、ME、MP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（，2，0），P（0，0，），C（），
又N为PC的中点，∴N（），，
平面PDM的一个法向量为，
设直线AN与平面PDM所成角为θ，
则sinθ＝|cos|．
故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为．

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