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湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期期末适应性考数学试题（学生版）
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这是一份湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期期末适应性考数学试题（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，，则实部与虚部分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数部分图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知角始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且，若关于的方程有4个不同实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0．
9. 若a，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A.
B. 若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C.
D. 若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
11. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ）
A. B. 当n为奇数时，
C. 数列为等比数列D. 数列前项和小于
12. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中的系数为______（用数字作答）.
14. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
15. 已知函数恰有两个零点，则______.
16. 在中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记为数列的前项和，若，.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
18. 已知的内角的对边分别为，为锐角，的面积为，.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）如图，若，，为内一点，且，，求的长.
19. 如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
21. 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若，当时，恒成立，求的最大值.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，，则实部与虚部分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数部分图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知角始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且，若关于的方程有4个不同实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0．
9. 若a，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A.
B. 若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C.
D. 若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
11. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ）
A. B. 当n为奇数时，
C. 数列为等比数列D. 数列前项和小于
12. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中的系数为______（用数字作答）.
14. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
15. 已知函数恰有两个零点，则______.
16. 在中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记为数列的前项和，若，.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
18. 已知的内角的对边分别为，为锐角，的面积为，.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）如图，若，，为内一点，且，，求的长.
19. 如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
21. 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
22. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知，若，当时，恒成立，求的最大值.
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