2024年江苏省宿迁市沭阳县沭河中学中考三模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年江苏省宿迁市沭阳县沭河中学中考三模数学试题（原卷版+解析版），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（ ）

A. B. C. D.
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
5. 下面四组a，b的值，能说明命题“若，则”是假命题的是 （ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
6. 如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（ ）
A. B. C. D.
8. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式的值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
10. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为_______．
11. 在实数范围内分解因式：x3﹣2x＝_____．
12. 若用一个半径为6半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为______．
13. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
14. 如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则的值为________．
15. 已知不等式组的解集是，则的值为_______．
16. 对于平面直角坐标系中的点，若N的坐标为，其中k为常数，且，则M、N互为“k系关联点”，比如：的“2系关联点”为，即：．若点的“系关联点”为，且满足，则m的值为_____．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将向右平移到的位置，点C、E、D依次与点A、O、B对应点，F是的中点，若反比例函数的图象经过点C和点F，则k的值是______．
18. 如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点B作的切线，切点为P，则切线长的最小值为______．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
20. 解关于的不等式组：，并求出它所有整数解的和．
21. 已知：如图，点为对角线中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．

22. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
23. 图1是某商场今年1－5月份各月商品销售总额统计图，图2是该商场今年1－5月份服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比统计图．观察图1和图2，解答下面问题：
（1）来自商场财务部的报告表明，商场1－5月份的销售总额一共是370万元，请你根据这一信息补全图1；
（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？
（3）小强观察图2后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？
24. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
25. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；
（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且AD＝AB，连接OD交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）条件下，
①求证：OD∥BC；
②连接BD交⊙O于点F，求证：DE•OD＝DF•BD．
26. 已知、、三地在同一条直线上，且地在、两地之间，轿车由地驶向地，货车由地经过地去地，两车同时出发，匀速行驶．货车速度是轿车速度的．如图是轿车、货车离站的路程，与行驶时间的函数关系图象．
（1）货车的速度为_______；、两地间的路程为______；
（2）货车出发后，经过多少时间两车相距?
27. 在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．
（1）概念理解：若为和谐三角形，且，则＝ ，＝ ，＝ ．（任意写一种即可）
（2）问题探究：如果在和谐三角形中，，那么度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若的度数改变，写出的变化范围；若的度数不变，写出的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：如图，内接于，为锐角，为圆的直径，．过点作，交直径于点E，交于点，若将分成的两部分的面积之比为，则一定为和谐三角形吗？请说明理由．
28. 某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：如图，抛物线与x轴正半轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C，点P为抛物线上位于第一象限内的一动点（P在B的右侧），过点A、P的直线交y轴于点M，过点B、P的直线交y轴于点N．试探究之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法：
（1）设，，．
①若点P的横坐标为3，请计算______；比较大小：______（填“<”，“>”或“=”）．
②若点P的横坐标为m，上述与之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）小明在研究时发现：当A、B两点的横坐标为时，将抛物线变形为，研究此问题更加方便，请借助小明的发现再次探究与之间的数量关系．
（3）连接 请利用上述经验，解决项目式问题，若，请直接写出k的取值范围______．
2023-2024初三第八次联考测试数学试卷
（时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解： ．
故选： D．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2. 提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
3. 餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由物体上方向下做正投影得到的视图叫做俯视图，据此求解即可．
【详解】解：最上方的圆形桌面在俯视图中体现为一个大圆，因从上往下看时可见，所以用实线表示；
下方的圆形面及四个圆柱形桌腿在俯视图中体现为一个较大的圆和四个小圆，因从上往下看时不可见，所以用虚线表示；
观察四个选项可知，只有D选项符合题意．
故选D．
本题考查三视图，解题的关键是掌握俯视图的定义，注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示．
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
5. 下面四组a，b的值，能说明命题“若，则”是假命题的是 （ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】将选项中的值依次代入计算再逐一判断即可．
【详解】解：A、，，满足，也满足，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
B、，，满足，但不满足，故能作为证明原命题是假命题的反例；
C、，，满足，也满足，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
D、，，满足，也满足，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
故选：B．
本题考查了判断命题与定理的真假，解题关键要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．
6. 如图，是半圆的直径，是半圆上的两点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系以及分式方程有意义的条件，由两支曲线的分界线在轴右侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负．
【详解】
的取值范围是
两支曲线的分界线位于轴的右侧
当时，函数图象位于轴的下方
当时，
又
故选：C．
8. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式的值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④．
【详解】解：①当，时，则，，
∴，
∴若，则错误，故①错误；
②当，时，
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
③∵，
当时，
，解得；
当时，
，解得；
当时，
，解得，舍去；
∴方程的解为或，故 ③错误；
④∵，
其图象为：
由图象可得：当时，，故④正确．
综上，正确的有②④，共2个，
故选：C．
本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握以上知识．
根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可．
【详解】解：在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
10. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：3600亿
，
故答案为：．
11. 在实数范围内分解因式：x3﹣2x＝_____．
【答案】x（x+）（x﹣）．
【解析】
【分析】提取公因式x后运用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：x3﹣2x＝x（x2﹣2）＝x（x+）（x﹣）．
本题考查提公因式法、平方差公式分解因式，把2写成（）2是继续利用平方差公式进行因式分解的关键．
12. 若用一个半径为6的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为______．
【答案】3
【解析】
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可．本题主要考查了圆锥的计算，需要掌握弧长计算公式以及圆周长计算公式．解答此类试题时注意：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：半径为6的半圆的弧长为：，
围成的圆锥的底面圆的周长为，
设圆锥的底面圆的半径为r，
则，
解得，
故答案为：．
13. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，将代数式展开后，整体代入计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴
；
故答案为：．
14. 如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，垂足为．根据格点和勾股定理先求出、，利用三角形的面积求出、，最后求出的正切．
【详解】解：过点作，垂足为．
由格点三角形可知：，
．
，
．
，
．
．
．
故答案为：．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
15. 已知不等式组的解集是，则的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：由得：，
由得：，
解集为，
，，
解得，，
则原式，
故答案为：1
16. 对于平面直角坐标系中的点，若N的坐标为，其中k为常数，且，则M、N互为“k系关联点”，比如：的“2系关联点”为，即：．若点的“系关联点”为，且满足，则m的值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】由点的“系关联点”为，可得，，再由，即可求得m的值．
【详解】∵点的“系关联点”为，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
即m的值是6．
故答案为：6．
本题考查点的坐标与新定义，熟练掌握新定义并列出方程是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将向右平移到的位置，点C、E、D依次与点A、O、B对应点，F是的中点，若反比例函数的图象经过点C和点F，则k的值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平移的性质，两点中点坐标公式，由平移的性质可得，设，则，则，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可得，
∵点A的坐标是，点B的坐标是
∴， ，
设，则，
∴，，
为的中点，
∴，
，
解得：，
，
故答案为：6．
18. 如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点B作的切线，切点为P，则切线长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，．
【详解】解：设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图，
则，，
，，，
平分，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
平分，，，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，即，
，
，，
，
设的半径为r，则，
，，
，
，即，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
是的切线，
，
，
当时，．
故答案为．
本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级计算，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和算术平方根，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】原式
20. 解关于的不等式组：，并求出它所有整数解的和．
【答案】，所有整数解的和为
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数求其和即可．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
原不等式组的整数解为：
所有整数解的和为：
21. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
22. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列举出所有可能结果；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为；
【小问2详解】
解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为．
本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 图1是某商场今年1－5月份各月商品销售总额统计图，图2是该商场今年1－5月份服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比统计图．观察图1和图2，解答下面问题：
（1）来自商场财务部的报告表明，商场1－5月份的销售总额一共是370万元，请你根据这一信息补全图1；
（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？
（3）小强观察图2后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？
【答案】（1）见详解 （2）10.5万元
（3）不同意，5月份服装部销售额比4月份增加了，见详解
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况．
（1）由条形统计图可知：该商场4月份的销售额为万元，故可补全统计图；
（2）由折线图可知：商场服装部5月份的销售额月份的总销售额服装部的月销售额占当月商场的百分比，即万元；
（3）5月份服装部的实际的销售额有万元，而4月份服装部的实际的销售额只有万元，则李强的看法错误．
【小问1详解】
解：4月份销售额为：万元，
所以补全统计图为：
【小问2详解】
解：万元；
【小问3详解】
解：李强的看法错误，4月份服装部的实际的销售额只有万元，
由于，
所以实际的销售额还是5月份多．
24. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，）
【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6
（2）线段的长度为21.8
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案；
（2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可．
【小问1详解】
解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6；
小问2详解】
如图，过点作于点H，于点，过点作于点，
则（），（），
∵，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴（），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（），
答：线段的长度为21.8 ．
25. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且tan∠ABC＝2；
（1）利用尺规过点A作⊙O的切线AD（点D在直线AB右侧），且AD＝AB，连接OD交AC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）条件下，
①求证：OD∥BC；
②连接BD交⊙O于点F，求证：DE•OD＝DF•BD．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析．
【解析】
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法作出AD⊥OA，根据解直角三角形可得tan∠AOD＝tan∠ABC，进而得出答案；
（2）易证△ADO∽△ADE可得AD2＝DO•DE，再证明△ABD∽△AFD，可得AD2＝BD•DF解答即可．
【详解】解：（1）作图所示，
（2）∵AB为⊙O直径，且点C在⊙O上
∴∠C＝90°
∵tan∠ABC＝2
设BC＝a，
则AC＝2a，AB＝，
∴，
∵AD⊥AB而且AD=AB＝，
∴在Rt△OAD中，，
∴tan∠AOD＝tan∠ABC
∴∠AOD＝∠ABC
∴OD∥BC；
②连接AF，
∵OD∥BC，
且∠C＝90°
∴∠AED＝90°
∵∠ADO＝∠ADE
∴△ADO∽△ADE，
∴即AD2＝DO•DE，
∵AB为⊙O直径，且点F在⊙O上即∠AFB＝90°，
∵∠BAD＝90°且∠ADB＝∠ADF
∴△ABD∽△AFD，
∴即AD2＝BD•DF，
即DO•DE＝BD•DF．
此题考查圆的综合题，关键是根据基本作图以及相似三角形的判定和性质解答．
26. 已知、、三地在同一条直线上，且地在、两地之间，轿车由地驶向地，货车由地经过地去地，两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是轿车速度的．如图是轿车、货车离站的路程，与行驶时间的函数关系图象．
（1）货车的速度为_______；、两地间的路程为______；
（2）货车出发后，经过多少时间两车相距?
【答案】（1），
（2）货车出发后，经过或小时间两车相距
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想分情况讨论是解答本题的关键．
（1）根据函数图象中的数据，可以先计算出轿车的速度，然后根据货车的速度是轿车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出、两地间的路程．
（2）根据函数图象中的数据，用待定系数法可以分别计算出轿车与行驶时间的函数关系式，货车与的函数关系式，然后分成、、这三种情况讨论即可．
【小问1详解】
由图象可得，轿车的速度为：，
∵货车的速度是轿车速度的，
∴货车速度为：，
∵货车从到，用了个小时，
∴的距离是，
∵的距离是，
∴、两地间的路程为：，
故答案为：，．
【小问2详解】
设轿车离站的路程与行驶时间的函数关系式是，
将和直接代入上式，可得，
解答，
故轿车离站的路程与行驶时间的函数关系式是．
设货车离站的路程与行驶时间的函数关系，
当时，由（1）可得直线经过和，代入上式，
可得，
解答，
故当时，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为．
∵、两地间的路程为，货车速度为，
故货车到、两地间的时间为，
∴当时，将 和，代入，
可得，
解答，
故当时，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为．
综上可得，货车离站的路程与行驶时间的函数关系为．
当时，如两车相距，即，
解得，
∵，
∴当时，两车不能相距．
当时，如两车相距，即，
解得，，
∵，
∴舍去，当时，，两车相距．
当时，如两车相距，即，
解得，，
∴当时，，两车相距．
综上所述，货车出发后，经过或小时间两车相距．
27. 在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．
（1）概念理解：若为和谐三角形，且，则＝ ，＝ ，＝ ．（任意写一种即可）
（2）问题探究：如果在和谐三角形中，，那么度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若的度数改变，写出的变化范围；若的度数不变，写出的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：如图，内接于，为锐角，为圆的直径，．过点作，交直径于点E，交于点，若将分成的两部分的面积之比为，则一定为和谐三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）30；60；90；
（2）的度数不变，，理由见解析；
（3）一定为和谐三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）依据题意可设为任意的连续的正整数比，根据三角形内角和可分别求得，，的度数；
（2）依据题意可设，其中，为正整数，根据三角形内角和可得，进而可以得解；
（3）依据题意，结合所给和谐三角形的定义可分两种情况讨论：①当时，如图1，连结，，过点O作于点G．设，可得，，，从而求得；再根据，可求得；结合，，，得到，推出，从而得出为等边三角形，可得，最后求出，即可判断得解；
②当时，如图2，连结，，过点O作于点G，同理可得，，，得到，推出为等腰直角三角形，可得，根据三个内角的度数之比为连续的正整数，即可判断得解．
【小问1详解】
由题意可设（其它任意连续正整数比亦可），
，
同理可得， ，，
故答案为：30；60；90．（答案不唯一）
【小问2详解】
由题意得可设，其中，为正整数，

度数不变，且．
【小问3详解】
一定为和谐三角形．理由如下：分两种情况讨论：
①当时，如图1，连结，，过点O作于点G，
设，
，
，，
，，
，
又
，
，
又
解得：
为等边三角形
为和谐三角形；
②当时，如图2，连结，，过点O作于点G
同理可得，，，
，，
，
，
等腰直角三角形，
，
，
，
为和谐三角形．
综上所述，一定为和谐三角形．
本题考查了和谐三角形的定义，圆周角定理及其推论，三角形内角和，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，理解和谐三角形的定义并熟练掌握以上知识点是解题的关键．
28. 某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：如图，抛物线与x轴正半轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C，点P为抛物线上位于第一象限内的一动点（P在B的右侧），过点A、P的直线交y轴于点M，过点B、P的直线交y轴于点N．试探究之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法：
（1）设，，．
①若点P的横坐标为3，请计算______；比较大小：______（填“<”，“>”或“=”）．
②若点P的横坐标为m，上述与之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）小明在研究时发现：当A、B两点的横坐标为时，将抛物线变形为，研究此问题更加方便，请借助小明的发现再次探究与之间的数量关系．
（3）连接 请利用上述经验，解决项目式问题，若，请直接写出k的取值范围______．
【答案】（1）①，=；②与之间的数量关系仍然成立，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①由题意得，抛物线的表达式为：，得到点、的坐标分别为：、，由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点的坐标为：，同理可得，点，即可求解；
②求出点的坐标为：，同理可得，点，即可求解；
（2）求出点的坐标为：，，同理可得，点，，即可求解；
（3）由，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的线段面积的计算等，属于探究行题目，难度适中．
【小问1详解】
解：①由题意得，抛物线的表达式为：，
当时，，即点，
令，则或2，
即点、的坐标分别为：、，
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点的坐标为：，
同理可得，点，
则，，
即，，
故答案为：，；
②与之间的数量关系仍然成立，理由如下：
设点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点的坐标为：，
同理可得，点，
则，，
即，；
即；
【小问2详解】
解：我的猜想是；理由如下：
设点，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则点的坐标为：，，
同理可得，点，，
则，，
即；
【小问3详解】
解：如图所示：连接
，
设，
由题意得： ，
，
故答案为：．