辽宁省鞍山五十一中教育集团2022-2023学年八年级下学期+质检数学试卷（6月份）（含答案与解析）

这是一份辽宁省鞍山五十一中教育集团2022-2023学年八年级下学期+质检数学试卷（6月份）（含答案与解析），共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列判断正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．（2分）一次函数y＝﹣2x+7的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2分）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
4．（2分）正比例函数y＝2x的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式（ ）
A．y＝2x﹣1B．y＝2x+2C．y＝2x﹣2D．y＝2x+1
5．（2分）如图，在△ABC中，BC＝22，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（ ）
A．2B．5C．3D．52
6．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
7．（2分）如图，已知四边形ABCD中，E是CD边上的一个动点，F是AD边上的一个定点，G，H分别是EF，EB的中点，当点E在CD上从C向D逐渐移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段GH的长逐渐增大
B．线段GH的长逐渐减少
C．线段GH的长保持不变
D．线段GH的长先增大后减小
8．（2分）甲、乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑200米，先到终点的人原地休息．已知甲先跑8米，乙才出发，在跑步过程中，甲、乙两人的距离s（单位：米）与乙出发的时间t（单位：秒）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）
A．44B．46C．48D．50
9．（2分）直线y1＝k1x+b与直线y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x≤﹣3D．x≥﹣3
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．不能确定
二．填空题。（每题2分，共20分）
11．（2分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为 ．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
13．（2分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝60°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为 ．
14．（2分）已知直线y＝（m﹣5）x+m﹣4不经过第三象限，则m的取值范围是 ．
15．（2分）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系 ．
16．（2分）已知直线y＝kx+b在y轴上的截距为3，且经过点（1，4），那么这条直线的表达式为 ．
17．（2分）边长为4的正方形ABCD中，E、F、G分别为AB、CD、AD上的中点，连接EF、CG交于点N，以点C为圆心，CB为半径的弧交EF于点M，则MN＝ ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 ．
19．（2分）甲乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均在同一路线上匀速行驶，乙到B地后即停车等甲，甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为 小时．
20．（2分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝3x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A6的坐标为 ；点A2020的坐标为 ．
三．解答题。（共60分）
21．（6分）计算题：
（1）（43-613+312）÷23+（-13）﹣1；
（2）（﹣3）0-27+|1-2|+12+3．
22．（8分）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量a＝ 升；
（2）在行驶了 小时汽车加油，加了 升，写出加油前Q与t之间的关系式 ；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点A作AF∥BD，过点B作BF∥AC，两线相交于点F．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）连接CF，交BD于点G，若BD⊥CF，请直接写出∠AED的度数为 度．
24．（10分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．
25．（8分）如图，直线l1：y＝2x﹣3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（0，2），与l1交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ABD的面积．
26．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，点D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG，
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由．
（2）若正方形ABCD的边长为6，∠BAG＝75°，求线段BG的长．
27．（8分）今年发布的“十四五”规划建议中指出：“治理城乡生活环境，消除城市黑臭水体”，为响应国家号召，某市准备购买甲、乙两种品牌的污水处理器，已知2套甲品牌污水处理器和3套乙品牌污水处理器共需21万元，4套甲品牌污水处理器和5套乙品牌污水处理器共需37万元．
（1）甲、乙两种品牌污水处理器的单价分别是多少万元？
（2）某市准备购买两种品牌的污水处理器共80套，要求甲品牌污水处理器的数量不能超过乙品牌污水处理器的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．
2020-2021学年辽宁省鞍山五十一中教育集团八年级（下）质检数学试卷（6月份）
答案与解析
一、选择题。（每题2分，共20分）
1．（2分）下列判断正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据菱形的判断方法、矩形、正方形的判断方法逐项分析即可．
【解答】解：A、两条对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
C、对角线相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；说法错误，不符合题意．
故选：A．
2．（2分）一次函数y＝﹣2x+7的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+7，k＝﹣2，b＝7，
∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
3．（2分）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【分析】由y﹣3与x+5成正比例，可设y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3．把x＝﹣2代入得不等式，可解得k＜﹣1，再判断5k+3的符号即可．
【解答】解：∵y﹣3与x+5成正比例，
∴设y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3．
当x＝﹣2时，y＜0，
即﹣2k+5k+3＜0，整理得3k+3＜0，
解得：k＜﹣1．
∵k＜﹣1，
∴5k+3＜﹣2，
∴y＝kx+5k+3的图象经过第二、三、四象限．
故选：D．
4．（2分）正比例函数y＝2x的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式（ ）
A．y＝2x﹣1B．y＝2x+2C．y＝2x﹣2D．y＝2x+1
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将正比例函数y＝2x的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝2x﹣1．
故选：A．
5．（2分）如图，在△ABC中，BC＝22，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（ ）
A．2B．5C．3D．52
【分析】过B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质求出AE＝DE，求出AE＝DE＝CD，1救出CE＝BE＝2，求出AE＝1，再根据勾股定理求出答案即可．
【解答】解：过B作BE⊥AC于E，
∵AB＝BD，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE，
∵D是AC的三等分点（AD＞CD），
∴AE＝DE＝DC，
在Rt△BEC中，BC＝22，∠C＝45°，
∴∠EBC＝∠C＝45°，
∴BE＝CE，
由勾股定理得：2BE2＝BC2＝（22）2＝8，
解得：BE＝EC＝2，
∴AE＝1，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=AE2+BE2=12+22=5，
故选：B．
6．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠ODA＝90°，根据勾股定理，即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm，
∴OA＝OC=12AC＝5（cm），OB＝OD=12BD＝3（cm），
∵∠ODA＝90°，
∴AD=AO2-DO2=25-9=4（cm），
∴BC＝AD＝4（cm），
故选：A．
7．（2分）如图，已知四边形ABCD中，E是CD边上的一个动点，F是AD边上的一个定点，G，H分别是EF，EB的中点，当点E在CD上从C向D逐渐移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段GH的长逐渐增大
B．线段GH的长逐渐减少
C．线段GH的长保持不变
D．线段GH的长先增大后减小
【分析】连接BF，根据三角形中位线定理得到GH=12BF，得到线段GH的长保持不变．
【解答】解：连接BF，
∵G，H分别是EF，EB的中点，
∴GH是△EFB的中位线，
∴GH=12BF，
∵F是AD边上的一个定点，
∴BF的长是不变的，
∴当点E在CD上从C向D逐渐移动时，线段GH的长保持不变，
故选：C．
8．（2分）甲、乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑200米，先到终点的人原地休息．已知甲先跑8米，乙才出发，在跑步过程中，甲、乙两人的距离s（单位：米）与乙出发的时间t（单位：秒）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）
A．44B．46C．48D．50
【分析】乙的速度为200÷40＝5（米/秒），由追击问题可以求出甲的速度，即可得出结论．
【解答】解：由题意，得
乙的速度为：200÷40＝5（米/秒），
甲的速度为：（5×8﹣8）÷8＝4（米/秒），
a＝（200﹣8）÷4＝48（秒）．
故选：C．
9．（2分）直线y1＝k1x+b与直线y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x≤﹣3D．x≥﹣3
【分析】结合函数图象，写出直线y2＝k2x在直线y1＝k1x+b上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵直线y1＝k1x+b与直线y2＝k2x的交点的横坐标为﹣3，
∴当x≤﹣3时，y2≥y1，
∴关于x的不等式k1x+b≤k2x的解集为x≤﹣3．
故选：C．
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．不能确定
【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，求出AB＝CF＝2，BF＝CE＝1，根据全等三角形的判定推出△ABF≌△FCE，根据全等三角形的性质得出AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，求出∠AFE＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，
∵点E是CD的中点，FC＝2BF，
∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2，
∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1，
在△ABF和△FCE中，
AB=CF∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，
∵∠B＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣90°＝90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝45°，
故选：B．
二．填空题。（每题2分，共20分）
11．（2分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为 2 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠AFB＝∠FBC，由角平分线可得∠ABF＝∠FBC，所以∠AFB＝∠ABF，所以AF＝AB＝6，同理可得DE＝CD＝6，则根据EF＝AF+DE﹣AD即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．
∴∠AFB＝∠FBC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC．
∴∠AFB＝∠ABF．
∴AF＝AB＝6．
同理可得DE＝DC＝6．
∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．
故答案为：2．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （5，21） ．
【分析】由A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）可得菱形边长，Rt△AOD中求出OD从而可得D坐标，即可得出C坐标．
【解答】解：∵A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，AB＝5，
∵菱形ABCD，
∴AD＝AB＝CD＝5，
Rt△AOD中，OD=AD2-OA2=21，
∴D（0，21），
∴C（5，21），
故答案为：（5，21）．
13．（2分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝60°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为 33 ．
【分析】连接AC，BD交于点O，利用等边三角形的性质求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO和AB的长，利用勾股定理求得OB后即可求得EF的长．
【解答】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，AC⊥BD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
∴OA＝3，
∴OB=AB2-OA2=36-9=33，
∴BD＝2OB＝63，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF=12BD＝33，
故答案为：33．
14．（2分）已知直线y＝（m﹣5）x+m﹣4不经过第三象限，则m的取值范围是 4≤m≤5 ．
【分析】分直线不是一次函数、直线经过第二、四象限和直线经过第一、二、四象限三种情况考虑，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于m的不等式（或方程），解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：分三种情况考虑．
当m﹣5＝0，即m＝5时，直线为y＝1，不经过第三象限，符合题意；
当直线y＝（m﹣5）x+m﹣4经过第二、四象限时，m-5＜0m-4=0，
解得：m＝4；
当直线y＝（m﹣5）x+m﹣4经过第一、二、四象限时，m-5＜0m-4＞0，
解得：4＜m＜5．
∴m的取值范围是4≤m≤5．
故答案为：4≤m≤5．
15．（2分）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系 b＞a＞c ．
【分析】根据正比例函数的性质，可以判断a、b、c的大小关系，然后即可用“＞”表示a，b，c的不等关系．
【解答】解：由图象可得，
c＜0，b＞a＞0，
∴b＞a＞c，
故答案为：b＞a＞c．
16．（2分）已知直线y＝kx+b在y轴上的截距为3，且经过点（1，4），那么这条直线的表达式为 y＝x+3 ．
【分析】根据“在y轴上的截距为3”计算求出b值，然后代入点（1，4）即可得解．
【解答】解：∵直线y＝kx+b在y轴上的截距为3，
∴b＝3，
∴y＝kx+3，
∵经过点（1，4），
∴4＝k+3，
∴k＝1，
∴这条直线的解析式是y＝x+3．
故答案是：y＝x+3．
17．（2分）边长为4的正方形ABCD中，E、F、G分别为AB、CD、AD上的中点，连接EF、CG交于点N，以点C为圆心，CB为半径的弧交EF于点M，则MN＝ 23-1 ．
【分析】根据题意可得FN是△CGD的中位线，即可求出FN的长度，再根据勾股定理可求出MF的长度，即可得出答案．
【解答】解：∵E、F、G分别为AB、CD、AD上的中点，
∴EF∥AD，
∴FN是△CGD的中位线，
∴FN=12GD=1，
又∵CM＝4，FC＝2，
∴MF=MF2-FC2=42-22=23，
∴MN＝MF﹣FN＝23-1．
故答案为：23-1．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为 63 ．
【分析】利用三角形中位线定理求出CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出AB，利用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵CB＝BE，DF＝FE，
∴CD＝2BF＝6，
∵AD＝DB，∠ACB＝90°，
∴AB＝2CD＝12，
∴BC=AB2-AC2=122-62=63，
故答案为：63．
19．（2分）甲乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均在同一路线上匀速行驶，乙到B地后即停车等甲，甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为 0.5 小时．
【分析】根据速度＝路程÷时间，可求甲骑自行车的速度为10÷1＝10千米/小时，根据乙出发0.25小时追上甲，设乙速度为x千米/小时，列方程求出乙速度，设追上后到达B地的时间是y小时，根据追击路程列方程求解，再把两个时间相加即可求解．
【解答】解：由图象可得：甲骑自行车的速度为10÷1＝10千米/小时，乙出发0.25小时追上甲，
设乙速度为x千米/小时，
0.25x＝1.25×10，
解得：x＝50，
∴乙速度为50（千米/小时），
设乙追上后到达B地的时间是y小时，
50y﹣10y＝10，
解得：y＝0.25，
∴乙从A地到B地所用的时间为0.25+0.25＝0.5（小时），
故答案为：0.5小时．
20．（2分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝3x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A6的坐标为 （﹣27，27） ；点A2020的坐标为 （31010，﹣31010） ．
【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（﹣32n+1，32n+1），A4n+3（﹣32n+1，﹣32n+2），A4n+4（32n+2，﹣32n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2020＝505×4即可找出点A2020的坐标．
【解答】解：当x＝1时，y＝3x＝3，
∴点A1的坐标为（1，3）；
当y＝﹣x＝3时，x＝﹣3，
∴点A2的坐标为（﹣3，3）；
同理可得：A3（﹣3，﹣9），A4（9，﹣9），A5（9，27），A6（﹣27，27），A7（﹣27，﹣81），…，
∴A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（﹣32n+1，32n+1），
A4n+3（﹣32n+1，﹣32n+2），A4n+4（32n+2，﹣32n+2）（n为自然数）．
∵2020＝505×4，
∴点A2020的坐标为（31010，﹣31010），
故答案为：（﹣27，27），（31010，﹣31010）．
三．解答题。（共60分）
21．（6分）计算题：
（1）（43-613+312）÷23+（-13）﹣1；
（2）（﹣3）0-27+|1-2|+12+3．
【分析】（1）先化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算括号内二次根式的加减法，继而计算除法，从而得出答案；
（2）先计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号、分母有理化，再进一步计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝（43-23+63）÷23-3
＝83÷23-3
＝4﹣3
＝1；
（2）原式＝1﹣33+2-1+3-2
＝﹣23．
22．（8分）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量a＝ 42 升；
（2）在行驶了 5 小时汽车加油，加了 24 升，写出加油前Q与t之间的关系式 Q＝﹣6t+42（0≤t≤5） ；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
【分析】（1）观察函数图象，即可得出结论；
（2）察函数图象即可得加油时的时间和加油数量，再根据加油前油箱剩余油量＝42﹣每小时耗油量×行驶时间，即可得出结论，再用待定系数法求出函数解析式；
（3）根据题意列式计算即可解答．
【解答】解：（1）开始时，汽车的油量a＝42升；
故答案为：42．
（2）在5小时汽车加油，加了：36﹣12＝24（升），
机动车每小时的耗油量为（42﹣12）÷5＝6（升），
∴加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系为Q＝kt+b，（0≤t≤5），
把（0，42）和（5，12）代入得：42=b12=5k+b，
解得：k=-6b=42，
函数关系式为：Q＝﹣6t+42（0≤t≤5）．
故答案为：5；24；Q＝﹣6t+42（0≤t≤5）．
（3）36﹣6×（9﹣5）＝12（升），
答：这辆汽车行驶9小时，剩余油量12升．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点A作AF∥BD，过点B作BF∥AC，两线相交于点F．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）连接CF，交BD于点G，若BD⊥CF，请直接写出∠AED的度数为 60 度．
【分析】（1）先证明四边形AEBF是平行四边形，再由矩形的性质得出AE＝BE＝DE，即可得出四边形AEBF是菱形；
（2）连接EF，由菱形的性质得出AE＝BE＝AF＝BF，证出△AEF和△BEF是等边三角形，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AF∥BD，BF∥AC，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE，BE＝DE，AC＝BD，
∴AE＝BE＝DE，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）连接EF，
∵四边形AEBF是菱形，
∴AE＝BE＝AF＝BF，
∵BD∥AF，BD⊥CF，
∴∠AFG＝∠DGC＝90°，
∵AE＝EC，
∴EF＝AE＝EC，
∴AE＝EF＝AF＝EB＝BF，
∴△AEF是等边三角形，△BEF是等边三角形，
∴∠AEF＝∠BEF＝60°，
∴∠AED＝60°，
故答案为60．
24．（10分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME=12BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BME+∠CMD，然后求出∠DME＝60°，再根据等边三角形的判定方法解答．
【解答】（1）证明：连接ME，MD．
∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，
∴MD＝ME=12BC，
∴点N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，
∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，
∴∠DME＝60°，
∴△EDM是等边三角形．
25．（8分）如图，直线l1：y＝2x﹣3与x轴交于点A，直线l2经过点B（4，0），C（0，2），与l1交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ABD的面积．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）△ABD的面积=12×AB×|yD|=12×2.5×1=54．
【解答】解：（1）设直线l2的表达式为y＝kx+b，
∵直线l2经过点B（4，0），C（0，2），
∴4k+b=0b=2，解得k=-12b=2，
故直线l2的表达式为y=-12x+2；
（2）对于y＝2x﹣3，令y＝0，则2x﹣3＝0，解得x＝1.5，故点A（1.5，0），
则AB＝2.5，
联立l1、l2的表达式得y=2x-3y=-12x+2，解得x=2y=1，
故点D（2，1），
∴△ABD的面积=12×AB×|yD|=12×2.5×1=54．
26．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，点D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG，
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由．
（2）若正方形ABCD的边长为6，∠BAG＝75°，求线段BG的长．
【分析】（1）连接CG．由正方形的性质得到A、C关于对角线BD对称，求得GA＝GC，根据矩形的判定定理得到四边形EGFC是矩形，求得CF＝GE，根据勾股定理即可得到结论；
（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可求得结果．
【解答】解：（1）结论：AG2＝GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF＝GE，
在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2+CF2，
∴AG2＝GF2+GE2；
（2）过点A作AH⊥BG于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF＝45°，
∵∠BAG＝75°，
∴∠AGB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAG＝60°，
∴∠GAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB=6，
∴AH2＝BH2=AB22=3，
∴AH＝BH=3，
在Rt△AGH中，∵AH=3，∠GAH＝30°，
∴AG＝2HG，
∵AG2＝HG2+AH2，
∴（2HG）2＝HG2+（3）2，
解得：HG＝1，
∴BG＝BH+HG=3+1．
27．（8分）今年发布的“十四五”规划建议中指出：“治理城乡生活环境，消除城市黑臭水体”，为响应国家号召，某市准备购买甲、乙两种品牌的污水处理器，已知2套甲品牌污水处理器和3套乙品牌污水处理器共需21万元，4套甲品牌污水处理器和5套乙品牌污水处理器共需37万元．
（1）甲、乙两种品牌污水处理器的单价分别是多少万元？
（2）某市准备购买两种品牌的污水处理器共80套，要求甲品牌污水处理器的数量不能超过乙品牌污水处理器的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．
【分析】（1）设甲品牌污水处理器的单价为x万元，乙品牌污水处理器的单价为y万元，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种品牌污水处理器m套，则购买乙种品牌污水处理器（80﹣m）套，费用为w万元，列出w关于m的表达式，再根据甲品牌污水处理器的数量不能超过乙品牌污水处理器的数量的3倍得出m的取值范围，利用函数的增减性当m取最大值60时费用最低，并求出最低费用．
【解答】解：（1）设甲品牌污水处理器的单价为x万元，乙品牌污水处理器的单价为y万元，
根据题意得：2x+3y=214x+5y=37．
解得：x=3y=5．
答：甲种品牌污水处理器的单价是3万元，乙品牌污水处理器的单价为5万元；
（2）设购买甲种品牌污水处理器m套，则购买乙种品牌污水处理器（80﹣m）套，费用为w万元，
w＝3m+5（80﹣m）＝﹣2m+400，
∵甲品牌污水处理器的数量不能超过乙品牌污水处理器的数量的3倍，
∴m≤3（80﹣m），
解得：m≤60，
∵w＝﹣2m+400，k＝﹣2＜0，
∴w随m的增大而减少，
∴当m＝60时，w取得最大值，此时w＝280（万元），80﹣m＝20（套）．
答：购买甲种品牌污水处理器60套，则购买乙种品牌污水处理器20套，最低费用为280万元．