数学：广东省2024届高三三模试题（解析版）

这是一份数学：广东省2024届高三三模试题（解析版），共15页。试卷主要包含了故选， 若正数，满足， 已知集合，，集合满足，则等内容，欢迎下载使用。
1. 以下数据为某学校参加数学竞赛10人的成绩：（单位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，则这10个成绩的第75百分位数是（ ）
A. 90B. 89C. 88D. 88.5
【答案】A
【解析】从小到大排序这10个数据为72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，
因为，所以这10个成绩的第75百分位数是第8个数90.故选：A.
2. 在复平面内，若，则对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为，可得，所以对应的点为，位于第四象限.故选：D.
3. 已知是等差数列的前项和，若，，则数列的首项（ ）
A. 3B. 2C. 1D. -1
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，因为，可得，即，所以，
又因为，可得，即，联立解得，.
故选：B.
4. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为，
对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D；
对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C；
对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B.
故选：A.
5. 若正数，满足：，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因为，为正数，所以，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时，取等号.
故选：B.
6. 在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，
由题意可知：关于A的方程：在有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，

因为它们有两个不同的交点，所以，所以.
故选：C.
7. 在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由点的纵坐标为，得，，显然，
而，即，又，
因此， ，有，
，显然点在第四象限，
所以点的纵坐标为.
故选：B
8. 在半径为的半球内放入一个正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四个顶点位于半球面上，下底面与半球的大圆面重合，则正四棱柱体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】显然正四棱柱上底面正方形为与半球底面平行的截面圆的内接正方形，
设正四棱柱的高为，则正四棱柱上底面外接圆半径，上底面边长为，
因此正四棱柱体积，显然，
求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，所以正四棱柱体积的最大值为.
故选：
二､多选题
9. 已知集合，，集合满足，则（ ）
A. ，B. 集合可以为
C. 集合的个数为7D. 集合的个数为8
【答案】AC
【解析】由题意得，，又.
所以，，故A正确；
当时，不满足，B错误，
集合的个数等价于集合的非空子集的个数，
所以集合的个数为，故C正确，D错误，
故选：AC.
10. 已知椭圆的长轴端点分别为､两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A. 的离心率为B. 的周长为
C. 面积的最大值为D.
【答案】ABD
【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的离心率为，A正确；
对于B，的周长为，B正确；
对于C，，设，，
则面积的最大值为，C错误；
对于D，，，，
因此，D正确.
故选：ABD

11. 已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为
B. 与所成的角为
C. 过三点的平面截正方体所得截面图形为等腰梯形
D. 平面与平面夹角的正切值为
【答案】ACD
【解析】正方体的棱长为分别为棱的中点，
对于A，三棱锥的体积，A正确；
对于B，，则是与所成的角或其补角，而，
因此与所成的角为，B错误；
对于C，连接，由，得，则，
而，，因此平面截正方体所得截面图形为等腰梯形，C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，，
，设平面的法向量，
则，令，得，显然平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
，则，D正确.
故选：ACD
三､填空题
12. 函数，设为的最小正周期，若，则________.
【答案】
【解析】函数，最小正周期，
由于，，
又，可得.
故答案为：.
13. 展开式中项的系数为________.
【答案】30
【解析】展开式的通项表达式为，
当时，，
.故答案为:30.
14. 已知正方形的边长为，两个点，（两点不重合）都在直线的同侧（但，与在直线的异侧），，关于直线对称，若，则面积的取值范围是________.
【答案】
【解析】以为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
设，，所以，，
因为，所以，即位于双曲线的右支上，渐近线方程为或，
直线与直线：的距离为，即点到直线的距离的取值范围是，
又，所以面积的取值范围是.
因为不重合，故不重合，故面积不为，

故答案为：.
四､解答题
15. 已知函数，其中为常数.
（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；
（2）若，使成立，求的最小值.
解：（1）
设切点坐标为，则切线方程为，
因为切线经过原点，所以，解得，
所以切线的斜率为，所以的方程为.
（2），，即成立，
则得在有解，
故有时，.
令，，，
令得；令得，
故在单调递减，单调递增，
所以，
则，故的最小值为.
16. 某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.
（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；
（2）若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.
解：（1）设事件“一个会员所获得红包总金额不低于90元”，
因为每次摸出的球不放回袋中，所以.
（2）由已知得，，
因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为，，，
所以，，
，
，，
所以得分布列为
所以.
17. 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为.
（1）求证：；
（2）若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：因为，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，所以，
底面圆，而底面圆，则，
，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为，圆锥的体积为，所以，所以，
因为，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
即平面的法向量为，
显然，
又底面圆，底面圆，
所以，
所以，，两两垂直，
以原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
由题意，
点在圆上，则，如图所示，
在中，，则，
过作轴的垂线，垂足为，
有，，则，
得， 所以，，，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知为抛物线：的焦点，，，是上三个不同的点，直线，，分别与轴交于，，，其中的最小值为4.
（1）求的标准方程；
（2）的重心位于轴上，且，，的横坐标分别为，，，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
解：（1）因为直线通过抛物线的焦点，所以线段为抛物线的焦点弦，
如图，设，，线段的中点，
由抛物线定义可得，
由平面几何的性质得当且仅当轴时，取得最小值为，所以，
所以抛物线的标准方程为.

（2）依题知直线的倾斜角不为0，则设直线的方程为.
设，，，
由，得，则，
因为的重心位于轴上，所以，
所以，，所以，
，，
因为A，E，C三点共线，所以，
所以，
显然，解得，，同理可得，
又
，
则
，所以定值1.

19. 数列满足则称数列为下凸数列.
（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
（2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；
（3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.
证明：（1）设正项等比数列的公比为，
则，即，
所以任意一个正项等比数列为下凸数列.
（2）显然，
，
所以正项数列为下凸数列.
下面证明：正项数列不是等比数列.
若是等比数列，则，
所以，
因为数列，分别为两个正项等比数列，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，与矛盾，
所以数列不是等比数列.
（3）假设存在一个常数，使得，但，
因为，所以，
将中的换成得，.
进一步得，.
又，由不等式的可加性得，，
同理可得，，
所以，
所以数列从项到项单调递减，从项开始向后单调递增，
所以，
因为该规律是固定的，且，
所以当足够大时，必有，与题设矛盾，
所以不可能从某一项开始单调递增，所以，
令，，
由得，，
所以
所以，
即，
进一步得，，
所以，
，
，
，
相加得，
所以.80
90
100
110
120