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押题10 第15-17题 空间向量与立体几何（七大题型）（原卷版）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）
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这是一份押题10 第15-17题 空间向量与立体几何（七大题型）（原卷版）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用），共10页。试卷主要包含了如图，在正四棱柱中，，在四棱锥中，底面是正方形，若，如图，在三棱锥中，等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
2．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
3．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
4．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
5．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
6．（2021·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
题型1：直接求二面角
1．（2024·河北邯郸·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．
(1)求四棱锥的高；
(2)求二面角的正弦值．
2．（辽宁省沈阳市五校联考2024届高三上学期期末数学试题）如图，在平行六面体中，，，，，点为中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
3．（2024·贵州·三模）如图，在正四棱锥中，，已知，，其中分别为的中点.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
题型2：直接求表面积或体积
4．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.
(1)证明：平面，且；
(2)求三棱锥的体积.
5．（2024·陕西西安·一模）如图所示多面体中，四边形和四边形均为正方形，棱，．
(1)求证：平面；
(2)求该几何体的体积和表面积．
题型3：根据其他条件求二面角
6．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，．
(1)求证：；
(2)若点为的中点，与相交于点，直线与底面所成的角为，且，求二面角的余弦值．
7．（2024·河北沧州·模拟预测）如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点．
(1)证明：平面．
(2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值．
8．（2024·江西·一模）如图，在三棱锥中，．
(1)证明：平面平面；
(2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值．
9．（2024·四川泸州·二模）如图，ABCD为圆柱底面的内接四边形，AC为底面圆的直径，PC为圆柱的母线，且．
(1)求证：；
(2)若，点F在线段PA上，且，求二面角的余弦值．
题型4：根据二面角求其他条件
10．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)当二面角为时，求.
11．（2024·云南昆明·一模）如图，直三棱柱中，，且．
(1)证明：平面；
(2)，分别为棱，的中点，点在线段上，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
12．（2023·河南·三模）在三棱锥中，，，，，．
(1)如图1，G为△PBC的重心，若平面PAB，求的值；
(2)如图2，当，且二面角的余弦值为时，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
13．（2024·湖南·模拟预测）如图1，在五边形中，连接对角线，，，，将三角形沿折起，连接，得四棱锥（如图2），且为的中点，为的中点，点在线段上.
(1)求证：平面平面；
(2)若平面和平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
题型5：空间中的距离问题
14．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.
(1)若为的中点，证明：；
(2)求点到平面的距离.
15．（2024·四川成都·二模）如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为BC，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离．
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是边长为2的正六边形所在平面外一点，的中点为在平面内的射影．
(1)若，求到平面的距离；
(2)设为线段上一点，且，证明：平面．
17．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点．
(1)若分别是棱的中点，，求棱和平面所成角的余弦值；
(2)求的最小值与最大值．
题型6：空间中的其他角度问题
18．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知菱形满足，将沿折起，使得.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.
(1)证明：.
(2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积.
20．（2024·广东·一模）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆上异于点，的任意一点.
(1)若点到平面的距离为，证明：.
(2)求与平面所成角的正弦值的取值范围.
题型7：存在性问题
21．（2024·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面．
(1)求平面与平面所成角的余弦值；
(2)在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
22．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)试问线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请判断点的位置；若不存在，请说明理由.
押题10 空间向量与立体几何 高考模拟题型分布表
题型序号
题型内容
题号
题型1
直接求二面角
1-3
题型2
直接求表面积或体积
4-5
题型3
根据其他条件求二面角
6-9
题型4
根据二面角求其他条件
10-13
题型5
空间中的距离问题
14-17
题型6
空间中的其他角度问题
18-20
题型7
存在性问题
21-22
1．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
2．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
3．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
4．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
5．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
6．（2021·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
题型1：直接求二面角
1．（2024·河北邯郸·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点，且．
(1)求四棱锥的高；
(2)求二面角的正弦值．
2．（辽宁省沈阳市五校联考2024届高三上学期期末数学试题）如图，在平行六面体中，，，，，点为中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
3．（2024·贵州·三模）如图，在正四棱锥中，，已知，，其中分别为的中点.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
题型2：直接求表面积或体积
4．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.
(1)证明：平面，且；
(2)求三棱锥的体积.
5．（2024·陕西西安·一模）如图所示多面体中，四边形和四边形均为正方形，棱，．
(1)求证：平面；
(2)求该几何体的体积和表面积．
题型3：根据其他条件求二面角
6．（2024·辽宁抚顺·一模）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，．
(1)求证：；
(2)若点为的中点，与相交于点，直线与底面所成的角为，且，求二面角的余弦值．
7．（2024·河北沧州·模拟预测）如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点．
(1)证明：平面．
(2)若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值．
8．（2024·江西·一模）如图，在三棱锥中，．
(1)证明：平面平面；
(2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值．
9．（2024·四川泸州·二模）如图，ABCD为圆柱底面的内接四边形，AC为底面圆的直径，PC为圆柱的母线，且．
(1)求证：；
(2)若，点F在线段PA上，且，求二面角的余弦值．
题型4：根据二面角求其他条件
10．（2024·江苏·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且.
(1)证明：平面；
(2)当二面角为时，求.
11．（2024·云南昆明·一模）如图，直三棱柱中，，且．
(1)证明：平面；
(2)，分别为棱，的中点，点在线段上，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
12．（2023·河南·三模）在三棱锥中，，，，，．
(1)如图1，G为△PBC的重心，若平面PAB，求的值；
(2)如图2，当，且二面角的余弦值为时，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
13．（2024·湖南·模拟预测）如图1，在五边形中，连接对角线，，，，将三角形沿折起，连接，得四棱锥（如图2），且为的中点，为的中点，点在线段上.
(1)求证：平面平面；
(2)若平面和平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
题型5：空间中的距离问题
14．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.
(1)若为的中点，证明：；
(2)求点到平面的距离.
15．（2024·四川成都·二模）如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为BC，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离．
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是边长为2的正六边形所在平面外一点，的中点为在平面内的射影．
(1)若，求到平面的距离；
(2)设为线段上一点，且，证明：平面．
17．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点．
(1)若分别是棱的中点，，求棱和平面所成角的余弦值；
(2)求的最小值与最大值．
题型6：空间中的其他角度问题
18．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知菱形满足，将沿折起，使得.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.
(1)证明：.
(2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积.
20．（2024·广东·一模）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆上异于点，的任意一点.
(1)若点到平面的距离为，证明：.
(2)求与平面所成角的正弦值的取值范围.
题型7：存在性问题
21．（2024·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面．
(1)求平面与平面所成角的余弦值；
(2)在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
22．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)试问线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请判断点的位置；若不存在，请说明理由.
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题型序号
题型内容
题号
题型1
直接求二面角
1-3
题型2
直接求表面积或体积
4-5
题型3
根据其他条件求二面角
6-9
题型4
根据二面角求其他条件
10-13
题型5
空间中的距离问题
14-17
题型6
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18-20
题型7
存在性问题
21-22
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