四川省宜宾市普通高中2024届高考适应性考试理科数学试题

这是一份四川省宜宾市普通高中2024届高考适应性考试理科数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，005，在的展开式中，含项的系数是，若，则等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 全卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1.已知集合，若，则（ ）
A.0 B.0或-2 C.0或2 D.2或-2
2.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
A.的值为0.005
B.估计这组数据的众数为75分
C.估计成绩低于60分的有250人
D.估计这组数据的中位数为分
3.下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知虚数满足，且是的共轭复数，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（ ）
A.-2 B.1 C.-1 D.
6.在的展开式中，含项的系数是（ ）
A.-180 B.-90 C.90 D.180
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9.某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球､足球､排球､网球､羽毛球､乒兵球，甲､乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲､乙选修的课中至少有1门相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.已知拋物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（ ）
A.6 B.9 C.12 D.18
11.定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.已知分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则正确的选项是（ ）
①截面多边形可能是三角形或四边形.
②截面多边形周长的取值范围是.
③截面多边形面积的取值范围是.
④当截面多边形是一个面积为的四边形时，四边形的对角线互相垂直.
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则的最小值为__________.
14.已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为__________.
15.已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
16.已知点在同一平面内且为定点，分别是点轨迹上的点且，则的最大值与最小值之和是__________.
三､解答题：共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必做题：共60分.
17.（12分）
某地为调查年龄在岁段人群每周的运动情况，从年龄在岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：
（1）根据以上信息，能否有把握认为该地年龄在岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？
（2）用样本估计总体，从该地年龄在岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：.
18.（12分）
已知数列满足.
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，点为线段的中点，点在线段上.
（1）若，求证：；
（2）若是上靠近点的三等分点，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20.（12分）
已知椭圆的左右焦点分别为是直线上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与椭圆交于两点，斜率为的直线与椭圆交于两点.
（1）求的值；
（2）是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.（分别为直线的斜率）
21.（12分）
已知函数.
（1）求过原点的切线方程；
（2）求证：存在，使得在区间内恒成立，且在内有解.
（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10分）[选修：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原
点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线与曲线相交于两点.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若成等比数列，求实数的值.
23.（10分）[选修：不等式选讲]
已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
理科数学参考答案
13. 14. 15. 16.
16.解析：根据，可得
点轨迹是以为圆心，半径为2的圆.
取的中点，连接，
则，
又，
所以，
即，
所以.
故的最大值与最小值之和是12.
17.解：（1）由.
知：有把握认为该地岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关.
（2）由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以.
18.解：（1）由题可知：，且，
故是首项为2，公比为2的等比数列，
（2），
，且当趋于时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
19.（1）证明：在正方形中，，又
在中，点为线段的中点，平分，
在中，，
过作交于，连接，则，
在正方形中，四边形是矩形，
，又
平面，又平面.
（2），
在正方形中，，而平面，
又平面平面平面，
过作交于点，由平面平面得，平面，
故两两互相垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
由（1）知：，
是上靠近点的三等分点，，
故，
设平面的法向量，
故，取，故
平面的一个法向量，
同理：设平面的法向量，
，取，故，
平面的一个法向量，
设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，
则
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
20.解：（1）由已知，设，
（2）由题意知直线，与椭圆方程联立，
消元得
同理可得，
所以，即.
由（1）知，所以，令点，解得
存在或满足题意.
21.证明：（i），设切点
切线方程：
切线过原点，解得
切线方程：
（ii），当时，，则，
即在单调递增.
且.
唯一使得①.
在上单调递减，上单调递增.
满足在区间内有唯一解只需满足即可.
，将①带入化简得：
即
得（舍），
则，此时①变形为
不妨设，
显然在上单调递增..
，则结论得证
22.（1）曲线的直角坐标方程为，
直线的普通方程为：.
（2）将直线的参数方程（为参数）
代入曲线的直角坐标方程得：
恒成立.
设交点对应的参数分别为.则
若成等比数列，则
即
解得或（舍）所以满足条件的.
23.（1）因为，
当时，，此时；
当时，，此时，即；
当时，，此时；
综上，的最小值为
（2）记，作出与的大致图象，
要使恒成立，
则只需当函数的图象过点或时，为临界情况（如图），
由，得或（舍去），
由，得或（舍去），
所以，即实数的取值范围为.女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
每周运动不超过2小时
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
D
A
B
A
C
C
B
B
D
0
1
2
3