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2024年北京高考数学考前押题密卷－（含答案）
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这是一份2024年北京高考数学考前押题密卷－（含答案），共14页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知函数，则下列结论错误的是，直线等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．3C．D．5
3．若，则（ ）
A．1B．32C．81D．243
4．已知F是抛物线C：的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于，则（ ）
A．6B．8C．12D．14
5．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）.
A．m2B．m2C．m2D．m2
6．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的零点为3
C．在上为增函数D．的定义域为
7．直线：被圆：截得的最短弦长为（ ）
A．1B．C．2D．
8．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
10．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知函数在上是奇函数，当时，，则 .
12．在正项等比数列中，，则 ．
13．双曲线的离心率为，则 ，过双曲线的右焦点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则 ．（本题第一空2分，第二空3分）
14．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是 ；的最大值是 .
15．设函数，函数．则下列说法正确的有
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①．当时，函数有3个零点
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②．当时，函数只有1个零点
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③．当时，函数有5个零点
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④．存在实数，使得函数没有零点
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
（本题13分）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
17．（本题13分）如图所示，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.
(1)证明：
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点到平面的距离．
①；②
18．（本题14分）2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表：
(1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率．
(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．
(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（本题15分）已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线经过点，求面积的最大值.
20．（本题15分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；
(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
21．（本题15分）在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.
(1)求;
(2)求证:;
(3)如果满足方程，求的值.
2024年高考考前押题密卷
数学·参考答案
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．/12．2 13. 1 2 14. 2 15.①②③
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
【详解】（1）在中，由余弦定理可知：
,分
分
（2）在中，由正弦定理可知：，分
即：分
分
17．（13分）
【详解】（1）证明：正方形沿对角线折起后的不变关系为分
连接，，如下图：
因为，所以，同理得，分
又因为平面且，分
所以平面，
因为平面，所以分
（2）若选择①，，
因为，所以，分
因为，所以，分
由（1）可得，
所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
，，分
设平面的一个法向量为，
则，即，取时，，即，分
因为平面，
所以平面的一个法向量，分
于是，，
所以结合图像可知，二面角的余弦值为分
，，分
点到平面的距离，
所以A到平面的距离为分
若选择②，
由（1）得，，，平面，，
所以平面，又平面，所以，分
因为，
所以，分
所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
，，分
设平面的一个法向量为，
则，即，取时，，即，分
因为平面，
所以平面的一个法向量，分
于是，，
所以结合图像可知，二面角的余弦值为分
，，分
点到平面的距离，
所以A到平面的距离为分
18．（14分）
【详解】（1）根据统计表，所有展区的企业数量为，分
其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为．分
所以所求概率为．分
用事件A，，分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”，
事件表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”，
则
．分
（3）“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为，
“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为．分
易知所有可能的取值为0，1，2．分
所以，，．分
故的分布列为
则．分
19．（15分）
【详解】（1）
由条件得，解得，分
所以椭圆的方程为；分
（2）
由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设，
点的坐标为，所以，化简得到分
由已知得到直线的斜率存在，设的方程为，，
联立方程组，得，①
，
，分
由，得到，
所以，
得，
根据韦达定理得
，化简得，分
即或分
又当时，直线经过点，不符合题意，
因此，，直线经过定点，
将代入方程①得，分
由，解得分
面积分
设，，则，分
当且仅当时取等号，因此面积的最大值为分
20．（15分）
【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为分
（2），，函数，求导得：，显然恒有，
则当时，，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；分
当时，由，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
即当时，函数取得最小值，
所以函数在上有最小值，的取值范围是分
（3），
因为存在，使得当时，恒有成立，
则有存在，使得当时，，分
令，即有，恒成立，
求导得，令，，分
因此函数，即函数在上单调递增，而，
当，即时，，函数在上单调递增，
，成立，从而，分
当时，，，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，当时，，
不符合题意，所以的取值范围是分
（15分）
【详解】（1）根据图形可知分
（2）则为一个高阶等差数列，且满足
所以，分
，
所以，该式也成立，分
所以，
所以
分
（3），
等价于，
等价于，分
即，
化简得，分
由于增大，也增大，
当时，，
当时，，
故当时，，即分
展区类型
新一代信
息技术展
环保展
新型显示展
智慧城市展
数字医疗展
高端装备
制造展
展区的企
业数量/家
60
360
650
450
70
990
备受关注率
0.20
0.10
0.24
0.30
0.10
0.20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
D
C
C
C
C
B
D
D
0
1
2
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．3C．D．5
3．若，则（ ）
A．1B．32C．81D．243
4．已知F是抛物线C：的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于，则（ ）
A．6B．8C．12D．14
5．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）.
A．m2B．m2C．m2D．m2
6．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的零点为3
C．在上为增函数D．的定义域为
7．直线：被圆：截得的最短弦长为（ ）
A．1B．C．2D．
8．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
10．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知函数在上是奇函数，当时，，则 .
12．在正项等比数列中，，则 ．
13．双曲线的离心率为，则 ，过双曲线的右焦点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则 ．（本题第一空2分，第二空3分）
14．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是 ；的最大值是 .
15．设函数，函数．则下列说法正确的有
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①．当时，函数有3个零点
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②．当时，函数只有1个零点
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③．当时，函数有5个零点
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④．存在实数，使得函数没有零点
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
（本题13分）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
17．（本题13分）如图所示，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.
(1)证明：
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点到平面的距离．
①；②
18．（本题14分）2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表：
(1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率．
(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．
(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（本题15分）已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线经过点，求面积的最大值.
20．（本题15分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；
(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
21．（本题15分）在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.
(1)求;
(2)求证:;
(3)如果满足方程，求的值.
2024年高考考前押题密卷
数学·参考答案
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．/12．2 13. 1 2 14. 2 15.①②③
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
【详解】（1）在中，由余弦定理可知：
,分
分
（2）在中，由正弦定理可知：，分
即：分
分
17．（13分）
【详解】（1）证明：正方形沿对角线折起后的不变关系为分
连接，，如下图：
因为，所以，同理得，分
又因为平面且，分
所以平面，
因为平面，所以分
（2）若选择①，，
因为，所以，分
因为，所以，分
由（1）可得，
所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
，，分
设平面的一个法向量为，
则，即，取时，，即，分
因为平面，
所以平面的一个法向量，分
于是，，
所以结合图像可知，二面角的余弦值为分
，，分
点到平面的距离，
所以A到平面的距离为分
若选择②，
由（1）得，，，平面，，
所以平面，又平面，所以，分
因为，
所以，分
所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，
，，分
设平面的一个法向量为，
则，即，取时，，即，分
因为平面，
所以平面的一个法向量，分
于是，，
所以结合图像可知，二面角的余弦值为分
，，分
点到平面的距离，
所以A到平面的距离为分
18．（14分）
【详解】（1）根据统计表，所有展区的企业数量为，分
其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为．分
所以所求概率为．分
用事件A，，分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”，
事件表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”，
则
．分
（3）“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为，
“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为．分
易知所有可能的取值为0，1，2．分
所以，，．分
故的分布列为
则．分
19．（15分）
【详解】（1）
由条件得，解得，分
所以椭圆的方程为；分
（2）
由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设，
点的坐标为，所以，化简得到分
由已知得到直线的斜率存在，设的方程为，，
联立方程组，得，①
，
，分
由，得到，
所以，
得，
根据韦达定理得
，化简得，分
即或分
又当时，直线经过点，不符合题意，
因此，，直线经过定点，
将代入方程①得，分
由，解得分
面积分
设，，则，分
当且仅当时取等号，因此面积的最大值为分
20．（15分）
【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为分
（2），，函数，求导得：，显然恒有，
则当时，，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；分
当时，由，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
即当时，函数取得最小值，
所以函数在上有最小值，的取值范围是分
（3），
因为存在，使得当时，恒有成立，
则有存在，使得当时，，分
令，即有，恒成立，
求导得，令，，分
因此函数，即函数在上单调递增，而，
当，即时，，函数在上单调递增，
，成立，从而，分
当时，，，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，当时，，
不符合题意，所以的取值范围是分
（15分）
【详解】（1）根据图形可知分
（2）则为一个高阶等差数列，且满足
所以，分
，
所以，该式也成立，分
所以，
所以
分
（3），
等价于，
等价于，分
即，
化简得，分
由于增大，也增大，
当时，，
当时，，
故当时，，即分
展区类型
新一代信
息技术展
环保展
新型显示展
智慧城市展
数字医疗展
高端装备
制造展
展区的企
业数量/家
60
360
650
450
70
990
备受关注率
0.20
0.10
0.24
0.30
0.10
0.20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
D
C
C
C
C
B
D
D
0
1
2
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