2024年湖北省襄阳市谷城县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年湖北省襄阳市谷城县中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是−21℃，−10℃，0℃，4℃.其中最低气温是( )
A. −21℃B. −10℃C. 0℃D. 4℃
2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.把不等式x+1≤3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算中正确的是( )
A. 5a−3a=2B. (a3)2=a5
C. 2 5− 5= 5D. (a+1)2=a2+1
5.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数的和为1B. 点数的和为6C. 点数的和大于12D. 点数的和小于13
6.一根直尺和一个45°角的三角板按如图方式叠合在一起，若经∠1=32°，则∠2的度数是( )
A. 58°B. 68°C. 60°D. 32°
7.正八边形的外角和为( )
A. 540°B. 360°C. 720°D. 1080°
8.如图①，P是直线m外一点.如图②，在直线m上取一点Q，作直线PQ.以点Q为圆心，以任意长为半径画圆弧分别交PQ和直线m于点A、B.再以点P为圆心，以AQ长为半径画圆弧CD交PQ于点D，以点D为圆心，以AB长为半径画圆弧交CD于点E，过点P、E作直线n，则m/​/n的理论依据是( )
A. 内错角相等，两直线平行B. 同位角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行D. 平行于同一条直线的两直线互相平行
9.如图，已知四边形ABDC内接于⊙O，∠BDC=130°，则∠BOC的度数为( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−4,0)和原点，且顶点在第二象限.下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 当x>−2时，y的值随x值的增大而减小
C. b2−4ac<0
D. 函数值有最小值4a−2b+c
二、填空题：本题共6小题，共23分。
11.某电子的直径约为0.0000000000000012米，这个数可用科学记数法表示为______．
12.已知α，β是一元二次方程x2−2x−2=0的两个实数根，则αβ−2(α+β)的值是______．
13.如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为______．
14.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十;行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何?”其译文是：今有醇酒(优质酒) 1斗，价值50钱;行酒(劣质酒) 1斗，价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为 ．
15.如图，矩形ABCD中，AB=3 6，BC=12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是______．
16.三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分(满分100分)．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析(成绩得分都是整数)．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理(用x表示成绩，分成五组：A.75≤x<80，B.80≤x<85，C.85≤x<90，D.90≤x<95，E.95≤x≤100)．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图(如图)：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽取八年级学生的样本容量是______；
(2)频数分布直方图中，C组的频数是______；
(3)本次抽取八年级学生成绩的中位数m= ______；
(4)分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐(填“七”或“八”)；
(5)若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有______人.
三、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
课堂上老师出了一道题：解方程组2x+y=1①x−3y=11②．
(1)小组学习时，老师发现有同学这么做：
由②得，x=3y+11 ③，
将③代入①得：2(3y+11)+y=1，
解得y=−3，
把y=−3代入③得x=2，
∴方程组的解为x=2y=−3，
该同学使用了______消元法解这个方程组，目的是把方程组从“二元”变为“一元”，体现了______的数学思想；
(2)请用另一种消元方法解这个方程组．
18.(本小题6分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE/​/BD，DE/​/AC.求证：四边形DOCE是菱形．
19.(本小题6分)
如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角ɑ为45°.C点的俯角β为58°，BC方两座建筑物的水平距离，已知乙建筑物的高度CD为6m，求甲建筑物的高度AB.(sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60，结果保留整数)
20.(本小题8分)
如图，反比例函数y=mx(m≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(1,3)，点B(n,1)，一次函数y=kx+b(k≠0)与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接OA、OB，求△OAB的面积．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=2，求图中阴影部分的面积．
22.(本小题10分)
某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折.批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y(箱)与当天的售价x(元/箱)满足一次函数关系，如表是其中的两组对应值．
(1)若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为______箱；
(2)该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．
(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
23.(本小题11分)
如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连接DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)求证：∠DBG=90°；
(2)若BD=12，DG=2GE．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx−4(a≠0)的图象与x轴交于A(4,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接AP、AC、BP、BC，线段AC与BP交于点Q，设△PAQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1−S2取最大值时，求点P的坐标；
(3)当−1≤x答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵4>0>−10>−21，
∴最低气温是−21℃，
故选：A．
根据正数和负数的实际意义比较大小即可．
本题考查正数和负数及有理数的大小比较，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，D选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称的定义得出结论即可．
本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：x+1≤3，
x≤3−1，
x≤2，
把不等式x+1≤3的解集表示在数轴上为：．
故选：D．
根据不等式的基本性质求得不等式的解集为x≤2，所以D是正确的．
本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
4.【答案】C
【解析】解：5a−3a=2a，故A选项运算错误，不合题意；
(a3)2=a3×2=a6，故B选项运算错误，不合题意；
2 5− 5= 5，故C选项运算正确，符合题意；
(a+1)2=a2+2a+1，故D选项运算错误，不合题意；
故选：C．
根据合并同类项，幂的乘方，二次根式的减法，完全平方公式相关运算法则逐项计算，即可得出答案．
本题考查合并同类项，幂的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握以上运算法则．
5.【答案】B
【解析】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】A
【解析】解：如图，∵∠1=32°，∠ACB=90°，
∴∠BCD=180°−90°−32°=58°，
∵AB/​/CE，
∴∠2=∠BCD=58°，
故选：A．
先求解∠BCD=180°−90°−32°=58°，再利用平行线的性质可得答案．
本题考查的是平行线的性质，平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵任意多边形的外角和等于360°，
∴正八边形的外角和等于360°，
故选：B．
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
本题考查了多边形的外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由作图可知：∠PQB=∠QPE，
∴m/​/n(内错角相等，两直线平行)，
故选：A．
由作图可知：∠PQB=∠QPE，再根据内错角相等，两直线平行即可判断．本题考查作图−复杂作图，平行线的判定等知识．
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠A+∠D=180°，而∠D=130°，
∴∠A=180°−∠D=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°．
故选：D．
由于四边形ABDC内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠BAC的度数，而∠BAC、∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到∠BOC的度数．
此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线的开口方向下，
∴a<0.故A错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−4,0)和原点，且顶点在第二象限，
对称轴x=−4+02=−2，
∴当x>−1时，y的值随x值的增大而减小，
故B不正确；
∵y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故③正确；
∵a<0，对称轴x=−2，
∴x=−2时，函数值有最大值4a−2b+c，
故④正确；
故选：B．
采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．
11.【答案】1.2×10−15
【解析】解：0.0000000000000012=1.2×10−15，
故答案为：1.2×10−15．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】−6
【解析】解：由题意知aβ=−21=−2，a+β=−−21=2，
因此αβ−2(α+β)=−2−2×2=−6，
故答案为：−6．
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若x1，x2是方程的两个根，那么x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，代入求解即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键．
13.【答案】59
【解析】解：∵总面积为9个大小相等的等边三角形的面积，其中阴影区域面积为5个大小相等的等边三角形的面积，
∴随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为59．
故答案为：59．
根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
14.【答案】x+y=250x+10y=30
【解析】解：依题意得：x+y=250x+10y=30，
故答案是：x+y=250x+10y=30．
根据“今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．”
列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
15.【答案】2 15
【解析】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，BC=AD=12，DC=AB=3 6，
∵E为AD中点，
∴AE=DE=12AD=6，
由翻折知△AEF≌△GEF，
∴AE=GE=6，∠AEF=∠GEF，∠EGF=∠EAF=90°=∠D，
∴GE=DE，
在Rt△EGC和Rt△EDC中，
EG=EDEC=EC,
∴Rt△EGC≌Rt△EDC(HL)，
∴∠ECG=∠ECD，∠GEC=∠DEC，
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=12×180°=90°，
∴∠FEC=∠D=90°，
又∵∠DCE=∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴FEDE=ECDC，
∵EC= DE2+DC2= 62+(3 6)2=3 10，
∴FE6=3 103 6，
∴FE=2 15，
故答案为2 15．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及翻折变换．
首先连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，再证明∠FEC=90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似三角形的性质即可求出EF的长度．
16.【答案】解：(1)50；
(2)13；
(3)93；
(4)八；
(5)160．
【解析】【分析】
本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
(1)由样本容量的定义即可得出答案；
(2)根据各组频数之和等于样本容量50进行计算即可；
(3)根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
(4)由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
(5)求出样本中，八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，根据频率=频数总数进行计算即可．
【解答】
解：(1)由于“随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析”因此本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
(2)频数分布直方图中，C组的频数为50−4−6−7−20−13(人)，
故答案为：13；
(3)将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为92+942=93(分)，因此本次抽取八年级学生成绩的中位数是93分，即m=93，
故答案为：93；
(4)样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于57.4>49.2，
因此八年级学生成绩比较整齐，
故答案为：八；
(5)400×2050=160人，
故答案为：160．
17.【答案】代入 消元
【解析】解：(1)根据题意可得：同学使用了代入消元法解这个方程组，目的是把方程组从“二元”变为“一元”，体现了消元的数学思想，
故答案为：代入，消元；
(2)2x+y=1①x−3y=11②，
②×2得：2x−6y=22③，
①−③得：7y=−21，
解得：y=−3，
把y=−3代入①得：2x−3=1，
解得：x=2，
∴方程组的解为x=2y=−3．
(1)根据代入消元法的定义，即可解答；
(2)②×2得2x−6y=22③，再①−③求出y的值，最后将y的值代入①，求出x的值即可．
本题考查了用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤．
18.【答案】证明：∵CE/​/BD，DE/​/AC，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OD=12BD，
∵AC=BD，
∴OC=OD，
∴四边形DOCE是菱形．
【解析】根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明．
本题主要考查了平行四边形的判定定理，矩形的性质定理以及菱形的判定定理，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键．
19.【答案】解：延长CD交AE于点F，

由题意得：AB=CF，CF⊥AE，
设AF=x m，
在Rt△AFD中，∠FAD=45°，
∴FD=AF⋅tan45°=x(m)，
在Rt△AFC中，∠FAC=58°，
∴CF=AF⋅tan58°≈1.6x(m)，
∵CF−DF=CD，
∴1.6x−x=6，
解得：x=10，
∴AB=CF=1.6x=16(m)，
∴甲建筑物的高度AB约为16m．
【解析】延长CD交AE于点F，根据题意可得：AB=CF，CF⊥AE，然后设AF=x m，在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，再在Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而根据CF−DF=CD，列出关于x的方程，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)将点A(1,3)代入y=mx，得：m=3，
∴反比例函数的表达式为：y=3x，
将B(n,1)代入y=3x，得：n=3，
∴点B的坐标为(3,1)，
将A(1,3)，B(3,1)代入y=kx+b，
得：k+b=33k+b=1，解得：k=−1b=4，
∴一次函数的表达式为：y=−x+4．
(2)设一次函数y=−x+4与x轴交于点D，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，

对于y=−x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，
∴点C(0,4)，点D(4,0)，
∴OC=4，OD=4，
又点A(1,3)，B(3,1)，
∴AE=1，BF=1，
∴S△AOC=12OC⋅AE=12×4×1=2，S△BOD=12OD⋅BF=12×4×1=2，
又∵S△OCD=12OD⋅OC=12×4×4=8，
∴S△OAB=S△OCD−S△AOC−S△BOD=8−2−2=4．
【解析】(1)将点A(1,3)代入反比例函数表达式可求出m=3，进而可得反比例函数表达式，再将B(n,1)代入已求出的反比例函数表达式求出n=3，进而得点B，然后再将点A，B代入一次函数的表达式可求出k，b，进而可得一次函数的表达式；
(2)设一次函数y=−x+4与x轴交于D，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，先求出点C(0,4)，D(4,0)，可得OC=4，OD=4，AE=1，BF=1，然后根据S△OAB=S△OCD−S△AOC−S△BOD即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，难点是根据图形面积的和差来求△OAB的面积．
21.【答案】(1)证明：∵∠ABC=45°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，即BA⊥AC，
∵A在⊙O上，
∴AC为⊙O的切线．
(2)解：如图，连接OD，

∵∠ABC=45°，
∴∠AOD=2∠ABC=90°，
∴∠BOD=90°，
∵AB=2，
∴OA=1，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×2×2=2，S△BOD=12×1×1=12，
S扇形AOD=90π×12360=14π，
∴S阴影=2−12−14π=32−π．
【解析】(1)利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明AB⊥AC，从而可得结论；
(2)如图，连接OD，先证明∠AOD=2∠ABC=90°，∠BOD=90°，再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOD的面积，减去扇形AOD的面积即可．
本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，等边对等角，圆周角定理：
22.【答案】116
【解析】解：(1)设y与x之间的函数关系为y=kx+b，
根据题意得：35k+b=13038k+b=124，
解得：k=−2b=200，
∴y=−2x+200，
∴当x=42时，y=−2×42+200=116，
∴当天这种蔬菜的销售量为116箱；
故答案为116；
(2)根据题意得：(−2x+200)(x−24)=1320，
解得x1=34，x2=90，
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36，且不高于45，
∴36≤x≤45，
∴34，90都不满足题意，
所以该批发商销售这种蔬菜不能在某天获利1320元；
(3)设日获得利润为w元，
则w=(−2x+200)(x−24−6)=−2(x−65)2+2450，
∵a=−2<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x<65时，w的值随x值的增大而增大，
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36，
∴36≤x≤45，
∴当x=45时，W最大=−2×(45−65)2+2450=1650(元)，
答：这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．
(1)设y与x之间的函数关系为y=kx+b，用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根据这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折得出x的取值范围为36≤x≤45，从而确定方程的解；
(3)根据每天的利润=单箱的利润×销量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．
本题考查了销售问题的数量关系在解决实际问题是的运用，一次函数的解析式的运用和二次函数的解析式的运用，解答时根据题意建立函数关系是解答本题的难点和关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=AB，CD=AD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC，
∵∠CBG=∠EBG=12∠EBC，
∴∠DBG=∠CBD+∠CBG=12(∠ABC+∠EBC)=12×180°=90°．
(2)解：①如图2，连接AC交BD于点K，交DE于点L，

∵AC⊥BD，
∴∠AKB=90°，
∵AB=10，BD=12，
∴BK=DK=12BD=6，
∴AK= AB2−BK2= 102−62=8，
∴CK=AK=8，
∴AC=16，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×12×16=96；
②∵∠DKL=∠DBG=90°，
∴AC/​/BG，
∴DLGL=DKBK=1，
∴DL=GL=12DG，
∵DG=2GE，
∴GE=12DG，
∴DL=GL=GE，
∵CD//AB，
∴CLAL=DLEL=12，
∴CL=13AC=13×16=163，
∴KL=8−163=83，
∴tan∠BDE=KLDK=836=49．
【解析】(1)由菱形的性质得CB=AB，CD=AD，可证明△ABD≌△CBD，得∠CBD=12∠ABC，而∠CBG=12∠EBC，所以∠DBG=12(∠ABC+∠EBC)=90°；
(2)①连接AC交BD于点K，交DE于点L，由∠AKB=90°，AB=10，DK=BK=12BD=6，根据勾股定理可求得AK=8，则AC=16，即可由S菱形ABCD=12AC⋅BD求出菱形ABCD的面积；②先由∠DKL=∠DBG=90°证明AC//BG，则DLGL=DKBK=1，所以DL=GL=12DG，再由DG=2GE得GE=12DG，则DL=GL=GE，即可由CD/​/AB，得CLAL=DLEL=12，可求得CL=13AC=163，所以KL=8−163=83，再求出tan∠B D E的值即可．
此题重点考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，锐角三角函数的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
24.【答案】解：(1)将A(4,0)，B(−1,0)代入y=ax2+bx−4(a≠0)，
得：16a+4b−4=0a−b−4=0，
解得a=1b=−3，
∴二次函数的解析式为y=x2−3x−4；
(2)由(1)知y=x2−3x−4，
当x=0时，y=−4，
∴C(0,−4)，
∴OC=4，
∵A(4,0)，B(−1,0)，
∴AB=4−(−1)=5；
∵y=x2−3x−4=(x−32)2−254，
∴二次函数图象的顶点坐标为(32,−254)；
S1−S2=(S1+S△ABQ)−(S2+S△ABQ)=S△ABP−S△ABC=12AB⋅(|yP|−OC)=12×4×(|yP|−4)，
当点P与二次函数图象的顶点重合时，|yP|取最大值，S1−S2取最大值，
此时点P的坐标为(32,−254)；
(3)由(2)得y=x2−3x−4=(x−32)2−254，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=32，
①当−1x=m，y有最小值m2−3m−4，
最大值与最小值的差为：0−(m2−3m−4)=−m2+3m+4，不是定值，不合题意；
②当32x=−1，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：0−(−254)=254，是定值，符合题意；
③当m>4时，x=32，y有最小值−254，
x=m，y有最大值m2−3m−4，
最大值与最小值的差为：(m2−3m−4)−(−254)=m2−3m+94，不是定值，不合题意；
综上可知，当32【解析】(1)将A(4,0)，B(−1,0)代入解析式，利用待定系数法求解；
(2)由S1−S2=(S1+S△ABQ)−(S2+S△ABQ)=S△ABP−S△ABC可得当点P与二次函数图象的顶点重合时，|yP|取最大值，S1−S2取最大值，由此可解；
(3)分−14三种情况，结合二次函数图象求出最大值、最小值，作差判断是否为定值即可．
本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数中的面积问题，难度较大，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
92
100
57.4
八年级
92.6
m
100
49.2
售价x(元/箱)
…
35
38
…
销售量y(箱)
…
130
124
…