江苏省南通市海安市实验中学2022-2023学年高二下学期6月期末模拟数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市海安市实验中学2022-2023学年高二下学期6月期末模拟数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，，则( )
A.B.C.D.
3．若“函数的图象与y轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱与梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱至少各1人，且甲、乙两人安排在同一个舱内的分配方案有( )
A.6种B.12种C.18种D.24种
5．已知函数.记，，，则( )
A.B.C.D.
6．流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的.根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有，.现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即，则( )
A.B.C.D.
7．如图所示，在正方体中，M是棱上一点，若平面与棱交于点N，则下列说法中正确的是( )
A.存在平面与直线垂直
B.四边形可能是正方形
C.不存在平面与直线平行
D.任意平面与平面垂直
8．袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是( )
A.中位数B.平均数C.方差D.第40百分位数
10．下列选项中正确的是( )
A.已知，则与垂直的单位向量的坐标或.
B.设向量，，若，夹角为锐角，则.
C.若，，则在方向上的投影向量的坐标为.
D.若平面向量，满足，则的最大值是.
11．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有( )
A.的一个周期为4B.点是函数的一个对称中心
C.时，D.
12．如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则( )
A.圆台的母线与底面所成的角的正切值为
B.圆台的全面积为
C.圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为
D.从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为
三、填空题
13．已知向量，，若，则实数t的值为______.
14．已知一组数据的回归直线方程为，且，发现有两组数据，的误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线方程为，则当时，_____.
15．已知两个随机变量X、Y，其中，，若，且，则______.
16．马路上有10盏路灯，为了节约用电计划关掉三盏路灯，但两端两盏不能关掉，也不能同时关掉相邻的两盏或三盏，这样的关灯方法有__________种.（用数字作答）
四、解答题
17．已知函数（且）.
（1）若函数为奇函数，求实数a的值；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
18．如图，在三棱台中，平面，，，，M为中点，N为AB的中点，
（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点C到平面的距离.
19．已知.
（1）若，分别求出，，的值；
（2）求的展开式中系数最大的项.
20．为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.
（1）求图1中m的值；
（2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数恰为1人的概率.
附：
21．已知函数.
（1）时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）证明不等式恒成立.
22．高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内.
（1）某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入X号球槽，该商品可立减Y元，其中.若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数）
（2）将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？
附：设随机变量，则的分布列为，.
.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
2．答案：B
解析：，
所以，
故选：B
3．答案：D
解析：由的图象与轴正半轴相交，则，即，
所以是的必要不充分条件，则.
故选：D
4．答案：B
解析：首先将甲，乙，丙，丁、戊5名航天员分为3组，其中甲、乙在一组，其他3人中还有2人在一组，共有种分法，然后再将三组分配到三个工作舱，其中一人的一组在问天实验舱或梦天实验舱，得所有的方法共有种不同的方案.
故选：B.
5．答案：A
解析：令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
6．答案：A
解析：因为，所以,
因为，所以，
所以,
.
故选：A.
7．答案：D
解析：对于A：在正方体中平面，
显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误；
对于B：在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N，
由平面平面，并且B，M，N，D四点共面，
平面平面，平面平面，
∴，同理可证，故四边形是平行四边形，
在正方体中，由几何知识得，平面，
平面，
若是正方形，有，
此时M与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误；
对于C：当M为的中点时，N为的中点，所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，故C错误；
对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，
由几何知识得，，，，，，
，，，
，
，
，平面，平面，
平面，
平面，
任意平面与平面垂直，故D正确.
故选：D
8．答案：B
解析：，
，
故，故，即，
解得，所以.故若有放回地任取2个球，
则取出一蓝一绿的概率为
故选：B
9．答案：AD
解析：设这个数分别为,,,,,,,,，
且，
则中位数为，
去掉最大和最小的数据，得,,,,,,，中位数为，
故中位数一定不变；
由，得,,,,,,,,的第40百分位数为，
由，得,,,,,,的第40百分位数为，
故第40百分位数不变，
设这9个数分别-1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
则平均数为，
去掉最大和最小的数据为2,3,4,5,6,7,8,9，
此时平均数为，所以此时平均数改变了；
设这9个数分别1,2,3,4,5,6,7,8,9，
则平均数为，
方差为
，
去掉最大和最小的数据为2,3,4,5,6,7,8，
则平均数为，
方差为，
所以此时方差都改变了.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：对于A项，设与垂直的单位向量的坐标为，则由题意可得或，故A正确；
对于B项，由题意可得：
且，解之得且，故B错误；
对于C项，由投影向量的公式可得在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D项，由条件可知，，如图所示以原点为圆心分别作单位圆及半径为2和4的大圆，A、B分别位于单位圆和半径为2的圆上，
不妨令，符合条件，延长OB交半径为4的圆于C点，则，，
显然，当且仅当O、A、B三点共线且O位于A、B之间时有.
故D正确.
故选：ACD
11．答案：AD
解析：为奇函数，，且，函数关于点，
偶函数，，函数关于直线对称，
，
即，，
令，则，，
，故的一个周期为4，故A正确；
则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；
当时，，
，，
又，，解得，
，，
当时，，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
12．答案：ABD
解析：取圆台的轴截面，设、的中点分别为、，连接，
分别过点A、D在平面内作，，垂足分别为点E、F，
由题意可知，与圆台的底面垂直，易知四边形为等腰梯形，
且，，，
在和中，，，，
所以，，所以，，
因为，，，则四边形为矩形，且，
同理可证四边形为矩形，则，且，
所以，与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为，
所以，，则，
所以，，A对；
对于B选项，圆台的全面积为，B对；
对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形内，且，
由勾股定理可得，且，
所以，圆台的外接球直径为，则，B错；
对于C选项，将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：
延长、交于点M，在圆台的轴截面等腰梯形中，且，
易知A、D分别为、的中点，所以，，
设，则，则，
在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为，D对.
故选：ABD.
13．答案：
解析：因为向量，，所以，
又，所以，解得，
故答案为：.
14．答案：5
解析由回归直线方程过样本中心点，可将代入，得，
所以原数据的样本中心点为，
则去掉两组数据，后的新数据的
，，
新数据的样本中心点为，
设新数据的回归直线方程为，将代入得，
当时，.
故答案为：5
15．答案：或
解析：，则，，故，
，，故，
.
故答案为：0.1.
16．答案：20
解析：先将亮的7盏灯排成一排，因为两端两盏不能关掉，所以他们之间有6个空位，
在6个空位中选取3个位置插入熄灭的3盏灯，即有种.
故答案为：20.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）函数为奇函数，则，
即
，
则，即，.
（2），，
，
，
在恒成立即在恒成立，
在为增函数，故，.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）
连接，.由M，N分别是，的中点，根据中位线性质，，且，
由棱台性质，，于是，由可知，四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面.
（2）
过M作，垂足E，过E作，垂足为F,连接，.
由面，面，故，又，，平面，则平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面与平面所成角即.
又，，则，故，在中，，则，
于是
（3）[方法一：几何法]
过作，垂足为P，作，垂足为Q，连接，，过P作，垂足为R.
由题干数据可得，，，根据勾股定理，，
由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.
又平面，则，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故点到平面的距离是P到平面的距离的两倍，
即点C到平面的距离是.
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点C到平面的距离为h.
，
由，即.
19．答案：（1）-64，-1，
（2）
解析：（1）由，
二项式的展开式的通项公式为，，
则，令，得，
令，得，所以，
由，求导得：
，
令，得；
（2）的展开式的通项公式为，，
设第r+1项为系数最大，
则，即，
解得，则，
所以的展开式中系数最大的项是.
20．答案：（1）；
（2）有关（3）
解析：（1）由题意可得，解得；
（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，
不经常整理错题的有2人，
则X（X为经常整理数学错题且数学成绩优秀的人数）可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，
恰抽到k人记为事件，则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件
则，，，
.
21．答案：（1）
（2）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）证明见解析.
解析：（1）时，，依题意切点坐标为，
，所以函数在处的切线的斜率为，
故函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
时，，单调递增，
时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）要证恒成立，即证恒成立，
令，，由（2）可知，
在上单调递增，在上单调递减，
所以恒成立，
即有时恒成立，当且仅当时取“=”号，
亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号.
所以一方面，当且仅当，即时取“=”号，
另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号，
所以恒成立，原不等式得证.
22．答案：（1）15元（2）3号球槽中落入24或25个小球的概率最大.
解析：（1）X的取值可能为1，2，3，4，5，6.
，，
.
因为，所以Y的取值可能为0，5，10，15.
，，
，.
Y的分布列为
，
则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是10元，
所以该商品的最低定价约为15元.
（2）由（1）得.
进行79次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则.
.
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即.
所以当时，，此时这两项概率均为最大值.
故3号球槽中落入24或25个小球的概率最大.
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100
Y
0
5
10
15
P