2022-2023学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期6月期末模拟数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期6月期末模拟数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.

【详解】由题意可得，则，选项A正确；

，则，选项B错误；

，则或，选项C错误；

或，则或，选项D错误；

故选：A.

2．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数的除法运算及几何意义计算即可.

【详解】，

所以，

故选：B

3．若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由二次函数的性质列不等式求函数与轴正半轴相交对应a的范围，根据必要不充分关系即可得m的范围.

【详解】由的图象与轴正半轴相交，则，即，

所以是的必要不充分条件，则.

故选：D

4．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱与梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱至少各1人，且甲、乙两人安排在同一个舱内的分配方案有（    ）

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

【答案】B

【分析】根据分组分配法安排计算即可.

【详解】首先将甲，乙，丙，丁、戊5名航天员分为3组，其中甲、乙在一组，其他3人中还有2人在一组，共有种分法，然后再将三组分配到三个工作舱，其中一人的一组在问天实验舱或梦天实验舱，得所有的方法共有种不同的方案．

故选：B．

5．已知函数．记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令，则开口向下，对称轴为，

因为，而，

所以，即

由二次函数性质知，

因为，而，

即，所以，

综上，，

又为增函数，故，即.

故选：A.

6．流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有，．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，,，，由条件概率公式和全概率公式可得答案.

【详解】因为，所以,

因为，所以，

所以,

．

故选：A.

7．如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（    ）

A．存在平面与直线垂直

B．四边形可能是正方形

C．不存在平面与直线平行

D．任意平面与平面垂直

【答案】D

【分析】根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.

【详解】对于A：在正方体中平面，

显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误；

对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点，

由平面平面， 并且四点共面，

平面平面，平面平面，

∴， 同理可证，故四边形是平行四边形，

在正方体中，由几何知识得，平面，

∵平面，∴，

若是正方形，有，

此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误；

对于C：当为的中点时，为的中点，所以且，

所以为平行四边形，所以，

平面，平面，所以平面，故C错误；

对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，

由几何知识得，,

∴,

∵，

∴，

∵，平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴任意平面与平面垂直，故D正确.

故选：D

8．袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得，再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可

【详解】，

，

故，故，即，

解得，所以.故若有放回地任取2个球，

则取出一蓝一绿的概率为

故选：B

二、多选题

9．已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（    ）

A．中位数 B．平均数

C．方差 D．第40百分位数

【答案】AD

【分析】根据中位数，平均数，方差及百分位数的定义，举例说明即可.

【详解】设这个数分别为，

且，

则中位数为，

去掉最大和最小的数据，得，中位数为，

故中位数一定不变；

由，得的第40百分位数为，

由，得的第40百分位数为，

故第40百分位数不变，

设这个数分别，

则平均数为，

去掉最大和最小的数据为，

此时平均数为，所以此时平均数改变了；

设这个数分别，

则平均数为，

方差为

，

去掉最大和最小的数据为，

则平均数为，

方差为，

所以此时方差都改变了.

故选：AD.

10．下列选项中正确的是（    ）

A．已知，则与垂直的单位向量的坐标或.

B．设向量，，若夹角为锐角，则.

C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为.

D．若平面向量满足，则的最大值是.

【答案】ACD

【分析】对于A项，由向量数量积的坐标表示及单位向量的定义计算即可；对于B项，由向量的数量积与模表示夹角计算即可；对于C项，由投影向量的计算公式计算即可；对于D项，由向量的几何意义数形结合即可.

【详解】对于A项，设与垂直的单位向量的坐标为，则由题意可得或，故A正确；

对于B项，由题意可得：

且，解之得且，故B错误；

对于C项，由投影向量的公式可得在方向上的投影向量为，故C正确；

对于D项，由条件可知，如图所示以原点为圆心分别作单位圆及半径为2和4的大圆，A、B分别位于单位圆和半径为2的圆上，

不妨令符合条件，延长OB交半径为4的圆于C点，则，

显然，当且仅当O、A、B三点共线且O位于A、B之间时有.

故D正确.

故选：ACD

11．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（    ）

A．的一个周期为4 B．点是函数的一个对称中心

C．时， D．

【答案】AD

【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值．

【详解】为奇函数，，且，函数关于点，

偶函数，，函数关于直线对称，

，

即，，

令，则，，

，故的一个周期为4，故A正确；

则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；

当时，，

，，

又，，解得，

，，

当时，，故C不正确；

，故D正确.

故选：AD.

12．如图与分别为圆台上下底面直径，，若，，，则（    ）

A．圆台的母线与底面所成的角的正切值为

B．圆台的全面积为

C．圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为

D．从点经过圆台的表面到点的最短距离为

【答案】ABD

【分析】取圆台的轴截面，利用线面角的定义可判断A选项；利用圆台的表面积公式可判断B选项；利用正弦定理求出等腰梯形的外接圆半径，即为圆台的外接球半径，可判断C选项；将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开，结合余弦定理可判断D选项.

【详解】取圆台的轴截面，设、的中点分别为、，连接，

分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，

由题意可知，与圆台的底面垂直，易知四边形为等腰梯形，

且，，，

在和中，，，，

所以，，所以，，

因为，，，则四边形为矩形，且，

同理可证四边形为矩形，则，且，

所以，与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为，

所以，，则，

所以，，A对；

对于B选项，圆台的全面积为，B对；

对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形内，且，

由勾股定理可得，且，

所以，圆台的外接球直径为，则，B错；

对于C选项，将圆台沿着轴截面切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示：

延长、交于点，在圆台的轴截面等腰梯形中，且，

易知、分别为、的中点，所以，，

设，则，则，

在中，，，，

由余弦定理可得，

因此，从点经过圆台的表面到点的最短距离为，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知向量，，若，则实数的值为      .

【答案】

【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解.

【详解】因为向量，，所以，

又，所以，解得，

故答案为：.

14．已知一组数据的回归直线方程为，且，发现有两组数据，的误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线方程为，则当时，     .

【答案】5

【分析】分别求出原数据和新数据的样本中心点即可

【详解】由回归直线方程过样本中心点，可将代入，得，

所以原数据的样本中心点为，

则去掉两组数据，后的新数据的

，，

新数据的样本中心点为，

设新数据的回归直线方程为，将代入得，

当时，.

故答案为：5

【点睛】回归直线一定经过样本中心点

15．已知两个随机变量X、Y，其中，，若，且，则      ．

【答案】/

【分析】确定得到，确定，再根据得到答案.

【详解】，则，，故，

，，故，

.

故答案为：.

16．马路上有10盏路灯，为了节约用电计划关掉三盏路灯，但两端两盏不能关掉，也不能同时关掉相邻的两盏或三盏，这样的关灯方法有          种．（用数字作答）

【答案】20

【分析】先将亮的7盏灯排成一排，两端两盏不能关掉，在他们之间有6个空位利用插空法可得答案.

【详解】先将亮的7盏灯排成一排，因为两端两盏不能关掉，所以他们之间有6个空位，

在6个空位中选取3个位置插入熄灭的3盏灯，即有种.

故答案为：20.

四、解答题

17．已知函数（且）.

(1)若函数为奇函数，求实数的值；

(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义可求参数的值；

（2）不等式等价于，参变分离后可求实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数为奇函数，则，

即

，

则，即，.

（2）解：，，

，

∴，

∴在恒成立即在恒成立，

在为增函数，故，.

18．三棱台中，若面，分别是中点.

(1)求证：//平面；

(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；

(3)求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；

（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；

（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解

【详解】（1）  

连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，

由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，

又平面，平面，于是//平面.

（2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.

由面，面，故，又，，平面，则平面.

由平面，故，又，，平面，于是平面，

由平面，故.于是平面与平面所成角即.

又，，则，故，在中，，则，

于是

（3）[方法一：几何法]

过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.

由题干数据可得，，，根据勾股定理，，

由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.

又平面，则，又，，平面，故平面.

在中，，

又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，

即点到平面的距离是.

[方法二：等体积法]

辅助线同方法一.

设点到平面的距离为.

，

.

由，即.

19．已知.

(1)若，分别求出，，的值；

(2)求的展开式中系数最大的项.

【答案】(1)-64，-1，

(2)

【分析】（1）利用展开式的通项公式求解，利用赋值法求解，由求导，再利用赋值法求解；

（2）由的展开式的通项公式为，设第r+1项为系数最大，由求解.

【详解】（1）解：由，

二项式的展开式的通项公式为，

则，令，得，

令，得，所以，

由，求导得：

，

令，得；

（2）的展开式的通项公式为，

设第r+1项为系数最大，

则，即，

解得，则，

所以的展开式中系数最大的项是.

20．为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.

(1)求图1中的值；

(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?

(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数恰为1人的概率.

附：

【答案】(1)；

(2)有关

(3)

【分析】（1）根据频率值和等于1可以求得的值；

（2）根据题意完成列联表，计算，即可得相关结论；

（3）根据超几何分布和条件概率的相关公式即可解决.

【详解】（1）由题意可得，解得；

（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，

经常整理错题的有人，

不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则

零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，

根据列联表中的数据，经计算得到可得，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；

（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，

不经常整理错题的有2人，

则（为经常整理数学错题且数学成绩优秀的人数）可能取为0，1，2，

经常整理错题的3名学生中，

恰抽到人记为事件，则

参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件

则，，，

.

21．已知函数．

(1)时，求函数在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)证明不等式恒成立．

【答案】(1)

(2)当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

(3)证明见解析.

【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解；

（2）求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求；

（3）用切线不等式可证得结果.

【详解】（1）时，，依题意切点坐标为，

，所以函数在处的切线的斜率为，

故函数在处的切线方程为，即.

（2）的定义域为，，

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，得，

时，，单调递增，

时，，单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（3）要证恒成立，即证恒成立，

令，，由（2）可知，

在上单调递增，在上单调递减，

所以恒成立，

即有时恒成立，当且仅当时取“=”号，

亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号.

所以一方面，当且仅当，即时取“=”号，

另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号，

所以恒成立，原不等式得证.

22．高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．

(1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数）

(2)将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？

附：设随机变量，则的分布列为，．

．

【答案】(1)15元

(2)3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．

【分析】（1）确定的可能取值，利用独立事件乘方公式求对应概率，根据确定的可能取值，进而求对应概率，然后求的期望，即可得最低定价．

（2）由题意知小球落入3号球槽的个数，利用不等式法求最大概率对应值即可.

【详解】（1）的取值可能为1，2，3，4，5，6．

，，

．

因为，所以的取值可能为0，5，10，15．

，，

，．

的分布列为

，

则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是10元，

所以该商品的最低定价约为15元．

（2）由（1）得．

进行79次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则．

．

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即．

所以当时，，此时这两项概率均为最大值．

故3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．