2021-2022学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．（       ）

A．75 B．30 C．-25 D．-70

【答案】A

【分析】依据排列数公式和组合数公式去求的值即可.

【详解】．

故选：A

2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（       ）

A．0.45 B．0.6 C．0.75 D．0.8

【答案】C

【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果.

【详解】设随后一天的空气质量为优良的概率是，则，

解得，

故选：C.

【点睛】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用，属于基础题.

3．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的《数学九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数学九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求其对立事件的概率，再用减去其对立事件的概率即为所求

【详解】解析：所求概率

故选：D

4．甲、乙等6人并排站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数有（       ）

A．240 B．360 C．480 D．600

【答案】C

【分析】元素不相邻利用“插空法”即可解决.

【详解】∵甲、乙两人不相邻，∴先排其他4个人，共有种排法，

再在4个人形成的5个空中选2个位置排甲乙，共有种排法，

∴不同的排法种数是．

故选：C.

5．的展开式中的系数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】，用二次通项公式即可求解

【详解】解析：，

∴展开式中的系数为．

故选：C

6．已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（       ）

A．1010 B．1011 C．1012 D．2021

【答案】B

【分析】根据等差数列前项和的图象特征，由已知条件先确定抛物线的开口方向和零点范围，根据零点范围确定对称轴范围，进而结合二次函数的单调性和对称性得到答案.

【详解】由于等差数列的前项和的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由，可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为,

∴取得最小值时n的值为1011．

故选：

7．已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（       ）

A．-1 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解

【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．

故选：B

8．某皮划艇训练小组有7人，其中4人会划左浆，5人会划右浆．现选4人参加比赛，2人划左桨，2人划右浆，设选中的人中左右浆均会划的人数为X，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此就可以求出

【详解】解析：由题意7人中既会划左浆又会划右浆的有2人，所以选4人参加比赛共有种选法，当时，有种，，当时，有种，；当时，有种，，．

故选：D

二、多选题

9．对两组数据进行统计后得到的散点图如图所示，关于其线性相关系数的结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．与的大小关系无法判断

【答案】AB

【分析】观察散点图整体增减情况，以判定正相关还是负相关，从而确定相关系数的正负，观察是否更集中在一条直线的附近，确定相关性强弱，以判定相关系数的绝对值的大小.

【详解】由图可知，第一幅图负相关，第二幅图正相关，故A，B正确；第二幅图中的点比第一幅图中的点更趋于一直线附近，故第二幅图的相关性比第一幅图的相关性强，故，CD错误．

故选：

10．设离散型随机变量X的分布列为

则下列结论中正确的是（       ）A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由离散型随机变量的分布列的性质求出，由此就可以求出，再对选项进行判断即可

【详解】由分布列可得，

∴，，

∴，

∴，

故ABC正确，D错误．

故选：ABC

11．若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用导数逐项判断函数的单调性.

【详解】令，则，

当时，，

此时函数单调递减，所以A不满足题意；

令，则，

当，即时，

，此时函数单调递减，所以B不满足题意；

令，则在R上单调递增，C满足题意．

令，则，令，

则 ，当时，，

当时，，所以函数在上单调递减，

在上单调递增，所以，

∴当时，，

∴在上单调递增，D满足题意．

故选：CD

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

12．已知函数，数列满足：对任意，，且，，数列的前n项积为，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．满足的正整数n的最小值为9

【答案】ABC

【分析】由递推公式化简后构造数列求通项，对选项逐一判断

【详解】，

∴，两边平方得，

∴，B正确

∴，∴，A正确

，∴，C正确

∴，令，解得，故D错误．

故选：ABC

三、填空题

13．已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的前5项积为______．

【答案】

【分析】先根据等比中项的性质求出，便可求出前五项积.

【详解】解：由题意得：

根据等比数列性质得

∴，

∴．

故答案为：

14．已知随机变量X服从正态分布，若，，则______．

【答案】

【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可.

【详解】解：由题意得：

∵

∴与关于对称

∴．

故答案为：

15．函数的最大值为______．

【答案】

【分析】本题首先可求出，然后根据得出单调递减，最后根据即可得出结果.

【详解】因为，

所以，，

因为，

所以单调递减，的最大值为，

故答案为：.

16．某社区服务站将6名抗疫志愿者分到3个不同的社区参加疫情防控工作，要求每个社区至少1人，则不同的分配方案有______种．（用数字填写答案）

【答案】540

【分析】按照分到3个社区志愿者的不同人数组合，按照先分组后排列的方式分类计算，然后求和.注意分组中要注意等额分组的除序过程.

【详解】若3个社区的志愿者人数分别为4，1，1，此时不同的分配方案有种，若3个社区的志愿者人数分别为1，2，3，此时不同的分配方案有种，若3个社区的志愿者人数分别为2，2，2，此时不同的分配方案有种，∴不同的分配方案共有种．

故答案为：540

四、解答题

17．已知展开式中的第四项为常数项．

(1)求n的值 ；

(2)求展开式中所有项的系数和以及所有项的二项式系数和．

【答案】(1)

(2)展开式系数为：，二项式系数和为

【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式，结合第四项的未知系数的幂指数等于，求得的值.

（2）求各项的系数和即令，可求得结果，根据二项式系数的性质求出系数和.

【详解】(1)解：由题意得：

第四项为常数项

∴

∴

(2)令可得展开式中所有项的系数和为．

展开式中所有项的二项式系数和为

18．已知函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求a，b的值；

(2)证明：．

【答案】(1)，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据导数的几何意义，结合，，解方程组即可；

（2）根据（1）中所求，利用导数判断函数单调性，求得最小值，即可证明.

【详解】(1)∵，∴，

∵曲线在点处的切线方程为，

∴，解得，．

(2)由（1）知，，

∴当时，，为减函数，当时，，为增函数，

∴的最小值为，∴，即证.

19．某公司生产某种食用菌，为了销往全国各地，把该食用菌分为一级、优级、特级、珍品共四个等级，并以每件0.5kg的标准进行统一包装．某采购商订购了一批这种食用菌，并从中随机抽取100件，按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表：

(1)以样本估计总体，将频率视为概率，从这100件食用菌中有放回随机抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；

(2)用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，再从抽取的10件中随机抽取3件，设X表示抽取的是珍品等级的件数，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设出事件和变量，得到，利用二项分布求概率公式进行求解概率；（2）利用超几何的概率求解公式进行求解分布列及数学期望.

【详解】(1)设“从这100件食用菌中随机抽取1件，抽到珍品”为事件A，则，有放回随机抽取3件，设抽到珍品的个数为，则，

∴恰好抽到2件是珍品的概率．

(2)用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，其中珍品4件，非珍品6件，再从抽取的10件中随机抽取3件，则X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布．

，可得：，，，．

X的分布列为：

．

20．已知数列满足，，数列满足．

(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）证得是等差数列，首项为，公差为，求出数列的通项公式，进而可求出结果；

（2）利用错位相减法即可求出结果.

【详解】(1)由得，由得，

∴   ，

∴是等差数列，首项为，公差为，

∴，∴

(2)，，

两式相减得，

∴．

21．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）：

97   97   98   102   105   107   108   109   113   114

设这10个数据的平均值为，标准差为．

(1)求与；

(2)假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布．

（i）从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X，求；

（ii）若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：cm）分别为86，95，103，109，118．以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由．

参考数据：若，则，，．

【答案】(1)=105；

(2)（i）；（ii）需要进一步调试，理由见解析

【分析】（1）代平均数及方差的计算公式即可求解；

（2）（ⅰ）由Z服从正态分布可求出，从而，进而可求（ⅱ）求出个零件中恰有一个内径不在的概率为，由题意结合原则，由此可知需要进一步调试

【详解】(1)，，则．

(2)（ⅰ）∵Z服从正态分布，

∴，则，

∴．

（ⅱ）∵Z服从正态分布，

∴，

∴5个零件中恰有一个内径不在的概率为，

∵，∴试生产的5个零件就出现了1个不在内，

出现的频率是0.013365的15倍左右，根据原则，需要进一步调试．

22．已知函数，其中．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)是否存在实数a，使得函数的极值大于0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是

(2)存在，

【分析】（1）利用导函数去求函数的单调区间；

（2）求得函数的极大值，再构造不等式去求a的取值范围.

【详解】(1)当时，，

，

当时，；当时，；

∴的单调增区间是，单调减区间是．

(2)∵，∴，

当时，令，即，

解得，，

∵，，∴，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减．

∴在处取得极大值，且，

即，

极大值，

令，则在单调递增，且，

∴时，，即时，，

∴，

当时，，不等式显然成立；

当时，即时，，则，

综上，a的取值范围是．