2024湖南省湘楚名校高一下学期5月联考数学试题含解析

这是一份2024湖南省湘楚名校高一下学期5月联考数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本试卷命题范围，2%等内容，欢迎下载使用。

2024.5
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本试卷命题范围：必修第一册，必修第二册（6.1~9.3）。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，，下列结论成立的是（ ）
A.B.C.D.
2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.在中，，，则外接圆的半径为（ ）
A.B.1C.2D.3
4.如图，已知，则（ ）
A.B.
C.D.
5.如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）
（注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对.）
A.2024年1—2月份，商品零售总额同比增长9.2%
B.2023年3—12月份，餐饮收入总额同比都降低
C.2023年6—10月份，商品零售总额同比都增加
D.2023年12月，餐饮收入总额环比增速为
6.已知非零平面向量，满足，则的最小值是（ ）
A.4B.3C.2D.1
7.在正三棱柱中，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ）
A.圆柱的侧面积为
B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为
10.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A.摩天轮离地面最近的距离为8米
B.若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C.若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D.存在，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
11.计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的.处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观.特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为.已知某像素点规模为1行列的图像第列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①；②，则（ ）
A.使用方案①调整，当时，
B.使用方案②调整，当时，
C.使用方案①调整，当时，
D.使用方案②调整，当，时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品.某日三种产品的生产比例如图所示，且医用防护口罩和医用外科口罩共生产了45000个，则医用普通口罩生产的个数为______.
13.已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是______.
14.某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上划分三个区域种㨁不同的花卉，若要求，则的最小值为______m.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（13分）
已知函数（且）为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，求函数的解析式.
16.（15分）
已知函数.
（1）求的单调递增区间和最值；
（2）若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
17.（15分）
已知长方体中，棱，，过点作的垂线交于，交于.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值.
18.（17分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，为的中点，求线段长度的取值范围.
19.（17分）
随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中的值及身高在170cm及以上的学生人数.
（2）估计该校100名学生身高的75%分位数.
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②.
2023-2024学年度湘楚名校高一下学期5月联考・数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 集合，，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.
2.D ，其共轭复数为，对应的点的坐标为，位于第四象限.
3.C 设为外接圆的半径，则由正弦定理，得，解得.所以外接圆的半径为2.
4.A ，.
5.C 对于A，2024年1-2月份，商品零售总额同比增长，故A错误；对于B，2023年8月份，餐饮收入总额同比增加，故B错误；对于C，2023年6-10月份，商品零售总额同比都增加，故C正确；对于D，2023年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误.
6.A 依题意，，，当时，上述最后等式不成立，从而有，，当且仅当时取“”，又，当且仅当与同方向时取“”，则有，解得，当且仅当时取“”，所以的最小值是4.
7.B 如图，延长至，使得，连接，，，因为为的中点，为的中点，所以，.，因为，所以，，所以四边形是平行四边形，，则为异面直线与所成的角或其补角.设，取的中点，连接，，则，，，，，，由余弦定理得，由余弦定理得.所以直线与所成角的余弦值为.
8.D 函数，令，因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称，且在上递减，在上递增，所以的图象关于对称，且在上递减，在上递增，若使得不等式成立，则，即，解得，所以实数的取值范围是.
9.CD 对选项A，圆柱的侧面积为，故A错误；对选项B，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，故B错误；对选项C，球的表面积为，故C正确.对选项D，圆柱的体积，圆锥的体积，球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确.故选CD.
10.ABC 对于A，最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，所以摩天轮离地面最近的距离为（米），选项A正确；对于B，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，设分钟时，游客位于点，以为终边的角为，分钟时，旋转角度为，所以周期，角速度为，在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是：，选项B正确；对于C，在，时刻，游客距离地面的高度相等，即，即，故，，故的最小值是30，选项C正确；对于D，，令，解得，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，当时，，故在只有一个解，选项D错误.故选ABC.
11.AC 使用方案①调整：当时且，又，则，A正确；，，当，即且，又，可得，C正确；使用方案②调整：当时，显然若时，B错误；，而，则，故，又，则，，所以，而，时，则，则，此时，显然存在，D错误.
12.105000 （个）.
13. ，，，在区间内没有零点，，，，，或.当时，；当时，.的取值范围为.
14. 如图，因为，所以在如图所示的圆上，圆的半径为，由圆周角的性质可得，，，连接，可得，所以当为与圆的交点时，取最小值，即.又，在中，，，，根据余弦定理可知，所以的最小值为.
15.解：（1）由，得，
方程的两个根为，2.
又函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，.
（2），，解得.
.
16.解：（1）函数
；
令，整理得：；
故函数的单调递增区间为
当，整理得：时，函数取得最大值为；
当，整理得：时，函数取得最小值为.
（2）由于，整理得.
所以函数在上，函数的图象与的图象有两个交点，即函数有两个零点；故.
故实数的取值范围为.
17.（1）证明：如图，连接交于.
由底面是正方形，得.
又平面，平面，所以，
因为，所以平面，
又平面，则
因为平面，平面，所以.
又，而，所以平面，
所以.
而，所以平面.
（2）解：因为，且，
所以，
所以，所以.
又为的中点，连接，所以，
易知，且，
所以是二面角的一个平面角，
所以，即二面角的正切值为.
18.解：（1）因为，
所以，
则，
即，
所以.
又，则，
所以，即.
由，得，所以，
所以.
（2）因为，所以.
因为为的中点，所以，
则.
因为，所以，
，
则
.
因为，所以，
所以，
则，所以，
所以.
19.（1）解：由频率分布直方图可知，
解得，
身高在及以上的学生人数（人）.
（2）解：的人数占比为，
的人数占比为，
所以该校100名学生身高的分位数落在，
设该校100名学生身高的分位数为，
则，解得，
故该校100名学生身高的分位数为176.25.
（3）由①证明：；
②
又
同理，