广东省肇庆中学2023届高三下学期4月月考数学试题

这是一份广东省肇庆中学2023届高三下学期4月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题．每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，．则（ ）．
A．B．C．D．
2．若复数是纯虚数，则实数（ ）．
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
4．正六边形，用和表示，则（ ）．
A．B．
C．D．
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．55B．49C．43D．37
6．设抛物线焦点为F，准线为l，P抛物线上位于第一象限内的一点过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
7．阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A．是有理数B．是无理数
C．存在无理数a，b，使得为有理数D．对任意无理数a，b，都有为无理数
8．己知直线与函数的图象恰有两个切点．设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：
则下列结论中正确的是（ ）
A．招商引资后，工资性收入较前一年增加
B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
10．椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
11．函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
12．三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为30°，直线PB与平面ABC所成的角为60°，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥体积的最小值为
B．三棱锥体积的最大值
C．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中含项的系数为______．
14．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．
则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______．
15．直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：______和______．（写对一个得3分，写对两个得5分）
16．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）记数列的前n项和为，对任意，有．
（1）证明：是等差数列：
（2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．
18．（12分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有．
（1）求角A；（2）若BC边上的高，求．
19．（12分）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．
（1）证明：：
（2）若平面，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．
20．（12分）中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每入抛掷一枚质地均匀的硬币．
（1）若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝．上次数大于乙正面朝上次数的概率；
（2）若甲抛掷次，乙抛掷n次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
21．（12分）过点的动直线l与双曲线E：交于M，N两点，当l与x轴平行时，，当l与y轴平行时，．
（1）求双曲线E的标准方程：
（2）点P是直线上一定点，设直线PM，PN的斜率分别为，，若为定值，求点P的坐标．
22．（12分）已知函数，其中．
（1）证明：恒有唯一零点；
（2）记（1）中的零点为，当时，证明：图象上存在关于点对称的两点．
广东肇庆中学2023届高三四月月考数学参考答案
填空题：
13．14．15．，，，16．
解答题：
17．（10分）解：
（1）由题意，，．
两式相碱得：．
整理得：，所以是等差数列．
（2）由题意：，．
由公差为．故且．解得；．
18．（12分）解：
（1）由正弦定理得：．
，
，即．
又，故，即．
由，得：．
（2）面积，代入，整理得：．
故．得：．
又，．
所以．
19．（12分）解：
（1）取中点Q，连接PQ，EQ，且，．
故四边形EFPQ是平行四边形，所以．
又，，所以．
（2）取EF中点O，BC中点G，由，且交线为EF．故．
图所示的空间直角坐标系．
有，，，．中点，，
设平面BFP的法向最，由，得，取．
又，故所求角的正弦值为．
所以直线与平面BFP所成角的正弦值为
20．（12分）解：
（1）乙正面朝上次数相等的概率为：
由对称性，甲正面朝上次数大于乙和小于乙的概率相等．
故甲正面朝上次数大于乙的概率为．
（2）设甲正面朝上次数大于乙为事件A．
方法一：
设甲乙均抛掷n次时，两人正面朝上次数相等的概率为p．
若此时甲正面朝上次数小于乙，则事件A不会发生：
若此时甲正面朝上次数等于乙，则甲第次抛掷结果为正面朝上才会有事件A发生：
若此时甲正面朝上次数大于乙，则无论甲第次抛掷结果如何，都有事件A发生，由对称性此时甲正面朝上次数大于乙和小于乙的概率相等，均为．
所以．
方法二：
设甲正面朝上次数为X，乙正面朝上次数为Y．
因为，所以表示甲正面朝上次数不大于乙．
有．
此时也表示甲反面朝上次数大于乙．
根据对称性，甲正面朝上次数大于乙的概率和甲反面朝上次数大于乙的概率相等，
故，由，得．
21．（12分）解：
（1）根据双曲线的对称性，双曲线E过点和．
所以，解得：，故双曲线E的标准方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为．
与双曲线方程联立，得．
设，，有，．
设．
当时，不满足为定值．
当时，若为定值，则，解得，此时．
经检验，当直线l斜率不存在时，对．也满足．
所以点P坐标为（3，4）．
22．（12分）解：
（1）令，得．
由得：，
又函数是上的增函数，且值域为．
故对任意，在上恒存在唯一，使得．
所以函数恒有唯一零点．
（2）当时，．故时，．
由题意，要求存在．使得．
令．下面证明在有零点：
，
记，．
，．
，
当时，，当时．．
由时，，．
故，当时，．
有，．
此时．有在单调递增，
故时，．
故在单调递增，．
又时．，故时，．
故在有零点，即在有零点，问题得证
8【答案】B
【解析】考虑的情况，设对应切点为，，
设对应切点为，，，
只考虑，的情况，
则，，其中，
所以，其中有，．
易得号，则，则．选：B．
12【解析】作，则．
设，，，．
又有，，圆心，半径，
所以，则，，A正确，B错误
由
当最小时，有H在外部，如图，此时，二面角为锐角，
16【解析】，则．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
A
B
C
B
AD
BCD
ABC
AC