2022-2023学年广东省肇庆市肇庆鼎湖中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省肇庆市肇庆鼎湖中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】根据排列数的计算公式即可求解.

【详解】由题意，得，化简可得，解得．

故选:B

2．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】求得，令，即可求解.

【详解】由函数，可得，

令，可得，解得.

故选：A.

3．下列有关回归分析的说法中不正确的是（    ）

A．回归直线必过点

B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

C．当相关系数时，两个变量正相关

D．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于

【答案】B

【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB；根据相关系数的性质可判断CD，进而可得正确选项.

【详解】对于A选项，回归直线必过点，A对；

对于B选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B错；

对于C选项，当相关系数时，两个变量正相关，C对；

对于D选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D对.

故选：B.

4．的展开式中的常数项是（    ）

A． B． C．250 D．240

【答案】D

【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，即可求得答案.

【详解】由题意得二项式的通项公式为

，

令，则常数项为，

故选：D

5．据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（    ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，，）

A．1070 B．2140 C．4280 D．6795

【答案】A

【分析】利用区间上的概率及正态分布的对称性求，进而估计区间人数.

【详解】由题设

，

所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为人.

故选：A

6．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

【答案】C

【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.

【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.

故选：C.

7．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（    ）

A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38

【答案】A

【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，

“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，

根据题意得：，，，

则.

故选：A.

8．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.

【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.

令，则，所以在上单调递增，则，所以.

故选:B.

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．在上单调递增 B．的极小值为2

C．的极大值为－2 D．有2个零点

【答案】AD

【分析】由导数判断单调性后对选项逐一判断

【详解】由可得，

由可得，由可得或，

故在和上单调递减，在上单调递增，

有极小值，极大值，

故A正确，B，C错误．

有两解，，，则有2个零点，故D正确．

故选：AD

10．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题.减少硶排放具有深远的意义.我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一.在这样的大环境下，我国新能源汽车逐浙火爆起来.下表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据.

现已求得与的经验回归方程为，则（    ）

A．

B．与正相关

C．与的样本相关系数一定小于1

D．由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆

【答案】ABC

【分析】A选项利用样本中心在回归直线上即可；利用线性回归方程判断选项B、C；把代入线性回归方程求解判断选项D.

【详解】由，，

代入中有：，故A正确；

由线性回归系数，所以与正相关，故B正确；

由样本点不全在线性回归方程上，则与的样本相关系数一定小于1，故C正确，

将代入线性回归方程中得：，

故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D不正确，

故选：ABC.

11．在二项式的展开式中，下列结论正确的是（    ）

A．第5项的系数最大

B．所有项的系数和为

C．所有奇数项的二项式系数和为

D．所有偶数项的二项式系数和为

【答案】BD

【分析】比较二项式的展开式中第的系数与第项的系数，可判断A；利用二项式形式的性质，可判断BCD的正误.

【详解】在二项式展开式中，

第9项系数为，

第5项系数为，

因，所以错误.

令，得所有项系数和为，正确.

因为奇数项的二项式系数和等于偶数项二项式系数和，

为，所以错误，D正确.

故选：BD.

12．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）

A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D．

【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；

由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；

，C正确；

事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知X服从正态分布，且，则        .

【答案】/

【分析】根据正态分布曲线的对称性可得，再由得出答案.

【详解】由随机变量服从正态分布，根据其图形关于直线对称，

所以，则，

故答案为：

14．随机变量X的分布列如表所示，若，则         .

【答案】5

【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．

【详解】依题意可得，解得，

所以，

所以.

故答案为：5.

15．有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为      .

【答案】0.046

【分析】根据全概率公式即可求解.

【详解】记“任取一件零件是次品”为事件.记为“第台车床加工的零件”，

根据全概率公式

.

故答案为：0.046.

16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为       ．

【答案】

【分析】变换得到，设得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案.

【详解】，即，

，设，恒成立，函数单调递增，故，

故，设，，故，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故，故，

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用同构的思想，变换得到是解题的关键.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调增区间．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；

（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．

【详解】（1），则

则，又，

则曲线在点处的切线方程为，即

（2），

则，

由可得或，

则函数的单调增区间为，.

18．某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表.

（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）

(1)求关于的线性回归方程；

(2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；

(3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.

（参考公式：）

【答案】(1)

(2)22.8千人

(3)答案见解析

【分析】（1）根据题中数据计算得即可解决；（2）根据（1）中回归方程计算即可；（3）言之有理，客观分析即可.

【详解】（1）设回归方程为，由表中数据知，

，.

所以，

所以，

所以关于的回归方程.

（2）由（1）得关于的回归方程.

令，（千人），

所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.

（3）①该市经济发展速度慢；

②该市人口数量减少；

③到省会城市求学人数增多.

19．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．

开学后，某中学团委在高二年级（其中男生150名，女生150名）中，对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，各班男生喜欢观看的人数统计分别为6，7，8，8，6，5，14，14，12，10，各班女生喜欢观看的人数统计分别为4，4，4，5，5，6，7，7，8，10．

(1)根据题意补全2×2列联表；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？参考临界值表：

，．

【答案】(1)列联表见解析

(2)小概率值的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关

【分析】（1）根据题设数据确定男女生喜欢、不喜欢观看球赛的人数，即可完成列联表；

（2）应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想即可得结论.

【详解】（1）由题设，喜欢观看的男生有人，故不喜欢观看的男生有人；

喜欢观看的女生有人，故不喜欢观看的女生有人；

列联表如下图示：

（2）由，

所以依据小概率值的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.

20．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人。

(1)求前位抽奖人抽中金蛋人数的分布列和方差；

(2)为了增加节目效果，改变游戏规则.当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子.与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？

【答案】(1)分布列见解析；

(2)抽奖人应改变选择

【分析】（1）利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项分布方差公式可求得方差；

（2）分别计算改变选择和不改变选择所获得奖金数的数学期望，根据数学期望值的大小关系可得到结论.

【详解】（1）由题意知：抽中金蛋人数服从于二项分布，即，

即所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

中奖人数的方差.

（2）若改变选择，记获得奖金数为，则可能的取值为，

则，，

改变选择时，获得奖金数的数学期望；

若不改变选择，记获得奖金数为，则可能的取值为，

则，，

不改变选择时，获得奖金数的数学期望；

，抽奖人应改变选择.

21．甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X．

(1)求X的分布列；

(2)求甲、乙两人最终平局的概率；

(3)记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望．

【答案】(1)分布列见解析

(2)

(3)分布列见解析，期望为

【分析】（1）X的所有可能取值为－1，0，1，求出相应的概率列出分布列即可；

（2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分；②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分；③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分；再分别求出每一种情况的概率相加即可；

（3）Y的所有可能取值为2，3，4，求出对应的概率列出分布列即可.

【详解】（1）依题意，

X的所有可能取值为－1，0，1．

，

，

，

所以X的分布列为

（2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：

①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为．

②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，

其概率为．

③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分，

其概率为．

故甲、乙两人最终平局的概率为．

（3）Y的所有可能取值为2，3，4．

，

，

，

所以Y的分布列为

．

22．函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；

(2)(－2，－1).

【分析】(1)根据极值点求出a，根据导数正负判断其单调性；

(2)讨论f(x)极值和单调性，y＝f(x)－m－1的零点转化为y＝f(x)与y＝m＋1图像交点的个数.

【详解】（1）f(x)定义域为，＝a＋ln x＋1，

由＝a＋1＝0，解得a＝－1.

则f(x)＝－x＋xln x，

∴＝ln x，令＞0，解得x＞1；令＜0，解得0＜x＜1.

∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．

（2）y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，

可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)内有两个不同的根，

则函数y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点．

由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，＝f(1)＝－1，

由题意得，m＋1＞－1，即m＞－2，①

当0＜x＜1时，f(x)＝x(－1＋ln x)＜0，作出f(x)图像如图：

由图可知，m＋1＜0，即m＜－1，②

由①②可得－2＜m＜－1.

因此实数m的取值范围是(－2，－1)．