2023届广东省肇庆市第一中学高三上学期11月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届广东省肇庆市第一中学高三上学期11月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省肇庆市第一中学高三上学期11月月考数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题知，，再求集合交集运算即可.【详解】解：因为，所以，即，因为，解得，所以，所以，.故选：D2．若，则的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的运算得，再求解虚部即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以的虚部为.故选：C3．如图，圆形纸片的四分之一扇形（阴影部分）是圆锥A的侧面展开图，其余部分是圆锥B的侧面展开图，则圆锥A与圆锥B的表面积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥的侧面积可得两圆锥的底面圆半径关系，进而根据表面积公式即可求解.【详解】设圆的半径为r，圆锥A与B的底面半径分别为，由题意知,解得,圆锥A的表面积，圆锥B的表面积，故．故选:B4．若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的性质，参变分离可得恒成立，再根据幂函数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以，又恒成立，即恒成立，因为在上单调递减，所以，所以，即；故选：B5．已知角满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两角差的正切公式求得，直接二倍角公式及同角关系将转化为含的形式，由此可得结果．【详解】因为，化简得，所以，又，所以，故选：A．6．“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求.当时刘微就是利用这种方法，把的近似值计算到和之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正六十边形来估算圆周率，则的近似值是（    ）（精确到）（参考数据）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形面积公式，结合圆面积公式，根据题意，求解即可.【详解】设圆的半径为，则其面积；连接正六十边形的顶点与圆心，可将正六十边形分为60个全等的等腰三角形，且顶角为，故正六十边形的面积，根据题意，，即，故选：A.7．若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先对化简得到，再写出平移后的解析式，因为其为奇函数，则，解出即可得到最小值.【详解】，向右平移个单位后得到函数，由于是奇函数，因此，得，.又，则当时，的最小值是，故选：B.8．函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立.如果，则实数的取值集合是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得在定义域上单调递减，由，则等价于，根据函数的单调性即可得解；【详解】解：因为对于任意的，都有，当时，即，当时，即，即在定义域上单调递减，又是定义域为的奇函数，所以，所以，则，即，即，所以，即不等式的解集为；故选：C 二、多选题9．已知向量，则下列结论正确的是（    ）A．当时，B．当时，向量与向量的夹角为锐角C．存在，使得D．若，则【答案】AD【分析】对A，将1代入公式计算即可，对B，利用求向量夹角公式可知要判断夹角性质只需要验证结果，对C，利用共线向量性质可得，对D，由向量垂直可得.【详解】当时，，所以，故A项正确；，当时，，但当时，向量与向量同向，夹角为，故B项错误；若，则，故C项错误；若，则，即，解得，故D项正确．故选：AD．10．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （    ）A．若，则B．若，则此三角形为等腰三角形C．若，，，则解此三角形必有两解D．若是锐角三角形，则【答案】AD【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，所以，D正确.故选：AD11．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ）A．数列为等差数列 B．对任意正整数，C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列【答案】ABC【分析】设等差数列的公差为，设等比数列的公比为，求出，利用等差数列的定义可判断AC选项；利用基本不等式和等比中项的性质可判断C选项；取可判断D选项.【详解】设等差数列的公差为，则，所以，.对于A选项，，所以，为等差数列，A对；对于B选项，对任意的，，由等比中项的性质可得，由基本不等式可得，B对；对于C选项，令，所以，，故数列一定是等差数列，C对；对于D选项，设等比数列的公比为，当时，，此时，数列不是等比数列，D错.故选：ABC.12．已知函数，则（    ）A．是偶函数B．单调递增C．曲线在点处切线的斜率为D．【答案】BD【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A，根据导函数即可判断函数单调性，根据导数的几何意义，即可求切线斜率，根据函数单调性和奇偶性，即可比较的大小.【详解】解：函数定义域为R，又，所以函数为奇函数，故A错误；，当时，，当时，，，所以，所以，当时，，，所以，所以，综上恒成立，故单调递增，故B正确；由B得，曲线在点处切线的斜率为，故C错误；因为在R上单调递增，且，所以，所以，故D正确.故选：BD. 三、填空题13．在中，，则边上中线长度为______．【答案】【分析】利用余弦定理求出的值，再利用平面向量的运算求出中线的长度．【详解】由余弦定理得，设是边上的中线，所以，两边平方得，所以，即边上的中线长为.故答案为：14．已知单位向量，，，满足，则向量和的夹角为_____________．【答案】【分析】利用向量的运算律结合已知求出，再利用向量夹角公式计算作答.【详解】单位向量，，，满足，则，即，解得，于是得，而，则，所以向量和的夹角为.故答案为：15．半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则______.   【答案】【分析】建立直角坐标系，由，，可得．由，可得，又，，利用向量相等可得出，，进而得解．【详解】建立直角坐标系，如图所示，，，，即，，即，，解得．．故答案为：16．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．【答案】【分析】由正弦定理和三角恒等变换将题干中等式化简求得角B，再根据的外接圆的面积求得其直径，代入三角形面积公式中，化为三角函数求其值域即可.【详解】由∴得，所以，因为所以，所以，而，所以．又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，所以，因为为锐角三角形，所以，的面积取值范围为．故答案为：. 四、解答题17．等差数列各项均为正整数，，前n项和为，等比数列中，，且，是公比为64的等比数列．(1)求与；(2)证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）根据得到，根据成公比为64的等比数列得到，解得，得到解析式.【详解】（1）， 是公比为64的等比数列，故，解得，故，.（2），，.18．已知函数．(1)求的最小值，并写出此时x的取值集合；(2)若，求的单调递减区间．【答案】(1)，此时x的取值集合为；(2)的单调递减区间为和 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简函数得， 再利用再由余弦函数的最值求解即可；（2）由，求出，再结合对取值即可求解【详解】（1） .当，即时，取得最小值，且，所以，此时x的取值集合为；（2）由，得，所以，所以的单调递减区间为，又因为，所以的单调递减区间为和19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，点D在线段AC上，且，，.(1)求角B的大小；(2)求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角得到，再利用两角和差公式以及诱导公式求得结果.（2）由（1）可知是以为直角的直角三角形，的面积,又因为，所以可得，即可得到的长，进而得到答案.【详解】（1）根据，由正弦定理得，∴，又∴，即，又∴，∴.（2）设，由得，即，两边平方得，即，可得.所以.故的面积.20．已知数列的前项和为,且.在数列中,,.(1)求,的通项公式;(2)设,数列的前项和为,证明:.【答案】(1),,(2)证明见解析 【分析】(1)根据,将代入即可求出通项公式,根据,将两边同时加1,构造为等比数列,求首项,求出的通项公式即可求出的通项公式;(2)由(1)结论,得出通项公式,用乘公比错位相减可得到的通项公式,根据通项公式及单调性即可判断范围.【详解】（1）解:由题知,当时,,当时,,,;,,,是以1为首项,为公比的等比数列,,, 综上: ,,（2）由(1)知,,,的前项和①②②-①得,,故.21．已知函数（）．(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；(2)求函数的单调增区间．【答案】(1)最小值为，最大值为(2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数的单调区间，再计算区间端点函数值，即可求出函数的最值；（2）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间.【详解】（1）解：因为，所以，因为已知是函数的极值点．所以是方程的根，所以，故，经检验符合题意，    所以，则，所以当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增；    又，，，    且，所以在区间上的最小值为，最大值为；（2）解：，所以，因为，，当时，令，解得或，所以函数的单调增区间为，，    当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，    当时，令，解得或，所以函数的单调增区间为，，综上可得，当时单调增区间为，；当时单调增区间为；当时单调增区间为，.22．已知函数．(1)当时，求过点且和曲线相切的直线方程；(2)若对任意实数，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意求得时的解析式，设出切点，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）对原不等式进行配凑，并构造函数，根据其单调性，转化原不等式并分离参数，结合函数最值，即可求得结果.【详解】（1）当时，，，因为点没有在曲线上，故不是切点，设切点为，直线斜率为，则切线方程为，又因为该直线过点，所以，即，记，当时，，当时，，∴在上单调递增，又，∴，故切线方程为；（2）当时，由可得，即，构造函数，其中，则，所以函数在上为增函数，由可得，所以，即，其中，令，其中，则．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，即．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，以及利用导数根据不等式恒成立求参数范围的问题，其中第二问中处理问题的关键是对原不等式，经过配凑后构造函数，从而简化问题，属综合中档题.