河南省开封市五县六校2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题

这是一份河南省开封市五县六校2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（命题人：王梦雪 审核人：胡静敏 考试时长120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（ ）
A.90B.75C.95D.70
2.在中，“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.的展开式中的系数为160，则（ ）
A.B.2C.4D.
4.班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（ ）
A.60种B.54种C.48种D.36种
5.某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这三个地区的供货量分别占20%，30%，50%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.8，0.6，0.7现从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品为优等品的概率为（ ）
6.某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2.若邻居浇水的概率为，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数的值为（ ）
A.0.9C.0.8
7.下列说法中正确的是（ ）
A.若随机变量，则
B.“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件
C.设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于1，，之间的线性相关程度越高
D.已知随机变量服从正态分布且，则
8.如果今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过天后是（ ）
A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A.B.，
C.有最大值D.最小值为0
10.下列说法中正确的是（ ）
A.用最小二乘法得到的经验回归直线必过样本点的中心
B.回归分析中，越大，残差的平方和越小，模型拟合效果越好
C.若样本点，，…，都在直线上，则样本相关系数
D.若一个袋内装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中任取3个球，记为取出的3个球中白球的个数，则
11.已知事件，满足，且，则一定有（ ）
A.B.
C.，满相互独立D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，，若，则的取值范围是______.
13.高中女学生的身高预报体重的回归方程是（其中，的单位分别是，），则此方程在样本点处的残差是______.
14.在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则至少为______.（若，则）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2019-2023年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
（1）求2019-2023年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；
（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，（，）
附：样本相关系数，，.
16.（15分）甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约.2024年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，.
（1）依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
（2）若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为，，分别求出与的数学期望.
参考公式与临界值表：，.
17.（15分）过点作曲线：（，，）的切线，切点为，设在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依此下去，得到一系列点，…，，…，，设点的横坐标是.
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）求证：.
18.（17分）某大学有，两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
（1）假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.计算某天甲同学午餐去餐厅用餐的情况下晚餐去餐厅用餐的概率；
（2）某天午餐，甲和乙两名同学准备去，这两个餐厅中某一个就餐.设事件“甲选择餐厅就餐”，事件“乙选择餐厅就餐”，，.若，证明：事件和相互独立.
19.（17分）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
（1）判断函数，是否具有性质；（直接写出结论）
（2）已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
2023—2024学年五县联考高二年级
数学学科参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.1.5 14.0.1
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）解：（1）由己知可得，，
，
由题可列下表：
，，
（2）由（1）知，与的相关系数，接近1，
所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述.
由（1）知，，
，
所求经验回归方程为.
（3）令，则，
预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为21.5.
16.（15分）解：（1）列联表：
根据小概率值的独立性检验，可认为这100名毕业生今年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关；
（2）由已知，小明通过甲地的每项程序的概率均为，
所以服从二项分布，即，
∴，
由题意：的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
.
所以的数学期望.
17.（15分）（1），
若切点是，
则切线方程为.
①当时，切线过点，
即，得.
②当时，切线过点，
即，得.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以（）.
（2）
.
18.（17分）（1）解：设“某天中午甲去餐厅用餐”为事件，
“该天中午甲去餐厅用餐”为事件，
由题知，，.
所以某天甲同学午餐去餐厅用餐的情况下晚餐去餐厅用餐的概率为0.4
（2）解：由
可知，
所以
即，
所以，
得，即和相互独立得证.
19.（17分）解：（1）因为，
则，又，
所以，
故函数具有性质；
因为，
则，又，
，
故不具有性质
（2）若函数具有性质，
则，即，
因为，所以，所以；
若，不妨设，由，
得（）（*），
只要充分大时，将大于1，而的值域为，
故等式（*）不可能成立，所以必有成立，
即，因为，所以，
所以，则，此时，
则，
而，即有成立，
所以存在，使函数具有性质.
（3）证明：由函数具有性质及（2）可知，，
由可知函数是以为周期的周期函数，则，
即，所以，；
由，以及题设可知，
函数在的值域为，所以且；
当，及时，均有，
这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；
当时，，函数在的值域为，
此时函数的值域为，
而，于是函数在的值域为，
此时函数的值域为，
函数在当时和时的取值范围不同，
与函数是以为周期的周期函数矛盾，
故，即，命题得证.年份
2019年
2020年
2021年
2022年
2023年
代码
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8
性别
人数
参加考核但未能签约的人数
参加考核并能签约的人数
男生
35
15
女生
40
10
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
选择餐厅
甲
30天
20天
40天
10天
乙
20天
25天
15天
40天
1
2
3
4
5
6
7
8
A
A
D
B
D
A
C
D
9
10
11
BD
ABD
ACD
0
1
2
1.3
0.4
人数
性别
参加考核但未能签约的人数
参加考核并能签约的人数
合计
男生
35
15
50
女生
40
10
50
合计
75
25
100