2024届山西省高考三模数学试题（学生版+教师版）

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姓名_____________准考证号_____________
秘密启用前 试题类型:A
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，均为集合的子集，则表示的区域为（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
2. 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A. -7B. -1C. 1D. 7
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 设函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
7. 在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（ ）
A. B. C. D.
8. 正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是虚数单位，若，则（ ）
A. 为纯虚数B. 复数虚部为
C. D. 当时，复数对应的点在第二象限
10. 将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ）
A. 底面直径为，高为圆柱体B. 底面直径为，高为的圆锥体
C. 底面直径为，高为的圆锥体D. 各棱长均为的四面体
11. 已知函数，若，且，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 清明小长假期间，某学校打算安排甲、乙、丙等6位教师值班.从4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教师到学校值班，每位教师只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，则不同的值班安排方式共有____________种(请用数字作答).
13. 已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是____________.
14. 双曲线的两条渐近线分别为，经过的右焦点的直线分别交于两点，已知为坐标原点，反向，若的最小值为9a，则的离心率为____________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的公差，前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16. 如图三棱锥分别在线段AB，CD上，且满足.
（1）求证:平面平面;
（2）求AD与平面BCD所成角的正弦值.
17. 袋中装有大小、形状、材质完全相同的n个小球，其中有个红球.
（1）若，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量，求的方差
（2）从袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一个小球，其中摸到红球次数为随机变量，若的期望，方差，求;
（3）若，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若，求红球占比估计值的误差不超过的概率.
参考数据:
18. 已知椭圆的焦点为，点在上，且轴，.
（1）求的方程;
（2）求与有公共焦点的双曲线的方程，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大;
（3）过点作斜率之积为的两直线，若交于，两点，交于，两点，，分别为，的中点，求面积的最大值.
19. 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
（1）若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
（2）若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
（3）若，且，求证:.
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0.0001
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